高中数学换元法解题案例及练习题.docx

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高中数学换元法解题案例及练习题

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换兀法。

换兀的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：

局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：

4x+2x-2>0,先变形为设2x=t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y=x

+、1X的值域时，易发现x€[0,1]，设x=sin2a,a€[0,—]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2+

y=r2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosB、y=rsinB化为三角问

题。

均值换元，如遇到x+y=S形式时，设x=-+t,y=-—t等等。

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我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，

换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量

的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和口€[0,-]。

I、再现性题组：

1.y=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.设f（x2+1）=loga（4—x4）（a>1）,贝Uf（x）的值域是

o

3.已知数列｛an｝中，ai=—1,a.i•a.=a.1—a.，则数列通项a.=

4.设实数x、y满足x2+2xy—1=0，贝Ux+y的取值范围是

。

5.方程匚盖=3的解是。

13

6.不等式log2（2x—1）•log2（2x1—2）〈2的解集是

。

3小题：

已知变形为——丄=一1,设bn=丄,则b1=—1,bn=—1an1anan

+（n—1）（-1）=—n,所以an=—丄;

n

4小题：

设x+y=k,则x2—2kx+1=0,△=4k2—4>0,所以k>1

或k<—1;

5小题：

设3x=y，贝》3y2+2y—1=0,解得y=-，所以x=—1;

3

6小题：

设log2（2x—1）=y,则y（y+1）<2，解得-2

5

€（log2Jog23）。

H、示范性题组：

例1.实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5（①式），设S=x2+

y2，求+丄的值。

（93年全国高中数学联赛题）

SmaxSmin

【分析】由S=x2+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换

元，设X-SCOSa代入①式求-max和-尬山的值。

yVSsina

【解】设x律cos"代入①式得：

4S—5S•sinacosa=5yVSsina

1

Smax

Smin

-+

10

13168

10105

10

3

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2a=黑10的有界

S

性而求，即解不等式：

Id^°|W1。

这种方法是求函数值域时经常用

S

到的“有界法”。

【另解】由S=x2+y2，设x2=S+1,y2=|-1,t€[-|,S],

则xy=±j善-12代入①式得：

4I±5厲-t2=5,

移项平方整理得100t2+39S2—160S+100=0。

•••39S2-160S+100<0解得：

10

133

.1,13,13168

…+=——+——=——=—

SmaxSmin1010105

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条

件S=x2+y2与三角公式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路，设x2=S+1、y2=S-1，减少了元的个数，问题且容易求解。

另外，还用到

22

了求值域的几种方法：

有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变

量x、y时，可以设x=a+b,y=a-b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得

3a2+13b2=5，求得a2€【°'3]'所以S=（a―b）2+（a+b）2=2（a2+b2）=10+20a2€[，再求—+丄的值。

1313133SmaxSmin

【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性

o

【解】由厶ABC中已知A+C=2B，可得A=C0°120,

cosB

设^—=

cosA

cosA+cosC=2coscos^-C=cos^-C=222,

2

22m22

1整理得：

3m4-16m—12=0,解出^=6,代入迹竽=乳=于。

【注】本题两种解法由“A+C=120°”、“丄+丄=-22”

cosAcosC

分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，

除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如

未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：

由A+C=2B,得A

+C=120°,B=60°。

所以丄+丄一丄=-2,2，即卩cosAcosAcosCcosB

cos—亠

+cosC=—22cosAcosC,和积互化得：

2coscos=—、2[cos（A+C）+cos（A-C），即

2cos竽-32=0,

解得：

cos「C=2

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例3.设a>0,求f（x）=2a（sinx+cosx）—

•••f（x）=g（t）=—?

（t—2a）2+1（a>0）,t€卜血，占]

t=-.2时，取最小值：

一2a2—2a—丄

2

当2a》.2时，t=2，取最大值：

一2a2+2.2a—-1;

当0<2a<2时，t=2a,取最大值：

丄。

2

••

f（x）的最小值为—2a2—22a—1,最大值为

1

—（0a

2

T）2

O

21、2

2a22.2a—（a）

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【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+

cosx与sinx•cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围（t€[-,2,2]）与sinx+cosx对应，否则将会出错

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称

轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积

等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx±cosx,

sinxcsox）,经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函

数或一次函数的研究。

例4.设对所于有实数x，不等式x2log2能》+2xlog2互+

aa1

log2^4^>0恒成立，求a的取值范围。

（87年全国理）

4a

2

【分析】不等式中log24（a1）、log2旦、log2也P三项有何联

aa14a

系？

进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】设log2^2^=t，则log2血卫=log2少=3+log2a1=

a1a2a2a

2

3-叽总=3-t，叽专=2叽亍一2t，

代入后原不等式简化为（3—t）x+2tx—2t>0,它对一切实数x恒成立，所以：

3

t0

2

4t8t（3t）

0曾<'解得0

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。

为什

么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log2能°、

a

2

log2亘、log2也乩三项之间的联系。

在解决不等式恒成立问题时,a14a

使用了“判别式法”。

另外，本题还要求对数运算十分熟练。

一般地,解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

22

例5.已知血=沁，且呼+呼=—侶丁（②式），求上xyxy3（xy）y

的值。

【解】设sin^=cos^=k，贝ysin0=kx，cos0=ky，且sin20

xy

【另解】由x=如丄=tgB,将等式②两边同时除以空丄，再表

示成含tg0的式子:

1+tg49=（1tg2）

10

3（1

10tg20,设tg20

3

ycos0x

=t，贝y3t2—10t+3=o,

•••t=3或3,解得弋=±\3或土-3

【注】第一种解法由sin0=空0而进行等量代换，进行换元，减

xy

少了变量的个数。

第二种解法将已知变形为-=sn0，不难发现进行

ycos0

结果为tg0,再进行换元和变形。

两种解法要求代数变形比较熟练。

在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

22

例6.实数x、y满足a2+Q2=1,若x+y-k>0恒成立，求

916

k的范围。

22

【分析】由已知条件（x2+U2=1，可以发现它与a2+b2=1916

有相似之处，于是实施三角换元。

22

【解】由°必+3亠=1，设-—1=cos0，——1=sin0，

91634

即：

x13cos0代入不等式x+y-k>0得：

y14sin0

3cos0+4sin0—k>0，即卩k<3cos0+4sin0=5sin（0+书）

所以kv-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化

为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三

+y-k>0

k

平面区域

角函数的值域问题，从而求出参数范围。

一般地，在遇到与圆、椭圆、

双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：

在平面直角坐标系，不等式ax+by+c>0（a>0）所表示的区域为直线ax+by+c=0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。

此题不等式恒成立问题化为图形问题：

椭圆上的点始终位于平面上x+y-k>0的区

域。

即当直线x+y-k=0在与椭圆下部

相切的切线之下时。

当直线与椭圆相切

22

时，方程组16（x1）9（y1）144有相等的

xyk0

一组实数解，消元后由△=0可求得k=-3,所以kv-3时原不等式恒成立

川、巩固性题组:

A.2lg2B.

抨C.

詐23D.

1.已知f（x3）=Igx（x>0），则f（4）的值为

4.已知x2+4y2=4x，贝Vx+y的范围是

5.已知a>0,b，0,a+b=J则a；+.?

；的范围是

6.不等式x>ax+3的解集是（4,b），贝Va=,b=

7.函数y=2x+vFl的值域是

8.

32

+…+a60。

在等比数列｛an｝中，ai+a2+•••+ai0=2,aii+ai2+•••+a30=12,

9.实数m在什么范围内取值，对任意

实数x，不等式sin2x+2mcosx+y

4m-1<0恒成立。

X

10.已知矩形ABCD顶点C（4,4）,A

点在曲线x2+y2=2（x>0,y>0）上移动，且ABAD始终平行x

轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积

2.函数y=（x+1）4+2的单调增区间是。

A.[-2,+8）B.[-1,+8）D.（-8，+8）C.（-8,-1]

3.设等差数列｛an｝的公差d=1，且S100=145,则a1+玄彳+a5+••…

+a99的值为。