行程问题变速问题.docx
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行程问题变速问题
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比率、分步、分段办理等多种办理问题等
解题方法。
关于这类分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特色。
算术方法关于运动过程的掌握特别仔细，但一定一步一步来；
折线图则显得特别直观，每一次相遇点的地点也易于确立；
方程的长处在于无需考虑得特别认真，只要要知道变速点就能够列出等量关系式，把
大批的推理过程转变成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即依据常用的行程问题的公式进行求解，这类方法看似简单，其实也有好多技巧，使
用公式不单包含公式的原形，也包含公式的各样变形形式；有时条件不是直接给出的，这
就需要对公式特别熟习，能够推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用表示图作为协助工具．表示图包含线
段图和折线图．图示法即画出行程的大体过程，要点在折返、相遇、追及的地址．此外在
多次相遇、追及问题中，绘图剖析常常也是最有效的解题方法；
⑶比率法
行程问题中有好多比率关系，在只知道和差、比率时，用比率法可求得详细数值．更
重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如行程、速度、时间等）常常是不确立的，
在没有详细数值的状况下，只能用比率解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不可以直接合用．这时往常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段顶用匀速问题的方法去剖析，而后再把结果联合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分别的题目中，直接用公式或比率都很难求解时，设条件关系最多
的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程经常能够顺利求解．
模块一、变速问题
【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米，小强每分走70米，
二人在途中的A处相遇。
若小红提早4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米？
【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地址向相反
方向跑去。
相遇后甲比本来速度增添2米／秒，乙比本来速度减少2米／秒，
结果都用24秒同时回到原地。
求甲本来的速度。
【例3】
（2008年日本小学算术奥林匹克大赛）上午
8
点整，甲从A地出发匀速去
B地，
8
点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提升到本来的
3倍，
乙速度不变；8
点30分,甲，乙两人同时抵达各自的目的地．那么，乙从
B地出发
时是8点
分．
【例4】（难度等级※※※）A、B两地相距7200米，甲、乙分别从A，B两地同
时出发，结果在距B地2400米处相遇．假如乙的速度提升到本来的3倍，那
么两人可提早10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？
【例5】（难度等级※※※）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小
时后相遇在C点．假如甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，
B两地同时出发相向而行，则相遇地址距C点12千米；假如乙车速度不变，甲
车速度每小时多行5千米，则相遇地址距C点16千米．甲车本来每小时行多
少千米？
【稳固】（难度等级※※※）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小
时后相遇在C点。
假如甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点lO千米；假如乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C
点5千米。
问：
甲本来的速度是每小时多少千米？
【例6】A、B两地间有一座桥（桥的长度忽视不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，
3小时后在桥上相遇．假如甲加迅速度，每小时多走2千米，而乙提早0.5小
时出发，则还能恰在桥上相遇．假如甲延缓0.5小时出发，乙每小时少走2千
米，还会在桥上相遇．则A、B两地相距多少千米？
【例7】一列火车出发1小时后因故泊车0.5小时，而后以原速的3/4行进，最后到
达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又行进90公里再因故泊车0.5小时，
而后相同以原速的3/4行进，则抵达目的地仅晚1小时，那么整个行程为多少公
里？
【例8】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提升了1/9，
结果提早一个半小时抵达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提
高1/6，于是提早1小时40分抵达北京．北京、上海两市间的行程是多少千米？
【例9】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速
去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提升到本来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时抵达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．
【例10】（难度等级※※）甲、乙两人同时从山脚开始登山，抵达山顶后就马上下山，
他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，并且甲比乙速度快。
两人出发
后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙抵达山顶时，甲恰巧到半山腰。
那么甲回到出发点共用多少小时？
【例11】小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2
千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又马上下山，并走到A点上方500
米的地方．假如他下山的速度是每小时4千米，下山比上山少用了52.5分钟．那
么，他来回共走了多少千米？
【例12】（难度等级※※※※）甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时
相遇；假如乙车提早1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，假如甲车
提早1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等
于多少千米/小时？
【例13】甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道长进行10000米长跑竞赛，两人从同
一同跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙当先整整一
圈时，两人同时加快，乙的速度比本来快1，甲每分钟比本来多跑18米，并且都
4
以这样的速度保持到终点．问：
甲、乙两人谁先抵达终点？
【例14】环形场所的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地址出发相背而行（甲速大
于乙速），12分钟后相遇．假如每人每分钟多走25米，则相遇点与上次相差33米，
求本来二人的速度．
【例15】王刚骑自行车从家到学校去，平时只用20分钟。
因途中有2千米正在修路，
只能推车步行，步行速度只有骑车速度的1，结果这日用了36分钟才到学校。
从
3
王刚家到学校有多少千米？
【例16】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之
比是5:
4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增添20%．这样当甲抵达B地时，
乙走开A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？
【例17】甲、乙来回于相距1000米的A，B两地．甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地出发，并在距A地600米的C地追上甲．乙到B地后马上原速向A地返回，甲到B
地歇息1分钟后加迅速度向A地返回，并在C地追上乙．问：
甲比乙提早多少分钟
回到A地？
【例18】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车抵达乙地后马上返回，
返回时速度提升50%。
出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到
达乙地时，小轿车恰巧走到甲、乙两地的中点。
小轿车在甲、乙两地来回一次需要多少时间？
【例19】甲、乙两地间平路占
1，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的
2，
5
3
一辆汽车从甲地到乙地共行了
10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢
20%，
行下山路的速度比平路快20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？
【例20】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特别训练：
他们同时从同一地出发，沿相反
方向跑，每人跑完第一圈抵达出发点后马上回头加快跑第二圈，跑第一圈时，乙
的速度是甲的速度的
2
．甲跑第二圈的速度比第一圈提升了
1，乙跑第二圈的速
3
3
度提升了1，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路
5
程是190米，问这条跑道长多少米？
【例21】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地址向相反方
向跑去．相遇后甲比本来速度增添4米／秒，乙比本来速度减少4米／秒，结果都
用25秒同时回到原地．求甲本来的速度．
【稳固】从A村到B村一定经过C村，此中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总行程为20千米．某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返
回A村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，并且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A、C之间的行程及自行车上坡时的速度．
【例22】（2008年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早
晨7:
40，欢欢从家出发骑车去学校，7:
46追上了向来匀速步行的贝贝；看到身穿
校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢马上调头，并将速度提升到本来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:
00赶到学校时，贝贝也恰巧到学校．假如欢欢
在家换校服用去
6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是
点
分．
【例23】甲、乙两人都要从A地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米．乙
比甲早出发20分钟，甲在距A地1920米的C处追上乙，两人持续向前，甲发现
自己忘带东西，于是将速度提升到本来的1.5倍，马上返回A地去取，并在距离C
处720米的D处碰上乙．甲抵达A地后在A地逗留了5分钟，再以逗留前的速度
骑往B地，结果甲、乙两人同时抵达B地．A、B两地之间的距离是米．
【例24】小芳从家到学校有两条相同长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半
下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间相同多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，
那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【例25】（2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道长进行1万米
竞赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度一直保持不变，开始时甲比乙慢，
在第15分钟时甲加迅速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且
开始超出乙。
在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲抵达终点。
那么，
乙跑完整程所用的时间是多少分钟？
【例
26】（2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．假如
出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度马上提升25%，而
乙的速度马上减少20%，并且乙第一次追上甲的地址与第二次追上甲的地址相距
100米，那么这条环形跑道的周长是米．
【例27】以下图，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。
跑道右
半部分（粗线部分）道路比较泥泞，因此两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。
两人向来跑下去，问：
他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。
【例28】（2009年第七届“走进美好的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆
玩具甲虫在400米跑道长进行竞赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具
甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神奇遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫
以本来速度的
10%倒退
1分，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以本来速度的
20%倒
退1分，以此推，按第
N次，使丁丁的玩具甲虫以本来的速度的
N10%倒退
1分，而后再按本来的速度前，假如在比中最后，他最少挨次遥控器。
【例29】唐老和米老鼠行5000米跑．米老鼠的速度是每分125米，唐老的
速度是每分100米．唐老有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用
都能使米老鼠入“麻木”状1分，1分后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分恢复能量才能再使用．米老鼠“麻木”状也在逐适，第1次入“麻木”状，米老鼠会完整停止，米老鼠第2次入“麻木”状，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度⋯⋯，第20次入“麻木”状已有原速度95%的速度了，此后米老鼠就不再会被唐老的遥控
器所控制了．唐老与米老鼠同出，假如唐老要保不，它最晚要在米
老鼠跑了多少米的候第一次使用遥控器?
【例30】小周开前去某会中心，出20分后，因交通拥塞，半途延了20分
，了按抵达会中心，小周将速提升了25%，小周从出算起抵达会
中心共用了多少分？
【例
31】（2008年清附中入学）如，甲、乙分从
A、C两地同出，匀
速相向而行，他的速度之比
5:
4，相遇于
B地后，甲以本来的速度向
C地
前，而乙马上返回，并且乙的速度比相遇前降低
1，当乙回到
C地
5
，甲恰巧抵达离C地18千米的D，那么A、C两地之的距离是__________
千米。
【例32】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙
车速度为48千米/时，它们抵达B地和A地后，甲车速度提升1，乙车速度减少1，
46
它们第一次相遇地址与第二次相遇地址相距74千米，那么A、B之间的距离是多
少千米？
【例33】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛）上午8点整，甲从A地出发匀速
去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提升到本来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时抵达各自的目的地．那么，
乙从B地出发时是8点分．
【例34】甲、乙来回于相距1000米的A，B两地．甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地出发，并在距A地600米的C地追上甲．乙到B地后马上原速向A地返回，甲到B
地歇息1分钟后加迅速度向A地返回，并在C地追上乙．问：
甲比乙提早多少分钟
回到A地？
【例35】（2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）以下图，有A、B、C、D四个游
乐景点，在连结它们的三段等长的公路AB、BC、CD上，汽车行驶的最高时速限
制分别是120千米、40千米和60千米。
一辆大巴车从A景点出发驶向D景点，
抵达D点后马上返回；一辆中巴同时从D点出发，驶向B点。
两车相遇在C景点，
而中间巴抵达B点时，大巴又回到了C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其
所能达到且被同意的速度尽量快地行驶，大巴自己所拥有的最高时速大于60千
米，中巴在与大巴相遇后自己所拥有的最高时速比相遇前提升了12.5%，求大巴客
车的最高时速。
【稳固】从甲市到乙市有一条公路，它分红三段．在第一段上，汽车速度是每小时40
千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时
50千米．己知第一段公路的长恰巧是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两
市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的1处相遇．那
3
么，甲、乙两市相距多少千米？
【例36】此刻甲乙两辆车来回于相距20千米的A、B两地，甲车先从A地出发，9分钟
后乙车也从A地出发，并且在距离A地5千米的C地追上甲车。
乙车到B地以后
马上向A地原速驶回，甲车到B地歇息12分钟以后加迅速度向A地返回，并在C
地又将乙车追上。
那么最后甲车比乙车提早多少分钟到A地？
模块二、变道问题
【例37】（2005年《小学生数学报》优异小读者评比活动）有一种机器人玩具装置，配
备长、短不一样的两条跑道，此中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200
厘米的公用跑道（以下列图）。
机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道
上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。
假如甲、
乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，
机器人甲距离出发点A点多少厘米?
【例38】（2007年首届全国资优生思想能力测试）以下列图，甲从A出发，不停来回于AB
之间行走。
乙从C出发，沿C—E—F—D—C环绕矩形不停行走。
甲的速度是5
米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地址离D点米。
【例39】如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。
甲
的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。
甲、乙二人同时由A点起跑，方向如
图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑
上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。
问：
甲、乙可能相遇的地点距离A点
的行程是多少？
（行程按甲跑的计算）
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