10册海淀丁凤良《鸡兔同笼》.docx
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10册海淀丁凤良《鸡兔同笼》
题目：
尝试与猜测《鸡兔同笼》教学设计
教学内容：
《义务教育课程标准实验教科书·数学》（北师大版）五年级下册第80-81页。
教学设计：
课标分析：
《义务教育阶段国家数学课程标准》己经公布,开宗明义地提出数学教育要实现:
“人人学有价值的数学,人人都能获得必要的数学,不同的人在数学上得到不同的发展”。
这种发展,其内涵是丰富的,不仅体现在以“双基”为主的认知上,也应体现在情感、态度、价值观和一般能力上。
“关注人的发展”已经成为数学课程标准中的根本指导思想。
由此出发,教学活动的各方面都要围绕学生的发展来安排、开展。
我想，当我们不在以传授知识为最终目的，当我们不在为学生暂时获取的高分而欢呼，当我们不在为学生的暂时摔倒而担忧，当我们不在将目光仅仅局限于眼前，这已经为学生的真正发展作好了必要的准备！
何为学生真正发展？
我想应包括以下几个方面：
首先是知识发展。
这里的知识并不是僵化的知识、呆板的知识、狭隘的知识、空泛的知识，而是使知识发展成智慧。
怀特海认为，“教育的全部目的就是使人具有活跃的思维。
”这是一个比传授知识更加伟大、因而也更有重要意义的目的。
知识是智慧的基础，但知识不等于智慧。
不掌握某些知识就不可能有智慧，但人们也可能很容易地获得知识却仍没有智慧。
何谓智慧？
在怀特海看来，智慧就是对知识的掌握或掌握知识的方式。
其次是能力发展。
能力教育至关重要。
能力包括多方面的内容，有思维能力、学习能力、交往能力、动手能力，等等。
就教育而言，教学生学会学习，应该是教育的重中之重。
在知识爆炸的今天，无论人们多么努力地学习，哪怕是穷尽毕生的精力，也不能一网打尽知识的海洋。
如果你到GOOGLE上输入一个条目，十几秒钟就会出现千百万条与这一条目相关的信息，就算读一遍也不可能。
一个科学家一天24小时不吃不睡都在学习，一年下来，他掌握的知识也已经落后了3年。
更何况，知识每天都在成倍增长，我们掌握的知识有许多可能是错误的和无用的。
因此，学会学习，学会有选择地学习，学习那些对人类来说有用的知识，特别是学会创造、运用，是一种能力教育，是教育成功与否的关键。
如果一个学生不会创造性地学习的话，知识的多少，分数的高低，不但不是教育成功的标志，反而是教育失败的标志。
第三是情感、态度、价值观的发展。
大数学家克莱因认为：
“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。
音乐能激发或抚慰情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得知识智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。
”一名数学教师，除了要传授知识，培养学生的能力之外，还需要使学生成长为具有健全人格的人。
例如：
数学美是一种科学美，数学中随处都存在着美的形式、美的理论、美的结果、美的思想方法，数学课可以利用这些有利条件，对学生进行美的熏陶……。
教材分析：
教材中向学生提供了生动、有趣的主题图，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论。
教材中呈现的解决问题的方法是3种，通过假设举例与列表的方法，寻找问题的结果。
其中第一张表格是常规的逐一举例法，根据鸡与兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔就有19只，腿共有78条……在这样的逐一举例中，寻找到所求的答案；第二张表格是先估计鸡与兔只数的可能范围，以减少举例的次数；第三张表格是采用取中间列举的方法，由于鸡与兔共20只，所以各取10只，接着在举例中根据实际的数据确定举例的方向，这样可以大大缩小举例的范围。
学生分析：
五年级学生已经初步尝试了应用逐一列表法解决问题，还有一些学生在奥数的学习中已经学过，学生的程度参差不齐。
学生的思维活跃，敢想，敢说，有一定的小组合组经验。
为了能准确掌握学生已有的知识水平，为了使教学过程达到优质高效，我对五年级两个班学生进行了前测。
从问卷中了解到，五
（1）班有40人，有9名学生之前知道鸡兔同笼问题，有3名学生会用假设法、正确解决鸡兔同笼问题，有24名学生不会解答这类问题。
五
（2）班有41人，有20名学生之前知道鸡兔同笼问题，有12名学生会用假设法、正确解决鸡兔同笼问题，有17名学生不会解答这类问题。
学生对用列表法解决鸡兔同笼问题有距离感。
教学目标分析：
1、通过问题情境的创设，学生感受到数学与生活的紧密联系。
通过对《孙子算经》数学史的介绍，学生感受到古代劳动人民的惊人创造力，进而激发学生学习数学的动力。
通过对问题解决的过程，学生体会到学习过程是一个不断面对限制和挑战的过程。
2、培养学生“有序”思考数学问题的思维方式，培养学生应用“如果……就……”即假设的数学思想解决问题的思维方式，解题过程中以列表法为主要载体，提高学生运用估测、尝试、调整等办法分析问题、解决问题的能力。
3、学生掌握解决“鸡兔同笼”问题的三种列表方法，即枚举列表法、跳跃列表法和取中列表法。
教学要点分析：
以鸡兔同笼问题为载体，以列表举例为载体，培养学生多角度、有序思考数学问题的思维方式。
本节课通过教师创设的现实情景，使学生投入到解决问题的实践活动中去，使学生去经历研究、探索数学问题的全过程，使学生感受到数学的神奇和好玩，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，使学生体会到“有序”对解决数学问题的作用，使学生体会到“如果……就……”即假设的数学思想对解决数学问题的作用
教学策略设计：
“关注人的发展已经成为数学课程标准中的根本指导思想，数学教育应该培养人的更内在、更深刻的东西——数学素养。
”由此出发,数学课程构建的各方面都要关注学生的发展性,它事实上已成为贯穿课程各环节的主线。
作为一名数学教师，我们应充分尊重学生的主体性，应着眼于学生未来的发展，在每一节课都尽可能为学生营造和谐、宽松的体验氛围，为学生的创造与发展提供空间。
基于以上教学理念，我设计并实践了数学北师大版五年级上册尝试与测单元“鸡兔同笼”一课。
面对鸡兔同笼问题已经有多数学生熟知，学生对用列表法解决鸡兔同笼问题有距离感的现状，以及教参中对本节课的教学要求，我尝试采用学生熟悉的问题情境，也就是充分利用课本中提供的主题图，来引入教学。
同时结合有关“鸡兔问题”的电脑课件，突出课件任意调整的功能，为学生现场演示创设机会和平台，为学生的思维生长预留空间。
在教学过程中应注意鼓励每个学生参与学习过程，注重学生之间交流，关注对学生的建设性评价。
使学生共同学习，共同进步，共同提高，把所学的数学知识应用到生活中去，用数学的眼光看待身边的事物，体会数学的价值。
过程设计：
课前谈话：
咱们班有哪些同学喜欢玩电脑游戏，请举手？
今天我给大家带来一个小的游戏，一个和猜测有关的游戏，猜数字的游戏，估计你们都没玩过，有谁想试试吗？
电脑出示：
小结：
玩中也有学问，要善于观察，要善于利用规则。
我们不能盲目的尝试，应讲求策略和方法，即有序的尝试，怎样体现有序呢？
可以先从中间尝试或先选定一个范围尝试。
1、情境引入激发兴趣有序猜测
请看屏幕
电脑出示：
鸡兔同笼主题图
从这幅图中你看到了什么？
（鸡和兔装在一个铁笼子里）
你能提出哪些数学问题？
（鸡和兔一共有几只？
鸡和兔各有几只？
）
那鸡和兔究竟有几只呢？
有人知道吗？
（不知道，有树叶挡着）那好这节课我们就来研究和鸡兔有关的数学问题。
板书1：
鸡兔同笼
一共有几只我可以提供给大家，但鸡兔各有几只就需要你们来思考了！
请继续看屏幕
电脑出示：
笼中共有鸡、兔8只，请问鸡、兔各有几只？
如果需要，你可以借助电脑来摆一摆有哪些情况？
（学生到台前操作电脑演示鸡兔只数的各种情况：
）
刚才同学已经演示了鸡兔只数的不同情况，一共有几种情况
老师板书，有序地书写。
板书2：
鸡/只兔/只
17
26
35
44
53
62
71
通过刚才的学习，我们发现有序的书写不仅可以便于记忆，而且可以使思路更加清晰。
2、尝试猜测发现规律寻找原因
看来只提供一个信息并不能知道鸡、兔的准确只数，下面老师提供第二个信息，看看你们这次能否确定？
电脑出示：
笼中共有鸡、兔8只，鸡、兔腿的总数是22条。
请问鸡、兔各有几只？
此时能否确定？
那你有哪些办法解决这个问题？
你可以用多种办法来解决这个问题。
请学生独立完成。
（学生也许有人能确定，也许有人不能确定；老师追问能确定的组，你们是怎样确定的？
同时鼓励不能确定的学生尝试。
）
学生分别汇报：
方法一：
（枚举列表，以下是学生的语言）
如果是1只鸡，7只兔，总腿数是30条。
如果是2只鸡，6只兔，总腿数是28条。
如果是3只鸡，5只兔，总腿数是26条。
如果是4只鸡，4只兔，总腿数是24条。
如果是5只鸡，3只兔，总腿数是22条。
如果是6只鸡，2只兔，总腿数是20条。
如果是7只鸡，1只兔，总腿数是18条。
最后与22条进行对比。
老师归纳并板书：
板书3：
（在出示第一条信息板书基础上完成板书）
头/只
鸡/只
兔/只
腿/条
8
1
7
30
8
2
6
28
8
3
5
26
8
4
4
24
8
5
3
22
8
6
2
20
8
7
1
18
方法二：
也许会出现列式计算，假设法等。
可以肯定，但不在本节课重点研究范围之内，今后还会再进行研究。
看来再增加了第二条信息之后，鸡和兔的只数不仅都能够确定，而且同学们还找到了不同的确定鸡兔只数方法，那在这些方法中你们觉得哪种方法更容易理解？
哪种方法更便于理解？
可以进行现场统计，这样更具说服力！
小结：
请同学观察板书上的列表，看从这个列表中你能发现哪些规律？
学生汇报:
规律：
（1）鸡兔的总数是不变的，都是8。
（2）鸡的只数减少，兔的的只数就增加。
（3）鸡的只数减少1只，兔的的只数就增加1只。
（4）鸡的只数减少1只，兔的的只数增加1只，总的腿数就减少2条。
关系：
鸡兔的总数不变，但只要鸡的数量一变化，兔的数量也随着变化，进而引起腿的总数也发生变化。
（连锁反应、牵一发而动全身，这个反应还是有规律的反应）
3、应用规律尝试调整优化列表
表格虽小，但它却能包含这么多的规律，看来列表法还真是不简单，列表的方法同样有它存在的价值。
那你们想不想自己独立利用列表的方法来解决一个和鸡兔有关的问题？
电脑出示：
笼中共有鸡、兔36只，鸡、兔腿的总数是94条。
请问鸡、兔各有几只？
请学生独立完成。
（在此过程中，学生遇到新问题，数变大了，表格不够用了，引起冲突）
汇报：
要展示学生生成的资源，即如果学生有逐个列表的一定展示，进而引出太繁琐了，根本列不出来，不现实，进而再引出需要调整，或先估计大概范围，再列表。
突出估测的重要，突出调整的重要。
汇报1：
采取先确定两头，然后再尝试、调整，逐步缩小包围圈的方法。
即先两边后中间。
板书4：
头/只
鸡/只
兔/只
腿/条
36
1
35
142
36
10
25
124
36
20
16
104
36
25
11
94
汇报2：
采取先从中间入手的办法，然后再尝试、调整。
即先中间后一边。
板书5：
头/只
鸡/只
兔/只
腿/条
36
18
18
108
36
28
8
88
36
26
10
92
36
25
11
94
小结：
到目前为止，通过同学们的亲自尝试和探索，已经发现了三种不同的列表方法。
我想请问同学们：
第一，能不能给三种列表分别起个名字？
（逐一列表适合较小的数，遇到较大的数时，可以尝试先估计范围再列表或采用折中列表）
第二，以上三种方法中你更喜欢那种方法？
并简述你的理由。
4、跳出鸡兔应用列表拓展思维
下面就请同学们用你最喜欢的一种列表方法来解决一个新问题，请看屏幕。
电脑出示：
为了保护环境，学校环保小组成员收集废旧电池，一个星期收集五号电池和七号废旧电池共28节，总重量为390克，五号和七号废旧电池各多少节？
（五号电池每节20克，七号电池每节10克）请学生独立完成。
教师口述要求：
比一比看一看哪位同学能用最短的时间，又用最少的调整部数解决这个问题。
电脑出示：
学生汇报：
总数/节
五号/节
七号/节
总重量/克
28
1
28
300
28
5
23
330
28
8
20
360
28
11
17
390
或
总数/节
五号/节
七号/节
总重量/克
28
14
14
420
28
12
16
400
28
10
18
380
28
11
17
390
5、介绍历史感受文化引发思考
看来用列表的方法不仅可以解决具体的几头几腿问题，而且还可以解决生活中的其他问题解决。
那你们想知道古人——我们的祖先是怎样来解决鸡兔同笼类问题的吗？
我们一起来看一段短片，请看大屏幕。
早在1500多年前，我国古代数学巨著《孙子算经》就已经问世了。
相传此书为《算经十书》之一，是一部在世界数学史上也占有显著地位的数学著作。
著名的“鸡兔同笼”问题，就被收录于其中。
原文如下：
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？
”在元代的《丁巨算法》一书中，记录了一种通俗易懂的算术解法，有人称为“砍足法”。
思路新颖而奇特，令古今中外数学家赞叹不已。
除此之外，为了解决这类问题，后人也想出了很多非常巧妙的方法，有鸡再生脚法、兔再长头法、兔子立正法等等。
总之，每一种方法无不体现着古代劳动人民的聪明才智。
结束语：
其实列表法的背后反应的是一种“有序”思考问题的思维方式，老师真诚地希望你们每一个同学都能拥有“有序”思考问题的思维方式，如果你们拥有了，请相信：
你们会受益终身。
板书设计：
枚举法跳跃法折半法
头
鸡
兔
腿
8
1
7
30
8
2
6
28
8
3
5
26
8
4
4
24
8
5
3
22
8
6
2
20
8
7
1
18
头
鸡
兔
腿
36
1
35
142
36
10
25
124
36
20
16
104
36
25
11
94
头
鸡
兔
腿
36
18
18
108
36
28
8
88
36
26
10
92
36
25
11
94
创新特色：
1、课前谈话借助电脑猜数游戏。
学生最初是盲目尝试，但随着次数的增多，有的学生发现尝试和猜测并不是没有头绪，而是也有策略。
无序到有序这个过程不是说教可以解决的，必须依靠学生亲自体验、经历这个过程，学生会将这种有序思考问题的意识放大，进而应用这种意识去解决更多的问题。
2、对学生发现四种方法的处理。
列方程的方法、列表法、假设的方法是老师预设的方法。
学生可能会出现这三种方法，在分别出现相应方法后，老师都安排反馈，对三种方法的“群众基础”做到了如指掌。
从录像推测，方程的方法有5人左右采用；列表的方法有20人左右采用，假设的方法有10左右采用。
这样安排为下一步完成本节课的重点方法列表法的学习做好铺垫和准备。
值得一提的是第四名同学的极具创意的削腿的办法。
这种方法，老师在备课过程中有所了解，但预设目的是安排在本节课结束时进行解决鸡兔同笼类问题解题方法的介绍。
不成想学生的知识非常丰富，竟然在课的开始阶段就提出，而且还介绍的非常清晰、非常有条理，着实令老师吃惊！
如果老师的预设可以激发学生生成的火花，这样的预设就是极具价值的预设。
如果在学生产生火花的生成中老师能因势利导，这样的引导是极具价值的。
预设终究是预设，老师的价值就在于引导，而且是基于学生生成的引导。
现场表决的好处就是列表的方法有优势并不是老师强硬带领学生来学习，而是按照大多数学生的意愿来学习。
我理解一节课之所以有生命力，最重要的一点就是能否使学生感受到学习这节课的价值，如果老师是领着学生走，忽视学生的需求而教学，毫无疑问是远离这个目标的。
安排这个环节使学生感受到这节课的学习是“顺气”的！
简而言之就是学生学习本节课内容的内驱力正在生长着！
3、对表格规律的观察和理解。
给学生充分的时间和发言的机会，主要目的是为学生观察、感受表格丰富的规律提供空间，使学生感受到表格虽然很小、很不起眼，甚至被有些同学看不上，但是它蕴含的规律却很丰富，列表法也值得我们研究，为学生进一步学习、探讨列表法做好必要的“规律”储备，因为列表法的难点就是如何调整列表，而调整的基础就是利用“规律”进行调整。
这花些时间既是必要也是必须的！
4、给三种列表的方法取名。
老师追问什么叫便易型？
生给的理由是方便。
实际上通过取名，学生感受到了取中列表的方便。
对于第二名学生的跳跳表格法老师也进行了追问，理由是什么？
学生说这组数据是一段一段的，是跳跃的。
此时学生只能从表面的形式来试着概括三种方法，并未能深入理解三种表格的不同特点。
在学生的概括名字即将发生偏离时，出现了不同的声音，第二种方法的名称出现争议。
应该说这个争议的出现正是时候，老师利用争议来引导学生要抓住三种方法的特点来概括名字。
在争求全班学生意见的基础上，最终顺应学生的意见确定第二种为折半法，应该说这样的引导是不露痕迹的。
在教师引导下，在学生相互商量、辩论、说理的气氛中，三种方法分别确定比较合适的名字。
5、在课的结尾部分，对课堂生成第四种方法的呼应。
在课的结尾部分，学生自发的给予了课前介绍砍足法的同学热烈的掌声，可以看出所有的同学是发自内心的佩服这位同学，佩服她知识的丰富。
此时此刻，任何褒奖都不过分。
老师源自内心深处的对学生深情地感谢可以打动每一位在场的同学，“和祖先惊人一致”的评价可以激励每一位在场的同学，学生的情感、态度、价值观在这样的情境中发展着！
教学后记：
1、如何面对学生原有的认知基础：
不回避、加强引导。
只提供第一条信息，你能否确定鸡兔的具体只数？
再提供第二条信息，你能否确定鸡兔的具体只数？
（就会有一部分学生采用列表的方法尝试解决）
增加了第二条信息之后，在同学们找到了不同的确定鸡兔只数方法后，请每一位学生进行现场表决：
这些方法中你们觉得哪种方法更容易理解？
哪种方法更便于理解？
（引导学生队列表的方法产生好感）
进而引导学生观察枚举法表格中数据有何规律？
（引导学生体会小表格也蕴含着丰富的规律、有价值的规律，引起学生对列表方法的重新审视）
在学生认同了枚举列表的方法之后，促使学生应用列表的方法独立尝试做数据较大的鸡兔问题，引导学生主动提出表格不够用，进而将问题抛给学生，怎样解决？
学生想到办法，汇报！
整个过程都是在自然而然的产生过程中，在生成过程中，在互动过程中，在解决的过程中。
最后的落脚点：
其实列表法的背后反应的是一种“有序”思考问题的思维方式，老师真诚地希望你们每一个同学都能拥有“有序”思考问题的思维方式，如果你们拥有了，请相信：
你们会受益终身。
即使尝试和猜测也一样可以或应该有序的尝试和猜测。
2、学生经历了必须亲身经历的过程。
经历无序猜测到有序猜测的过程；经历跳跃列举法或取中列举法的产生过程，感受跳跃列举和取中列举的价值所在；经历突破限制的过程；经历人类认识事物，掌握解决问题方法的一般过程；经历列表法尝试、调整的过程；经历回顾鸡兔同笼问题历史的过程。
教师简介：
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