数学知识练习.docx

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数学知识练习

（2009•梅州）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：

△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．

考点：

相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．

（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．

解答：

证明：

（1）∵梯形ABCD，AB∥CD，

∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）

∴△CDF∽△BGF．（3分）

解：

（2）由

（1）△CDF∽△BGF，

又F是BC的中点，BF=FC，

∴△CDF≌△BGF，

∴DF=GF，CD=BG，（6分）

又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EF=AG=AB+BG．

∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，

∴CD=BG=2cm．（8分）

点评：

本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．

（2008•无锡）如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：

△ABF∽△EAD．

考点：

相似三角形的判定；矩形的性质．

专题：

证明题．

分析：

根据两角对应相等的两个三角形相似可解．

解答：

解：

∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）

∴∠BAF=∠AED．（4分）

∵BF⊥AE，

∴∠AFB=90°．

∴∠AFB=∠D．（5分）

∴△ABF∽△EAD．（6分）

点评：

考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．

（2008•宁德）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．

考点：

相似三角形的判定；平行四边形的性质．

专题：

开放型．

分析：

根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：

△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．

解答：

解：

相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）

如：

△AEF∽△BEC．

在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）

∴△AEF∽△BEC．（7分）

点评：

考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理．

（2008•梅州）如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．

（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

考点：

相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

专题：

开放型．

分析：

（1）由平行四边形的性质可判断△AEH与△DFH、△AEH∽与△BEG、△BEG∽△CFG、△DFH∽△CFG，任选一对即可；

（2）由平行四边形的性质可证△AOE≌△COF，则OE=OF．

解答：

解：

（1）△AEH与△DFH．（2分）

（或△AEH与△BEG，或△BEG与△CFG，或△DFH与△CFG）

（2）OE=OF．（3分）

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AO=CO．（4分）

∴∠EAO=∠FCO．（5分）

∵∠AOE=∠COF，（6分）

∴△AOE≌△COF．（7分）

∴OE=OF．（8分）

点评：

本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理．

（2008•旅顺口区）如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：

∠ABC=

135°

135°

°，BC=

；

（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

考点：

相似三角形的判定；正方形的性质．

专题：

证明题；网格型．

分析：

（1）观察可得：

BF=FC=2，故∠BFC=45°；则∠ABC=135°，BC=

=2

；

（2）观察可得：

BC、EC的长为2

、

，可得

，再根据其夹角相等；故△ABC∽△DEC．

解答：

解：

（1）135°，

．

（2007•随州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：

△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

考点：

相似三角形的判定；正方形的性质．

专题：

动点型；开放型．

分析：

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根据题意：

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

解答：

证明：

（1）∵AD∥BC，

（2007•随州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：

△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

考点：

相似三角形的判定；正方形的性质．

专题：

动点型；开放型．

分析：

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根据题意：

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

解答：

证明：

（1）∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE．

（2）解：

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四边形ABEP为矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点．

∵AE=

=2

，

∴EF=

AE=

．

∵

，即

，

∴PE=5，即x=5．

∴满足条件的x的值为2或5．

点评：

解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．

【我的试题篮】

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（2007•随州）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．

（1）求证：

△PFA∽△ABE；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

考点：

相似三角形的判定；正方形的性质．

专题：

动点型；开放型．

分析：

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；

（2）根据题意：

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．

解答：

证明：

（1）∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE．

（2）解：

若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四边形ABEP为矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴点F为AE的中点．

∵AE=2

，

∴EF=

AE=

．

∵

，即

，

∴PE=5，即x=5．

∴满足条件的x的值为2或5．

点评：

解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．

（2007•十堰）如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A′，B′，C′，使得

，连接A′B′，B′C′，C′A′，所得△A′B′C′与△ABC是否相似？

证明你的结论．

考点：

相似三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

反复利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似这一定理可证明这两三角形三边对应成比例即可证得结论．

解答：

解：

△A′B′C′∽△ABC．（2分）

由已知

，∠AOC=∠A′OC′∴△AOC∽△A′OC′，（4分）

∴

，同理

．（6分）

∴

．（7分）

∴△A′B′C′∽△ABC．（8分）

点评：

考查了相似三角形的判定定理：

（1）两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似．

（2007•钦州）如图①，将矩形ABCD沿着对角线AC分割，得到△ABC和△ACD，将△ACD绕点A按逆时针方向旋转α度，使D，A，B三点在同一直线上，得到图②，再把图②中的△ADE沿着AB方向平移s格，使点D与点A重合，得到图③，设EF与AC相交于点G．

请解答以下问题：

（1）上述过程中，α=90

90

度，s=33

格；

（2）在图③中，除了△ABC∽△EAF以外，还能找出对相似三角形；

（3）请写一对你在图③中找出的相似三角形，并加以证明．

考点：

相似三角形的判定；平移的性质；旋转的性质．

专题：

网格型；开放型．

分析：

（1）根据已知及图形分析容易得出；

考点：

相似三角形的判定；平移的性质；旋转的性质．

专题：

网格型；开放型．

分析：

（1）根据已知及图形分析容易得出；

（2）根据相似三角形的判定即可找到存在的相似三角形；

（3）从

（2）中找出一对，根据相似三角形的判定方法，结合旋转、平移的性质，进行证明．

解答：

解：

（1）根据图形分析容易得出：

α=90°，S=3．（4分）

（2）△AEF∽△GAF；△AEF∽△ABC；△ABC∽△GAF；△GAE∽△ABC；△GAE∽△AGF共5对．（6分）

（3）△AEF∽△GAF．（7分）证明：

∵在图①中，四边形ABCD是矩形

∴∠ACD=∠CAB

即在图③中，∠AEF=∠GAF（8分）

又∵∠AFE=∠GFA（9分）

∴△AEF∽△GAF（10分）

点评：

本题主要考查相似三角形的判定方法及平移、旋转的性质等的综合运用．

（2006•漳州）如图，已知矩形ABCD，AB=

，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．

（1）求△PEF的边长；

（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；

（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：

PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论．

考点：

相似三角形的判定；等边三角形的性质；矩形的性质．

专题：

压轴题．

分析：

（1）由题意知，等边△EFP的高与矩形的AB边相等从而根据三角函数即可求得其边长；

（2）根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形；

（3）根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系．

解答：

解：

（1）过P作PQ⊥BC于Q，

∵矩形ABCD，

∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC．

∴PQ=AB=

．

∵△PEF是等边三角形，

∴∠PFQ=60°．

在Rt△PQF中sin60°=

，

∴PF=2．

∴△PEF的边长为2．

（2）方法一：

△ABC∽△CDA．

理由：

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠1=∠2，

∴∠B=∠D=90°，

∴△ABC∽△CDA．

方法二：

△APH∽△CFH．

理由：

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠2=∠1，

又∵∠3=∠4，

∴△APH∽△CFH．

（3）猜想：

PH与BE的数量关系是：

PH-BE=1，

证法一：

在Rt△ABC中，AB=

，BC=3，

∴tan∠1=

．

∴∠1=30°．

∵△PEF是等边三角形，

∴∠2=60°，PF=EF=2．

∵∠2=∠1+∠3，

∴∠3=30°．

∴∠1=∠3．

∴FC=FH．

∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，

∴PH-BE=1．

证法二：

在Rt△ABC中，AB=

，BC=3，

∴tan∠1=

．

∴∠1=30°．

∵△PEF是等边三角形，PE=2，

∴∠2=∠4=∠5=60°．

∴∠6=90°．

在Rt△CEG中，∠1=30°，

∴EG=

EC，即EG=

（3-BE）．

在Rt△PGH中，∠7=30°，

∴PG=

PH．

∴PE=EG+PG=

（3-BE）+

PH=2．

∴PH-BE=1．

证法三：

在Rt△ABC中，AB=

，BC=3，

∴tan∠1=

，AC2=AB2+BC2∴∠1=30°，AC=2

．

∵△PEF是等边三角形，

∴∠4=∠5=60°．（3分）

∴∠6=∠8=90°．

∴△EGC∽△PGH，

∴

．

∴

①

∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，

∴△CEG∽△CAB．

∴

即

．

∴EG=

（3-BE）②

把②代入①得，

．

∴PH-BE=1．

点评：

此题主要考查学生对相似三角形的判定，等边三角形的性质及矩形性质的综合运用．

答题：

zhehe老师

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试题

（2006•乐山）本题为选项做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．

甲：

直线l：

y=（m-3）x+n-2（m，n为常数）的图象如图1所示，化简：

|m-n|-

；

乙：

已知：

如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，能否在边AB上找到点N（不含A、B），使得△MAN相似？

若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

考点：

相似三角形的判定；一次函数图象与系数的关系．

专题：

计算题；探究型．

分析：

（1）根据函数图象确定m、n的取值范围，再化简．

（2）作NM⊥CM即可，可根据相似三角形的判定来证明．

解答：

解（甲题）由图象可知：

m-3＞0且n-2＜0，（2分）

∴m＞3且n＜2．（4分）

|m-n|-

-|m-1|=m-n-（2-n）-（m-1）（7分）

=-1（9分）

（乙题）猜想：

当AN=

a时，△CDM∽△MAN．（2分）

证明：

在△CDM和△MAN中，

∵∠CDM=∠MAN=90°，

M是AD的中点，且四边形ABCD为正方形，（3分）

∴AM=DM=

a，（4分）

∴

，（6分）

∴

（7分）

∴△CDM∽△MAN．（9分）

点评：

甲题根据一次函数与系数的关系确定m、n的取值范围，然后化简．乙题考查相似三角形的判定．

答题：

HLing老师

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试题

（2005•桂林）已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部．

（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连接AB1，请在∠MON内部作出以AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D．求证：

△ACQ∽△AB1D；

（3）连接CC1，试猜想∠ACC1为多少度？

并证明你的猜想．

考点：

相似三角形的判定；等边三角形的性质．

专题：

证明题；探究型．

分析：

（1）分别以A、B1为圆心，AB1为半径，作弧在∠MON内部交于C1；

（2）两三角形有一公共角，且∠ACQ=∠AB1D=60°，即可证明△ACQ∽△AB1D；

（3）猜测∠ACC1=90°，证明△AOB1≌△ACC1即可．

解答：

解：

（1）作图如图．

（2）∵∠CAQ=∠B1AQ，∠ACQ=∠AB1D=60°，

∴△ACQ∽△AB1D（AA）．

（3）猜测∠ACC1=90°．

∵OA=AC，∠OAB1=∠CAC1=60°-∠CAQ，AB1=AC1，

∴△AOB1≌△ACC1（SAS）．

点评：

此题主要考查等边三角形的做法以及等边三角形的性质在三角形相似和全等中的应用．

答题：

lf2-9老师

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试题

（2010•自贡）如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE、BF分别交于点G、H．

（1）求证：

△BAE∽△BCF；

（2）若BG=BH，求证：

四边形ABCD是菱形．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．

专题：

证明题．

分析：

（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于90°，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证△BAE∽△BCF；

（2）由BG=BH，可得∠3=∠4，那么∠AGE=∠CHF，利用等量减等量差相等，可证∠DAC=∠DCA，等角对等边，那么AD=DC，那么▱是菱形．

解答：

证明：

（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD，

∴∠BEA=∠BFC=90°．（1分）

又ABCD是平行四边形，

∴∠BAE=∠BCF．（2分）

∴△BAE∽△BCF．（3分）

（2）∵△BAE∽△BCF，

∴∠1=∠2．（4分）

又BG=BH，

∴∠3=∠4．

∴∠BGA=∠BHC．（5分）

∴△BGA≌△BHC（ASA）．（6分）

∴AB=BC．（7分）

∴▱ABCD为菱形．（8分）

点评：

本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识．

答题：

王岑老师

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试题

（2010•肇庆）如图所示，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．

（1）求证：

△CEB≌△ADC；

（2）若AD=9cm，DE=6cm，求BE及EF的长．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

综合题．

分析：

（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠CAD，而BC=AC，∠E=∠CDA=90°，故有△CEB≌△ADC；

（2）由

（1）知BE=DC，CE=AD，有CE=AD=9，DC=CE-DE=3，BE=DC=3，可证得△BFE∽△AFD，有

故可求得EF的值．

解答：

证明：

（1）∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，

∴∠E=∠ADC=90°（1分）

∠BCE=90°-∠ACD，∠CAD=90°-∠ACD，

∴∠BCE=∠CAD（3分）

在△BCE与△CAD中，

∠E=∠ADC，∠BCE=∠CAD，BC=AC

∴△CEB≌△ADC（AAS）（4分）

解：

（2）∵△CEB≌△ADC

∴BE=DC，CE=AD

又AD=9

∴CE=AD=9，DC=CE-DE=9-6=3，

∴BE=DC=3（cm）（5分）

∵∠E=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD，

∴△BFE∽△AFD（6分）

∴

即有

（7分）

解得：

EF=

（cm）（8分）

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质．

答题：

zhehe老师