第十三章轴对称导学案.docx

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第十三章轴对称导学案

第十三章轴对称

12.1.1轴对称（第1课时）

学习目标：

通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。

学习重点与难点、考点：

教学重点：

由具体情境抽象出轴对称图形与轴对称的概念．

教学难点：

理解轴对称与轴对称图形之间的区别与联系．

考点：

轴对称图形的认识

学习过程：

一、创设情境，感受新知

观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征

<一>轴对称图形

1、做一做

把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？

位于折痕两侧图案有什么关系？

2、想一想

日常生活中常见的动物图片如：

蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？

3、轴对称图形定义：

如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

就是它的对称轴。

<二>轴对称

1、欣赏下面几幅图片，并完成问题。

2、轴对称定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。

<三>．关于某条直线成轴对称的图形的性质特征

轴对称与轴对称图形的联系与区别．

轴对称图形

轴对称

区别

联系

如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

二、拓展延伸，运用新知（考题训练）

1.下列汉字，如果用一样粗细的笔写出来，哪些是轴对称图形？

是轴对称图形的，有几条对称轴？

大 小 口 中 朋 木

2．在26个英文字母中，请你说出几个成轴对称图形的字母，并且指出有几条对称轴

3、判断下面每组图形（如图14－7所示）是否关于某条直线成轴对称.

4、练习：

标出下列图形中的对称点

5、下面图形是轴对称图形吗？

如果是，请说出它们有几条对称轴，并画出它们的对称轴。

等腰三角形等腰梯形等边三角形

三、反思：

13.1.1轴对称（第2课时）

【学习目标】

（1）了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

（2）了解线段垂直平分线的概念．

（3）进一步加强探索、参与讨论的能力和解决实际问题的能力。

【学习重难点、考点】

重点：

轴对称的性质．

难点:

体验轴对称的特征

考点：

轴对称的性质。

一、基础知识填空

（1）轴对称图形的对称轴是一条_____________。

（2）写出五个成轴对称的汉字                     

（3）写出3个是轴对称图形的英文字母：

_________________________

二、预习思考

１、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

2、什么叫做线段的垂直平分线?

1分析:

因为△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点,所以，PA与PA′，PB与PB′，PC与PC′分别重合，∠MPA=∠ＭＰA′＝９００。

结论：

如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

三、课堂练习（考题训练）

1、如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?

2、如图，在五角星上作出一条对称轴

四、反思：

13.1.2线段的垂直平分线

【学习目标】

（2）探究线段垂直平分线的性质及判定．

（3）进一步加强探索、参与讨论的能力和解决实际问题的能力。

【学习重难点、考点】

重点：

线段垂直平分线的性质及判定．

难点：

线段垂直平分线的性质及判定的运用．

考点：

线段垂直平分线的性质及判定的运用．

一、预习思考

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

二、课堂探究1（问题探究，自主学习）

线段的垂直平分线：

____________________________________________.

MN垂直平分______.

MN垂直平分______.

MN垂直平分______.

探究一：

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

思考方法

1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

用我们已有的知识来证明这个结论吗？

讨论给出证明．

三.、随堂练习（考题训练）

1.在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

2．如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

四、课时小结：

这节课我们主要学习了什么内容？

有哪些收获呢？

五、课后提升

（1）已知：

MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中，正确的是____

A.与AB距离相等的点在MN上B.与点A和B距离相等的点在MN上

C．与MN距离相等的点在AB上D.AB垂直平分MN

（2）如图1，PA=PB，QA=QB，则直线PQ是线段AB的________________,（补全下列推理过程）

证明：

因为PA=PB（已知）

所以P点在线段AB的中垂线上（____________________）

因为QA=QB（已知）

所以Q点在线段AB的中垂线上（____________________）

所以_____________________________（两点确定一条直线）

（3）如图2，△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE=6，求△BCE的周长。

图1图2

6、反思

13.2.1作轴对称图形

一、自学目标：

1、能作轴对称图形，能应用轴对称进行简单的图案设计，能用轴对称的知识解

决相应的数学问题。

2、极度热情、享受成功、感受数学就在身边。

二、学习重点、难点、考点

重

点：

作轴对称图形

难点：

用轴对称知识解决相应的数学问题。

考点：

作轴对称图形、用轴对称知识解决相应的数学问题。

三、合作探究（同学合作，教师引导）

1、复习回顾：

线段公理；垂直

平分线的性质。

2、自己动手在一张半透明的纸上

画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么?

改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什么?

归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的_______完全相同；　　

（2）新图形上的任意一点，都是原图形上某一点关于直线l的__________；

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴__________。

3、把图1补成关于直线l对称的图形

图2

四、精讲精练（考题训练）

例1、如图2，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

练习：

把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。

五、反思：

12.2.2用坐标表示轴对称

学习目标：

1、能够经过探索利用坐标来表示轴对称。

2、掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。

学习重点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。

学习难点：

用坐标表示轴对称的应用。

学习过程：

（一）创设情境，感受新知

<一>关于x轴、y轴对称的点的坐标特点

探究1：

如图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，3）关于x轴的对称点吗?

它的坐标是______.

再画B（-4,-1）点关于X轴对称点B’（）.

观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？

总结：

关于归纳：

关于x轴对称的点的坐标的特点是:

横坐标_____,纵坐标_____________.

探究2：

如右图，在平面直角坐标系中你能画出点A（2，4）关于y轴的对称点吗?

它的坐标是______.

再画B（-4,-3）点关于y轴对称点B’（）.

观察每对对称点横坐标、纵坐标各有什么关系？

总结：

关于归纳：

关于y轴对称的点的坐标的特点是:

横坐标_____,纵坐标_____________.

探究３

已知点

A（2，－3）

B（－1，2）

C（－6，－5）

D（0.5，1）

E（4，0）

关于x轴对称的点

A′（）

B′（）

C′（）

D′（）

E′（）

关于y轴对称的点

A″（）

B″（）

C″（）

D″（）

E″（）

归纳：

点（x，y）关于x轴对称的点的作标是；

点（x，y）关于y轴对称的点的作标是

已知点P（2a+b　,　-3a）与点P’（8　,　b+2）.

若点p与点p′关于x轴对称，则a=_____b=_______.

若点p与点p″关于y轴对称，则a=_____b=_______.

（二）拓展延伸，运用新知（考题训练）

1、点P（-5,6）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.

2、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于x轴对称，则a=_____,b=_____.

３、点P（-5,6）与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.

４、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则a=_____,b=_____.

５如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形

６、如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形

（三）反思：

12.3.1等腰三角形（第一课时）

学习目标：

1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。

2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

学习重点：

等腰三角形的概念及性质。

学习难点：

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。

考点：

等腰三角形的概念、性质及其应用。

学习过程：

（一）创设情境，感受新知

1、三角形按边来分类，可分为三角形和三角形。

2、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫

两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫

3如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称

4做一做：

怎样能折出等腰三角形呢？

在折的过程中你能发现等腰三角形的性质吗？

12

如图,在△ABC中,

（1）如果AB=AC,且∠1=∠2，那么=，且。

（2）如果AB=AC,且BD=DC，那么=，且。

（3）如果AB=AC,且AD⊥BC，那么=，且。

等腰三角形性质：

性质1等腰三角形的两个相等（简写成“”）

性质2等腰三角形、、互相重合。

如图，已知AB=AC，AD=AE，说明DE∥BC的理由。

（二）拓展延伸，运用新知（考题训练）

１等腰三角形顶角为1500，那么它的另外两个角的度数分别是。

２等腰三角形的一个内角为500，则另外两个角的度数分别是。

３在等腰△ABC中，若AB=3，AC=7，则△ABC的周长为。

４如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，BD=BE,且∠A=1000，则∠DEC=。

５如图，AD//BC，CA平分∠BCD，∠D=1100，并且AB=AC，求∠BAC的度数。

６等腰三角形ABC中，∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°，请同学们想一想，如何添一条线，将等腰三角形ABC分成两个等腰三角形？

成功后，如何再添一条线，多得到一个等腰三角形？

还可以继续吗？

（三）反思：

12.3.1等腰三角形（第二课时）

学习目标：

1、理解等腰三角形的判定方法及应用。

2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。

学习重点：

等腰三角形的判定方法及其应用

学习难点：

探索等腰三角形的方法定理

考点：

等腰三角形的判定方法及其应用

学习过程：

（一）创设情境，感受新知

1、实验猜想

如图，将一个长方形纸条进行折叠，叠和部分所成的

三角形有什么特征？

它是等腰三角形吗？

2、思考：

ΔABC中，当添加一个什么条件时，可以成为等腰三角形？

3、提出猜测：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由.

归纳：

等腰三角形的判定方法：

（简称为“”）。

几何语言：

因为在△ABC中，（已知）

所以（）

即

（二）拓展延伸，运用新知（考题训练）

1．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。

这个三角形是（）

A．钝角三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形　D．等边三角形

2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图形中共有等腰三角形（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

（第2题）　　　　　第3题　　　第４题

3．如图，△ABC中，AB＝AC，B＝36°，D、E是BC上两点，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ACB的平分线交于D点，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°

（三）课堂练习，巩固所学（考题训练）

1、已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．

求证：

AB=AD．

2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：

OC=OD．

3、如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形．

（2）求∠BAD的度数．

（三）反思：

12.3.2等边三角形（第一课时）

学习目标：

1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

学习重点：

等边三角形判定定理的发现与证明

学习难点：

等边三角形性质和判定的应用

考点：

等边三角形判定定理的发现与证明

学习过程：

（一）创设情境，感受新知

想一想：

教材P53---思考

归纳：

（1）等边三角形的性质：

等边三角形的

（2）等边三角形的判定：

（二）拓展延伸，运用新知（考题训练）

1、如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB，AC于DE。

求证△ADE是等边三角形。

2、等边三角形三条中线相交于一点。

画出图形，找出图中所有的全等三角形，并证明它们全等。

3如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证BE＝DC

（三）反思：

12.3.2等边三角形（第二课时）

自学目标：

1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

学习重点、难点：

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

考点：

含30°角的直角三角形性质定理及应用．

学习过程：

（一）创设情境，感受新知

探究：

有一个角为30°的直角三角形的性质

1、问题：

用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

2、由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：

BC=

AB．

3、归纳：

在直角三角形中，

（二）拓展延伸，运用新知：

（考题训练）

1、右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

2、等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

3已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：

BD=

AB．

（三）反思：