运用与拓广:
<3)已知两点D<1,-3)、E<-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.1nowfTG4KI
测试5等腰三角形的性质
学习要求
掌握等腰三角形的性质,并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等腰三角形.
2.<1)等腰三角形的性质1是______________________________________________.fjnFLDa5Zo
<2)等腰三角形的性质2是______________________________________________.tfnNhnE6e5
<3)等腰三角形的对称性是_____,它的对称轴是_____.
图5-1
3.如图5-1,根据已知条件,填写由此得出的结论和理由.
<1)∵ΔABC中,AB=AC,
∴∠B=______.<)
<2)∵ΔABC中,AB=AC,∠1=∠2,
∴AD垂直平分______.<)
<3)∵ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=______.<)
<4)∵ΔABC中,AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥______.<)
4.等腰三角形中,若底角是65°,则顶角的度数是_____.
5.等腰三角形的周长为10cm,一边长为3cm,则其他两边长分别为_____.
6.等腰三角形一个角为70°,则其他两个角分别是_____.
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°,则等腰三角形的底角等于_____.
二、选择题
8.等腰直角三角形的底边长为5cm,则它的面积是<)
A.25cm2B.12.5cm2
C.10cm2D.6.25cm2
9.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm,则它的周长是<)
A.63cmB.51cm
C.63cm和51cmD.以上都不正确
10.△ABC中,AB=AC,D是AC上一点,且AD=BD=BC,则∠A等于<)
A.45°B.36°C.90°D.135°
综合、运用、诊断
一、解答题
11.已知:
如图5-2,ΔABC中,AB=AC,D、E在BC边上,且AD=AE.
求证:
BD=CE.
图5-2
12.已知:
如图5-3,D、E分别为AB、AC上的点,AC=BC=BD,AD=AE,DE=CE,
求∠B的度数.
图5-3
13.已知:
如图5-4,ΔABC中,AB=AC,D是AB上一点,延长CA至E,使AE=AD.
试确定ED与BC的位置关系,并证明你的结论.
图5-4
拓展、探究、思考
14.已知:
如图5-5,RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF.
求证:
<1)DE=DF;<2)ΔDEF为等腰直角三角形.
图5-5
15.在平面直角坐标系中,点P<2,3),Q<3,2),请在x轴和y轴上分别找到M点和N点,使四边形PQMN周长最小.HbmVN777sL
<1)作出M点和N点.
<2)求出M点和N点的坐标.
图5-6
测试6等腰三角形的判定
学习要求
掌握等腰三角形的判定定理.
课堂学习检测
一、填空题
1.等腰三角形的判定定理是_________________________________________________.V7l4jRB8Hs
2.ΔABC中,∠B=50°,∠A=80°,AB=5cm,则AC=______.
3.如图6-1,AE∥BC,∠1=∠2,若AB=4cm,则AC=____________.
4.如图6-2,∠A=∠B,∠C+∠CDE=180°,若DE=2cm,则AD=____________.83lcPA59W9
图6-1图6-2图6-3图6-4
5.如图6-3,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D,若CD=1.8cm,则BC=______.
6.如图6-4,△ABC中,BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10cm,则ΔOMN的周长=______.mZkklkzaaP
7.ΔABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC交AC于E,DE=7cm,AE=5cm,则AC=______.AVktR43bpw
8.ΔABC中,AB=AC,BD是角平分线,若∠A=36°,则图中有______个等腰三角形.
9.判断下列命题的真假:
<1)有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形.<)
<2)平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形.<)
<3)有两个内角不等的三角形不是等腰三角形.<)
<4)如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等,那么这个三角形是等腰三角形.<)
综合、运用、诊断
一、解答题
10.已知:
如图6-5,ΔABC中,BC边上有D、E两点,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
△ABC是等腰三角形.
图6-5
11.已知:
如图6-6,ΔABC中,AB=AC,E在CA的延长线上,ED⊥BC.
求证:
AE=AF.
图6-6
12.已知:
如图6-7,ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.ORjBnOwcEd
求证:
CE=CF.
图6-7
13.如图6-8,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线,2MiJTy0dTT
求证:
BQ+AQ=AB+BP.
图6-8
拓展、探究、思考
14.如图6-9,若A、B是平面上的定点,在平面上找一点C,使ΔABC构成等腰直角三角形,问这样的C点有几个?
并在图6-9中画出C点的位置.gIiSpiue7A
图6-9
15.如图6-10,对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC,请设计出三种不同的分法,将ΔABC分割为三个三角形,并且使每个三角形都是等腰三角形.uEh0U1Yfmh
图6-10
测试7等腰三角形的判定与性质
学习要求
熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算.
课堂学习检测
一、填空题
1.如果一个三角形的两条高线相等<如图7-1),那么这个三角形一定是______.
图7-1
2.如图7-2,在ΔABC中,高AD、BE交于H点,若BH=AC,则∠ABC=______.
图7-2
3.如图7-3,ΔABC中,AB=AC,AD=BD,AC=CD,则∠BAC=______.
图7-3
4.如图7-4,在ΔABC中,∠ABC=120°,点D、E分别在AC和AB上,且AE=ED=DB=BC,则∠A的度数为______°.IAg9qLsgBX
图7-4
5.如图7-5,ΔABC是等腰直角三角形,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,且BC=10cm,则△DCE的周长为______cm.WwghWvVhPE
图7-5
二、选择题
6.△ABC中三边为a、b、c,满足关系式A.等边三角形B.等腰三角形
C.等腰钝角三角形D.等腰直角三角形
7.若一个三角形是轴对称图形,则这个三角形一定是<)
A.等边三角形B.不等边三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
8.如图7-6,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角形有<)ooeyYZTjj1
A.4个B.5个C.6个D.7个
图7-6图7-7
9.等腰三角形两边a、b满足|a-b+2|+<2a+3b-11)2=0,则此三角形的周长是<)BkeGuInkxI
A.7B.5C.8D.7或5
10.如图7-7,ΔABC中,AB=AC,BE=CD,BD=CF,则∠EDF=<)
A.2∠AB.90°-2∠A
C.90°-∠AD.
三、解答题
11.已知:
如图7-8,AD是∠BAC的平分线,∠B=∠EAC,EF⊥AD于F.
求证:
EF平分∠AEB.
图7-8
12.已知:
如图7-9,在ΔABC中,CE是角平分线,EG∥BC,交AC边于F,交∠ACB的外角<∠ACD)的平分线于G,探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论.PgdO0sRlMo
图7-9
13.如图7-10,过线段AB的两个端点作射线AM,BN,使AM∥BN,请按以下步骤画图并回答.
<1)画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E,∠AEB是什么角?
<2)过点E任作一线段交AM于点D,交BN于点C.观察线段DE、CE,有什么发现?
请证明你的猜想.
<3)试猜想AD,BC与AB有什么数量关系?
图7-10
14.已知:
如图7-11,ΔABC中,AB=AC,∠A=100°,BE平分∠B交AC于E.
<1)求证:
BC=AE+BE;
<2)探究:
若∠A=108°,那么BC等于哪两条线段长的和呢?
试证明之.
图7-11
测试8等边三角形
学习要求
掌握等边三角形的性质和判定.
课堂学习检测
一、填空题
1._____的_____叫做等边三角形.
2.等边三角形除一般的等腰三角形的性质外,它的特有性质主要有:
<1)边的性质:
_____;
<2)角的性质:
_____;
<3)对称性:
等边三角形是_____图形,它有_____对称轴.
3.等边三角形的判定方法:
<1)三条边_____的_____是等边三角形;
<2)三个角_____的_____是等边三角形;
<3)_____的等腰三角形是等边三角形.
4.含30°角的直角三角形的一个主要性质是______.
5.判断下列命题的真假:
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形.<)
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形.<)
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.<)
④三个外角都相等的三角形是等边三角形.<)
6.已知:
如图8-1,ΔABC是等边三角形,AE⊥BC于E,AD⊥CD于D,若AB∥CD,则图中60°的角有_____个.3cdXwckm15
图8-1
7.如图8-2,B、C、D在一直线上,ΔABC、ΔADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC=_____,∠ECD=_____.h8c52WOngM
图8-2
8.如图8-3,已知ΔABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC交BC于D,垂足为E,若DE=2cm,则BC=_____cm.v4bdyGious
图8-3
综合、运用、诊断
解答题
9.已知:
如图8-4,ΔABC和ΔBDE都是等边三角形.
<1)求证:
AD=CE;
<2)当AC⊥CE时,判断并证明AB与BE的数量关系.
图8-4
10.如图8-5,已知ΔABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连接DE并延长至点F,使EF=AE,连接AF、BE和CF.J0bm4qMpJ9
<1)请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明;
<2)求证:
AF=BD.
图8-5
11.已知:
如图8-6,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CD∥AB,BC=6cm,∠BAD=30°,∠B=90°.求CD的长______.XVauA9grYP
图8-6
拓展、探究、思考
12.<1)如图8-7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC,求∠AEB的大小;bR9C6TJscw
图8-7
<2)如图8-8,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△