变化率与导数.ppt
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牛顿,莱布尼兹,两人同时创立了微积分,导数及其应用,3.1.1变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,第一次,第二次,0.62dm,0.16dm,问题一:
气球膨胀率,气球的平均膨胀率为,气球的平均膨胀率为,当气球的空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
思考,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:
m)与起跳后的时间t(单位:
s)存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:
在0t0.5这段时间里,在1t2这段时间里,问题二:
高台跳水,计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
平均速度不能准确反映该段段时间里运动状态.,探究,式子,平均变化率的定义,若设x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为,这里x看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同理y=f(x2)-f(x1),yx,=,f(x2)-f(x1)x2x1,=,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.,思考?
观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?
O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,例1、已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1)1,3;
(2)1,2;(3)1,1.1,4,3,2.1,例题讲解,例2.求函数y=5x2+6在区间2,2+x内的平均变化率。
解y=5(2+x)2+6-(522+6)=20x+5x2,所以平均变化率为,例题讲解,1.一质点运动的方程为s=12t2,则在一段时间1,2内的平均速度为()A4B8C6D6,C,课堂练习,2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数的改变量为()Af(x0+x)Bf(x0)+xCf(x0)xDf(x0+x)f(x0),D,3.已知f(x)=2x2+1
(1)求:
其从x1到x2的平均变化率;
(2)求:
其从x0到x0+x的平均变化率,并求x0=1,x=时的平均变化率。
(1)2(x1+x2),
(2)4x0+2x,5,课堂练习,小结:
1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:
3.函数的平均变化率的几何意义:
(1)求函数的改变量:
f;,
(2)计算平均变化率,表示函数图象上两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)连线(割线)的斜率。
在高台跳水中,函数关系h=-4.9t2+6.5t+10,如何求2时的瞬时速度?
瞬时速度:
物体在某一时刻的速度,3.1.2导数的概念,当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
瞬时速度,(在局部)先求平均速度,然后取极限。
如何求瞬时速度?
lim是什么意思?
在其下面的条件下求右面的极限值。
运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示?
思考,、函数的平均变化率怎么表示?
思考,导数的定义:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作,或,导数的作用:
在例2中,高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度;,在例1中,我们用的是平均膨胀率,那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率,导数可以描绘任何事物的瞬时变化率,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本步骤是:
注意:
x可正也可负.,一差、二比、三极限,例1.
(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,例1.
(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,例题讲解,例1.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率,并求出在该点处的导数,例题讲解,例1.(3)质点运动规律为s=t2+3,求质点在t=3的瞬时速度.,例题讲解,练习,计算第3(h)和第5(h)时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。
这说明:
在第3小时附近,原油温度大约以1的速率下降,在第5小时附近,原油温度大约以3的速率上升。
练习:
小结:
1求物体运动的瞬时速度:
(1)求位移增量s=s(t+t)-s(t)
(2)求平均速度(3)求极限,2由导数的定义可得求导数的一般步骤:
(1)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)
(2)求平均变化率(3)求极限,一、复习,1、导数的定义,其中:
其几何意义是表示曲线上两点连线(就是曲线的割线)的斜率。
其几何意义是?
3.1.3导数的几何意义,P,Pn,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,(曲线在某一点处)切线的定义,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.,通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。
所以,这种定义才真正反映了切线的直观本质。
此处切线的定义与以前的定义有何不同?
思考,M,x,y,割线与切线的斜率有何关系呢?
即:
当x0时,割线PQ的斜率的极限,就是曲线在点P处的切线的斜率,,探究,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率是.,故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是:
结论,Q2,Q3,Q4,T,继续观察图像的运动过程,还有什么发现?
当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:
这个概念:
提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,要注意,曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,例1:
(1)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.,
(2)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,例题讲解,例2:
如图,已知曲线,求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,h,t,o,函数的导函数,函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。
1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数。
2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一。
练:
设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,巩固提高,课堂练习:
如图(见课本P80.A6)已知函数的图像,试画出其导函数图像的大致形状。
P80.B2:
根据下面的文字叙述,画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。
(1)汽车在笔直的公路上匀速行驶;
(2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶;(3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶;,练习:
思考:
物体作自由落体运动,运动方程为:
其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求:
(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度;
(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度;(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.,分析:
解:
(1)将t=0.1代入上式,得:
(2)将t=0.01代入上式,得:
小结:
1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量:
f=y=f(x2)-f(x1)f(x1x)f(x1);
(2)计算平均变化率,3.函数的平均变化率的几何意义:
表示函数图象上两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)连线(割线)的斜率。
4.函数在x=x0的瞬时变化率,