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数学教育生活化还是数学化基于数学教育哲学的
数学教育“生活化”还是“数学化”——基于数学教育哲学的思考
【作者机构】
首都师范大学教育学院；北京理工大学继续教育学院
【来 源】
《教育学报》 2017年第3期P41-47页
【分 类 号】
G633.6
【分类导航】
文化、科学、教育、体育->教育->中等教育->各科教学法、教学参考书->数学
【关 键 字】
数学教育哲学 数学教育生活化 数学化
【摘 要】
自新课程改革以来,关于“数学教育生活化”的争论就不绝于耳。
别的学科教育生活化尽管也存在一些问题,但都没有数学教育领域的争论如此激烈。
这说明“数学教育生活化”的问题与数学学科的性质具有根本关联。
要阐明“数学教育生活化”引发的争议,需要从数学教育哲学视角进行深入分析。
从数学教育哲学的视角看,无论在本体论、目的论还是方法论方面,“数学教育生活化”的观点都存在一定偏颇。
“数学教育生活化”主要关注“横向数学化”,属于数学认识的初级阶段。
基于数学学科的特性,“纵向数学化”在数学教育中具有更加重要的价值。
因此,数学教育不应简单地走向“生活化”,而应该走向“数学化”。
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一、问题的提出：
关于“数学教育生活化”的争论
传统数学教育比较注重数学知识本身的内在逻辑，很少顾及数学知识与现实生活的联系。
新课程改革提倡尊重学生的生活经验，呼吁数学教育联系生活，于是便有了“数学教育生活化”“学校数学向生活数学回归”等提法。
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在前言中就明确指出：
“义务教育阶段的数学课程……不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生己有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。
”[1]《全日制义务教育数学课程标准解读（实验稿）》也提出：
“数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。
”[2]然而，随着新课程改革的推进，“数学教育生活化”在实践中暴露出越来越多的问题，也引发了许多学者尤其是数学学科专家的批判质疑。
我国数学家杨乐指出：
“我们数学界的看法是，现在搞教育的同志，有时候过多地强调了教学法，对数学内容的本身有关注不够的地方。
”[3]郑毓信教授也认为，“数学课程改革中所应注意防止的又一种倾向，即因突出强调‘生活化’而完全放弃了数学教学所应具有的‘数学味’；另外，从理论的角度看，对于‘数学课程向实际生活的回归’这样的提法，我们则更应当采取十分慎重的态度。
”[4]新教材通过情境设计，“贴近生活论”，密切数学与现实生活的联系，但“就是没有数学了！
”[5]别的学科教育生活化尽管也存在一些问题，但都没有数学教育领域的争论如此激烈。
这说明数学教育生活化的问题与数学学科的性质具有根本关联。
因此，只有从数学教育哲学的视角进行思考，深入分析数学以及数学教育的本质，才能找到“数学”与“生活”出现冲突的根本原因，从而解决“数学教育生活化”的问题，为数学教育改革厘清方向。
二、“数学教育生活化”：
基于数学教育哲学的审视
按照英国数学教育家欧内斯特（Ernest.P.）的观点，数学教育哲学至少应该回答四个方面的问题：
（1）数学的本质是什么？
即数学哲学问题；
（2）数学学习的本质是什么？
即数学学习论和认识论问题；（3）数学教育的目的是什么？
即数学教育的目的论问题；（4）数学教学的本质是什么？
即数学教学的方法论问题。
[6]ⅵ郑毓信教授也认为数学教育哲学主要应当研究三个问题：
第一，什么是数学？
就是所谓的数学观。
第二，为什么要进行数学教育？
就是数学教育观；第三，应当如何去进行数学教学，或者说，究竟什么是数学学习与教学活动的本质？
就是数学教学观与数学学习观。
[7]综合来看，数学教育哲学主要从数学（教育）的本体论、目的论与方法论三个方面探讨问题。
下面我们就从这三个方面审视数学（教育），并对“数学教育生活化”的观点进行反思。
（一）数学的本质：
数学是经验科学还是观念科学
对数学本质的理解有利于我们从根本上了解数学，也为数学教育研究提供思考的基点。
正如法国数学家赛姆（Thom,R.）所言：
“事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出自于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也如此。
”[6]ⅵ不正视数学的本质问题，便无法解决数学教育中的争议。
1.数学是观念科学
数学史上关于数学本质的论述观点甚多，但如果从经验主义与理性主义的角度划分，则多数数学家都可划归为理性主义的阵营。
与古巴比伦、古埃及的经验主义数学观不同，古希腊的哲学家、数学家最早开创了理性主义的数学范式，并使数学具有了形而上学的特征。
最早提出“万物皆数”的毕达哥拉斯学派对世界采取了一种神秘的数理解释，并且随着这种“神秘灵感的深化，它使思辨的数学从实用的计算中决定性地脱离开来”[8]。
柏拉图继承并发展了毕达哥拉斯的数学思想，认为数学对象是比物体更高级的本体，它们在本性上先于可感事物，并独立于事物而存在，不像事物那样易受变化的影响。
其后的数学家、哲学家如笛卡尔、莱布尼茨、康德、弗雷格与罗素、希尔伯特、胡塞尔等，都对数学理性主义的发展厥功甚钜。
理性主义数学观虽然承认数学起源于现实生活的需要，但认为数学的形成与发展依赖高度的逻辑化与形式化，数学在本质上是观念科学。
“尽管历史地看，几何学是从丈量术发展起来的，但几何学一旦形成，就不再依赖于丈量术。
黑板上的三角形是否准确，不会影响几何学关于三角形的定理。
因为纯粹几何学是本质科学，而丈量术即便发展成为丈量‘学’，也仍然属于经验科学，它们依赖于本质科学或观念科学。
反过来却并不成立。
”[9]
同时，理性主义数学观认为，数学的研究结论也是自足的，不需要经验世界来证明。
自然科学理论是否成立需要实验与观察事实的支持，而数学就不一样，无论是否有现实基础，只要逻辑推论没有错误，就具有一定的合理性。
也就是说，数学是纯粹思维的产物，最重要的不是符合现实，而是逻辑自洽；不是实用性，而是理性精神。
数学描述的不是自然规律，而是上帝的蓝图。
“从逻辑的角度看，要问一个公理系是否为真？
那是没有意义的，只能问它们是否相容。
”[10]42“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的，不受（或近乎不受）经验的影响。
”[11]100
2.数学是经验科学
相较而言，持经验主义数学观的哲学家、数学家要少得多。
经验主义数学观主要存在数学发展的早期，如古巴比伦、古埃及的数学家。
近代经验主义哲学家如穆勒（J·Mill）等也持有类似数学观。
穆勒认为，数学命题是经验的一般化，是直接经验的归纳。
3.数学是拟经验科学
拟经验主义数学观是在对基础主义、绝对主义数学思潮进行批判的基础上发展起来的。
与纯粹经验主义数学观不同，拟经验主义数学观在强调数学包含经验性的同时肯定数学的演绎化、形式化和公理化特性；与对数学作静态理解的理性主义数学观也不同，拟经验主义数学观常常包含历史、社会与心理视角的动态分析。
如英国拟经验主义数学哲学家拉卡托斯（ImreLakatos）认为数学知识是可谬的，数学是一系列的假设——演绎系统，历史、非形式数学在数学发展中具有重要作用，并据此提出了数学知识的发生理论。
在拉卡托斯的数学哲学基础上，欧内斯特提出了数学哲学的社会建构理论，他认为数学客观性本身应被理解为社会性认同，数学知识建立在社会成员所共同拥有的自然语言基础之上。
郑毓信教授曾经从数学发展史的角度将数学知识划分为由低到高的四个水平：
原始水平、素朴水平、理论水平、（纯）形式水平，并认为原始水平、素朴水平、理论水平的数学知识都包含着经验与拟经验成分，只是到了形式水平才具有了模式真理性，完全切断了数学理论与客观实在的联系。
[11]94荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔（H.Fredenthal）从拟经验主义数学观出发，认为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学学习上也是成立的，个体数学学习也像数学发展史那样经历着由具体到抽象的不同层次，它们是：
情境层次、指涉层次、普遍层次和形式层次。
[12]
从静态的角度与数学发展的结果看，理性主义数学观对于我们理解数学学科的特殊性提供了有益的启示；从动态的角度与数学发展的过程看，拟经验主义数学观为我们认识人类或个体数学知识的发生提供了有价值的视角。
纯粹的经验主义数学观已很少得到人们的认可。
（二）数学教育的目的
数学教育生活化强调数学的实用性，强调数学知识来源于生活、运用于生活。
这需要我们首先思考一个问题：
数学是实用的还是无用的？
1.数学是实用的还是无用的
数学界广为流传着“数学家用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点用也没有” *这个笑话是指：
物理学家和工程师乘着热气球，在大峡谷中迷失了方向。
他们高声呼救：
“喂——！
我们在哪儿？
”过了大约15分钟，他们听到回应在山谷中回荡：
“喂——！
你们在热气球里！
”物理学家道：
“那家伙一定是个数学家。
”工程师不解道：
“为什么？
”物理学家道：
“因为他用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点用也没有。
”的一则笑话，这则笑话与其说是对数学家的嘲笑，倒不如说是数学家的自我标榜、自我炫耀。
尽管数学对社会现实的客观作用是巨大的，但它并不以此作为主观发展的目的。
与此相反，数学是人类思维的游戏，是人类思维的自由创造，并不以在经验世界中产生的作用作为价值判断的依据。
同时，与自然学科相比，数学的作用具有间接性与滞后性，常常通过对自然科学的强力推动作用于人类的生产生活。
另外，从数学的发展阶段看，如果说素朴水平的数学还保持着与现实生活比较密切的联系，理论水平与形式水平的数学则很少对现实生活起到直接的作用，相反它们常常需要与现实生活保持一定的距离。
“当数学定理涉及现实时，它们是不确切的；当它们是确切时，它们就不涉及现实……公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开……公理是人类精神的自由创造……。
”[10]41-42
由此可见，数学本身的非实用性目的与数学教育生活化的实用性目的之间存在着一定的矛盾，弗赖登塔尔曾一针见血地指出了这个问题：
“数学教育最大的问题就是用处与目的之间的分歧，任何一个其他的教育领域，都不像数学教育那样，在无用处的目的和无目的的用处之间有着如此之大的距离。
” [10]63此矛盾在数学教育领域的具体表现，则是数学教育目的观的分歧。
2.数学教育的目的：
“内在思维”还是“外在应用”
豪森（G.Howson）和梅林·奥尔森（M.Olsen）曾对不同人群所持有的数学教育目的和期望进行了分类，提出数学教育有两种目的：
S—基理型和I—基理型。
S—基理型是社会的或内在的目的。
它从社会对个体素质的需要来看待数学，重视系统的数学知识、文化和价值的传播，重视数学思维的作用，这种数学教育功能的价值取向称为数学的社会取向。
I—基理型是作为工具的或外在的目的。
它从数学知识对个体是否有实用性来看待数学，重视无异议的有用知识，为学生提供达到一定水平的有用数学，这种数学教育功能的价值取向称为数学的工具取向。
[6]154由于数学是思维的体操，数学内在素质的核心是数学思维，因此，下面我们主要从内在思维与外在应用两个方面比较这两种数学教育目的。
数学教育生活化关注生活问题数学化和数学问题生活化，其核心就是培养学生解决现实数学问题的能力，基本上属于外在应用取向，在这种应用取向指导下，很多具有思维训练价值但无实用性的数学内容都被排除在外。
当然，现实问题的解决也能促进学生数学思维的发展，但这种数学教育取向却存在两个重要缺陷：
首先，现实生活问题只是数学问题的一部分，更多的数学问题来自于数学内部；其次，由于数学的直接研究对象是抽象的模式而非特殊的现实情景，[13]因此，超越具体情境、超越现实生活进行抽象思考就成为了数学思维的根本特征。
在生活问题解决的教学中，如果仅仅满足于创设生活情境、解决具体问题而忽略数学思维的抽象性、概括性，或不引导学生进一步思考数学事实背后更加普遍化的数学理论或数学结构，就容易忽略数学最基本的特性，学生数学思维的提升就会受到限制。
美国“问题解决”运动主要代表人物舍费尔德（A.Schoenfeld）教授在反思“问题解决”运动时曾经指出，“现在让我回到‘问题解决’这一论题。
尽管我在1985年出版的书用了《数学解题》这样一个名称，我现在认识到这一名称的选用是过于狭窄了。
我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是别人所提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。
不用说，问题解决构成了数学思维的一个重要部分，但这并非全部内容。
在我看来，数学地思维意味着：
（a）用数学家的眼光去看待世界，即具有数学化的倾向：
构造模型，符号化，抽象，等等；（b）具有成功地实行数学化的能力。
”[14]美籍匈牙利数学家波利亚认为，数学教学的目的是教会年轻人思考。
[15]282荷兰数学家弗赖登塔尔则认为，“数学的最大优点就是它的灵活性。
数学如果为了迎合某些应用而失去了它的灵活性，它就僵化了。
”[10]73我国数学家杨乐认为，“数学教育的目的，首要的应该是提高素质、水平和能力，而不在于能把具体内容直接用到某一方面。
应用意识当然也是要培养的，但是提高学生的素质、水平和能力，应该比其他的更重要。
”[3]可见，与数学教育的外在应用取向相比，内在思维取向更加基本、更加重要。
（三）数学教育的方法论
如果说数学最基本的特性是理性精神，恐怕没人会提出质疑，但如果说，数学认识不需要借助经验，这恐怕会引起不小的争议。
数学认识是遵循着由概念到概念还是由经验到概念的发展路径？
生活经验是遮蔽还是促进了数学观念的认识？
这是探讨数学教育方法论之前首先需要思考的问题。
1.生活经验遮蔽还是促进了数学观念的认识
“生活经验遮蔽还是促进了数学观念的认识”是哲学史上争论不休的认识论问题，在柏拉图与亚里士多德那里，可以窥见不同观点的端倪。
柏拉图强调经验世界与理念世界的不同，认为只有理念才能成为数学研究的对象，通过经验不能获得数学观念，甚至会妨碍、误导数学观念的认识，“我所说的意思是算术有很伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象……”[16]亚里士多德虽然接受了柏拉图的先验论，但与柏拉图不同的是，亚里士多德认为经验在数学观念获得过程中具有不可或缺的价值。
也就是说，柏拉图是认为数学观念是超验的，是经验所不能把握的；而亚里士多德认为数学观念虽先验但并不超验，数学观念的唤醒常常需要经验的刺激。
但他们都承认，数学在本质上是先验科学，当经验认识与数学观念不一致时，经验认识应服从数学观念，也就是与经验到概念的认识路径相比，由概念到概念的认识路径更加体现了数学学科的特点。
反观我们的数学教育，在谈论数学教育生活化时，我们关注的是经验对数学观念认识的促进作用；在讲生活化妨碍了数学认识时，我们关注的是经验对数学观念的遮蔽。
不同的认识论导致了不同的数学教育方法论。
在数学教育方法论上，我们究竟应该关注经验归纳还是概念推导？
关注生活中的数学还是结构的数学？
2.数学教育的方法论：
“生活的数学”还是“结构的数学”
欧内斯特把教师的数学观分成三类：
问题解决的观点、柏拉图主义的观点和工具主义的观点。
问题解决的观点把数学看成一个动态的、由问题推动发展的学科；柏拉图主义的观点把数学看成一个静态的永恒不变的学科，它通过逻辑而将知识组织成一个彼此联系的结构；工具主义的观点则把数学看成由事实、法则、技巧构成的一套工具，受过训练的工匠熟练地利用它达到一些外在的目的。
[6]170这些数学观决定了教师的数学教育观与教学模式。
与此相似，弗赖登塔尔也根据教育实践中教师数学观的不同将数学教育划分为机械的、经验的、结构的和现实的四种教学模式。
下面我们根据弗赖登塔尔的分类对数学教育实践中存在的四种教学模式进行分析。
机械主义教学模式即“教现成的数学”。
这种教学模式主要是教师灌输选好的教学要点，学生通过死记硬背和强化训练来学习算法。
教师严格按课本和教学计划讲授，学生没有经历探究的过程，而直接学到了数学结果，数学知识就像突然从天上掉下来的。
这种数学教学既没有从学生的经验世界出发，也不能使学生掌握数学的知识结构与思想方法；既不符合学生的认识规律，又未切中数学的本质；既是“非心理”的，又是“非数学”的。
不求甚解的填鸭式教学属于机械主义教学模式。
经验主义教学模式即“做生活中的数学”。
这种教学模式从学生的数学现实出发，让学生在生活背景中感悟数学、理解数学，从而提高学生数学学习的兴趣与积极性，增进数学知识的理解。
但是，如果运用不当，就会妨碍学生数学思维的抽象性。
“数学教育生活化”基本上属于经验主义教学模式。
结构主义教学模式即“做结构的数学”。
这种教学模式关注数学的结构性、严格性和符号化，要求学生像数学家那样思考数学，亲自去发现数学的规律和联系。
由于过早强调抽象和演绎的教学，超越了多数儿童的学习能力，只能使少数数学天赋较高的儿童得到不错的发展，对于大多数儿童来说，难以通过这种教学获得应有的数学能力。
尤其对于低年级学生来说，他们的抽象思维能力还没有获得很好地发展，过分强调形式化的教学，脱离了他们的实际理解能力和思维水平，致使他们难以理解所学数学知识的真正内涵。
由皮亚杰、布鲁纳等发起的“新数运动”基本上属于结构主义教学模式。
现实主义教学模式以拟经验主义数学观为基础，组合了经验主义与结构主义教学模式的观点，可归结为“做生活——结构的数学”。
弗赖登塔尔及其同事认为现实主义教学模式是一种理想的数学教学模式。
这种教学模式既注重数学教学从现实生活出发，又重视数学教学的严格性与结构化；既注重经验的归纳，又注重概念的推导，并把它们分置于数学教学的两个方面、五个阶段。
两个方面即横向数学化与纵向数学化，五个阶段即直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段与严谨阶段。
与此类似，苏联数学家斯托利亚尔也把数学教学分为经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用三个阶段。
[17]乔治·波利亚（GeogrePolya）将数学教学过程分为三个阶段：
探索阶段、形式化阶段和同化阶段。
探索阶段接近于学生的行动和感受；形式化阶段引入了具体概念，上升到概念化的水平上；同化阶段是一个洞察事物内部属性的尝试。
[15]283
综上所述，“数学教育生活化”在本体论、目的论与方法论上的观点主要为：
（1）在本体论上，认为数学是经验性科学，因为生活化就意味着经验化；
（2）在数学教育目的方面强调实用性，认为数学教育要来自于生活，运用于生活；（3）在方法论上，认为数学认识遵循着由经验上升到数学观念的认识路径，数学教育要从学生的经验世界、生活世界出发，注重经验归纳的探究方法。
可见，无论是在本体论、目的论与方法论方面，“数学教育生活化”的观点都有失偏颇。
数学教育不应简单地走向“生活化”，而是应该走向“数学化”。
三、走向“数学化”：
数学教育的发展方向
（一）“数学化”——数学教育的有效原则
“数学化”是弗赖登塔尔提出的数学教育的基本原则，是指数学地组织现实世界的过程。
在弗赖登塔尔的数学化思想中，最重要的观点有三个。
一是数学化的对象可被分为两类，一类是现实客观事物，一类是数学本身。
对客观世界进行的数学化被称为横向数学化，其结果是数学概念、运算法则、规律、定理和为解决具体问题而构造的数学模型等；对数学本身进行的数学化被称为纵向数学化，其结果是不同层次的公理体系和形式体系。
二是数学化的方法——“再创造”。
弗赖登塔尔认为与其让学生学习现成的数学或已完成的数学，不如让学生学习活动的数学或再创造的数学。
三是数学化的合理性标准——自然有效。
数学化的教学既符合学生的心理特点、认识规律，也有利于学生深入掌握数学知识、数学结构，培养学生灵活的数学思维。
“说它最自然，是因为生物学上‘个体发展过程是群体发展过程的重现’这条原理在数学学习上也是成立的，即数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律……说这种方法最有效，是因为只有通过自己的再创造而获得的知识才真被掌握，和可以灵活应用；而更为重要的是，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数学，也就是在创造数学中学习数学。
” [10]编译者序
（二）“数学教育生活化”只是“数学化”的初级阶段
根据弗赖登塔尔对横向数学化与纵向数学化的区分，“数学教育生活化”主要属于横向数学化，也就是数学化的初级阶段。
下面，我们引用弗赖登塔尔数学化途径的分析对这个观点做进一步阐述。
表1数学化的四种途径[18]
注：
“+”表示强化；“-”表示弱化。
由表1可见，机械主义教学模式既很少让学生经历横向数学化，也很少让学生经历纵向数学化；经验主义教学模式关注到了横向数学化，却忽略了纵向数学化的过程，很少关注到数学知识的抽象化、形式化特点；结构主义教学模式则与经验主义相反，关注到了纵向数学化，却忽略了横向数学化，忽略了学生的数学学习经验和学习基础；而现实主义的教学模式先从横向数学化出发，再进入纵向数学化阶段，在学习初始阶段关注到了学生的数学学习经验，在学习的高级阶段又关注到了数学学习的抽象化、形式化，是一种比较理想的教学模式。
因此，“数学教育生活化”只是数学化的初级阶段，过分、不恰当地强调“生活化”，有可能造成数学教育的“去数学化”。
（三）“纵向数学化”在数学教育中具有更加重要的价值
由于数学的基本思想主要体现为数学抽象、数学推理和数学模型，因此，在数学教育中，“纵向数学化”具有更加重要的价值。
这便要求教师时刻关注数学学科的特点，即便是在横向数学化的教学中，也要尽量提升学生的抽象思维和逻辑推理能力。
只有在学生缺乏经验基础而难以理解数学内容时，才要给他们提供经验背景，当学生能够脱离情境进行形式化思维时，就要引导他们进行概念推理。
也就是说，即使在低年级数学教学中，我们也要关注数学思想方法的渗透，注重学生思维抽象性的提升。
当然，在高年级数学教学中，遇到学生难以理解的数学问题，也可以借助学生的数学经验以及比较直观化的教学方法帮助学生思考。
在数学教育中，我们应该根据具体的数学内容、学生的思维水平灵活选择横向数学化还是纵向数学化，相对来说，低年级学生横向数学化教学会多一些，高年级学生纵向数学化教学会多一些。
但都需要教师明白，生活经验只是数学教育不得已而借助的手段，抽象思维、逻辑推理才真正地体现着学生的数学素养特点。
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