河南省高考全国卷1数学真题理科数学附答案历年历届试题详解.docx

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河南省高考全国卷1数学真题理科数学附答案历年历届试题详解

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考

试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、

填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式

P（AB）P（A）P（B）

2

S4πR

如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径

P（AB）P（A）P（B）球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

4

3

VR

3

π

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

一、选择题

（1）设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合u（AIB）中的

元素共有（）

（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个

（2）已知

Z

1i

＋

=2+i,则复数z=（）

（A）-1+3i（B）1-3i（C）3+i（D）3-i

（3）不等式1

X

X1

＜1的解集为（）

（A）｛x0x1xx1（B）x0x1

（C）x1x0（D）xx0

1/13

_

（4）设双曲线

22

xy

221

（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x

ab

2+1相切，则该双曲线的离

心率等于（）

（A）3（B）2（C）5（D）6

（5）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中

各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

（A）150种（B）180种（C）300种（D）345种

（6）设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则acbc的最小值为（）

（A）2（B）22（C）1（D）12

（7）已知三棱柱

ABCABC的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC

111

的中点，则异面直线AB与

CC所成的角的余弦值为（）

1

（A）

3

4

（B）

5

4

（C）

7

4

（D）

3

4

（8）如果函数y＝3cos2x＋的图像关于点

4

3

，0中心对称，那么||的最小值为

（A）（B）（C）（D）

6432

（9）已知直线y=x+1与曲线yln（xa）相切，则α的值为（）

（A）1（B）2（C）-1（D）-2

（10）已知二面角l为60o，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为3，

Q到α的距离为23，则P、Q两点之间距离的最小值为（）

（A）（B）2（C）23（D）4

（11）函数f（x）的定义域为R，若f（x1）与f（x1）都是奇函数，则（）

（A）f（x）是偶函数（B）f（x）是奇函数（C）f（x）f（x2）（D）f（x3）是奇

函数

12.已知椭圆

2

x

2

C:

y1的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，

2

2/13

若FA3FB,则|AF|=（）

（A）.2（B）.2（C）.3（D）.3

第II卷

二、填空题：

13.

10

xy的展开式中，

73

xy的系数与

37

xy的系数之和等于。

14.设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9=。

15.直三棱柱

ABCABC的各顶点都在同一球面上，若ABACA1A2,

111

BAC120，则此球的表面积等于。

16.若

x，则函数

42

3

ytan2xtanx的最大值为。

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）

在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知

222

acb，且

sinAcosC3cosAsinC求,b

18．（本小题满分12分）（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）．

如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面

ABCD，AD2,DCSD2，点M在侧棱SC上，

ABM=60°

（I）证明：

M在侧棱SC的中点

（II）求二面角SAMB的大小。

3/13

19．（本小题满分12分）（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假

设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前

2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。

20．（本小题满分12分）（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）．

1n1

在数列{}

a中，a11,a1

（1）a

n

nnn

n2

a

（I）设n

b

n

n

，求数列{bn}的通项公式

（II）求数列{a}的前n项和Sn

n

21（本小题满分12分）（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）．

如图，已知抛物线

2

E:

yx与圆

222

M:

（x4）yr（r0）相交

于A、B、C、D四个点。

（I）求r得取值范围；

（II）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD

的交点P坐标

17.本小题满分12分。

（注．意．：

．在．试．题．卷．上．作．答．无．效．）．

设函数

3323

fxxbxcx在两个极值点

x、x，且

12

x1[1，0],x2[1,2].

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画

出满足这些条件的点b,c的区域；

（II）证明：

10

fx

2

1

2

4/13

答案详解

一、选择题

1：

A解：

AB{3,4,5,7,8,9}，AB{4,7,9}CU（AB）{3,5,8}故选A。

也可

用摩根律：

（）（）（）

CABCACB

UUU

2：

B解：

z（1i）（2i）13i,z13i故选B。

3：

D解：

验x=-1即可。

4：

C解：

设切点P（x0,y0），则切线的斜率为

'

y|xx2x.由题意有

0

0

y

0

x

0

2x

0

又

2

y0x01

解得:

bb

22

01,2,1（）5

xe

aa

.

5：

D解:

分两类

（1）甲组中选出一名女生有

112

C5C3C6225种选法

（2）乙组中选出一名女生有

211

C5C6C2120种选法.故共有345种选法.选D

6：

D解:

a,b,c是单位向量

2

acbcab（ab）cc

1|ab||c|12cosab,c12故选D.

C

1

7：

D解：

设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知A1AB即为异面

A1

B

1

直线AB与

CC所成的角,由三角余弦定理，易知

1

C

D

coscosAADcosDAB

1

ADAD

AAAB

1

3

4

.故选D

A

B

8：

A解:

函数y＝3cos2x＋的图像关于点

4

3

，0中心对称

2

4

k

32

13

k（kZ）由此易得||min

6

6

.故选A

9：

B解:

设切点P（x0,y0），则y0x01,y0ln（x0a）,又

'

y

1

|xx1

0

xa

0

x0a1y00,x01a2.故答案选B

5/13

10：

C解:

如图分别作QA于A,ACl于C,PB于B,

PDl于D，连CQ,BD则ACQPBD60,

AQ23,BP3，ACPD2

又

2212223

PQAQAPAP

当且仅当AP0，即点A与点P重合时取最小值。

故答案选C。

11：

D解:

f（x1）与f（x1）都是奇函数，

f（x1）f（x1）,f（x1）f（x1），

函数f（x）关于点（1,0），及点（1,0）对称，函数f（x）是周期T2[1

（1）]4的周期

函数.f（x14）f（x14），f（x3）f（x3），即f（x3）是奇函数。

故

选D

12：

A解:

过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意FA3FB,

故

2

|BM|.又由椭圆的第二定义,得

3

222

|BF||AF|2.故选A

233

二、填空题：

13：

解:

373

C10（C10）2C10240

14：

解:

a是等差数列,由

n

S972,得S99a5,a58

a2a4a9（a2a9）a4（a5a6）a43a524.

15：

解:

在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可得

ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径

R5，故此球的表面积为

2

4R20.

16：

解:

令tanxt,1

xt,42

44

2tanx2t2223

ytan2xtanx8

22

111111

2

1tan1（）

xt

422

ttt244

三、解答题：

6/13

17：

分析:

此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件

（1）

222

acb,左

侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件

（2）

sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：

在ABC中sinAcosC3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

有:

222222

abcbca

a3c,

2ab2bc

化简并整理得：

222

2（ac）b.又由已知

222

acb

2

4bb.解得b4或b0（舍）.

解法二:

由余弦定理得:

2222cos

acbbcA.

又

222

acb,b0。

所以b2ccosA2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①

又sinAcosC3cosAsinC，

sinAcosCcosAsinC4cosAsinC

sin（AC）4cosAsinC，

即sinB4cosAsinC

由正弦定理得sinBbsinC

c

，

故b4ccosA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②

由①，②解得b4。

评析:

从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提

高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：

两纲中明确不

再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

18：

解法一：

（I）

7/13

作ME∥CD交SD于点E，则ME∥AB，ME平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作MFAB，垂足为F，则AFME为矩形

设MEx，则SEx，

22

（2）22

AEEDADx

2

MFAE（2x）2,FB2x

由

。

得2

MFFBtan60,（2x）23（2x）

解得x1

即ME1，从而

1

MEDC

2

所以M为侧棱SC的中点

（Ⅱ）

222

MBBCMC，又ABM60,AB2,所以ABM为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

SM2,SA6,AM2，故

222,90

SASMAMSMA

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则BGAMGH,AM,由此知BGH

为二面角SAMB的平面角

连接BH，在BGH中，

31222

22

BGAM3,GHSM,BHABAH2222

所以

cosBGH

2226

BGGHBH

2BGGH3

二面角SAMB的大小为

6

arccos（）

3

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设A（2,0,0），则B（2,2,0）,C（0,2,0）,S（0,0,2）

（Ⅰ）设SMMC（0）,则

2222M（0,,）,MB（2,,）1111

8/13

又AB（0,2,0）,MB,AB60

故MBAB|MB||AB|cos60

即

422

222

（2）（）（）

111

解得1，即SMMC

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由M（0,1,1）,A（2,0,0），得AM的中点

G

211

（,,）

222

又

231

GB（,,）,MS（0,1,1）,AM（2,1,1）

222

GBAM0,MSAM0

所以GBAM,MSAM

因此GB,MS等于二面角SAMB的平面角

cosGB,MS

GBMS

|GB||MS|

6

3

所以二面角SAMB的大小为

6

arccos（）

3

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：

传统方法与向量的方法仍处于各自半

壁江山的状况。

命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19：

分析：

本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：

认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很

可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

9/13

解：

记

A表示事件：

第i局甲获胜，i=3,4,5

i

B表示事件：

第j局乙获胜，j=3,4

j

（Ⅰ）记B表示事件：

甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲

先胜2局，从而

BAABAAABA

34345345

由于各局比赛结果相互独立，故

P（B）P（AA）P（BAA）P（ABA）

34345345

=

P（A）P（A）P（B）P（A）P（A）P（A）P（B）P（A）

34345345

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6

=0.648

（II）的可能取值为2，3

由于各局比赛结果相互独立，所以

P

（2）P（AABB）

3434

=

P（AA）P（BB）

3434

=P（A3）P（A4）P（B3）P（B4）

=0.6×0.6+0.4×0.4

=0.52

P（3）1P

（2）=1.0.52=0.48

的分布列为

23

P0.520.48

E2P

（2）3P（3）

=2×0.52+3×0.48

10/13

=2.48

20：

解：

（I）由已知得b1a11，且

a1a1

nn

n

n1n2

即

1

bb

nnn

1

2

从而

bb

21

1

2

1

bb

322

2

⋯⋯

1

bb（n2）

nn1n1

2

于是

111

bb......

n12n1

222

=

1

2n（n2）

1

2

又

b11

故所求的通项公式

1

b2

nn

2

1

（II）由（I）知

1n

an

（2）2n,

nn1n1

22

S=

n

k

n

1

k

（2k）

k1

2

nn

（2k）

k1k1

k

k

2

1

k

nn

（2k）n（n1）,又

1k

k

k

12

而是一个典型的错位相减法模型，

1

k

n

1

kn2

4

k1n1

22

S=n（n1）

n

n

n

2

2

1

易得4

评析：

09年高考理科数学全国

（一）试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求

前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。

具有让考生和

一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。

也可看出命题人

在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21：

分析：

（I）这一问学生易下手。

将抛物线

22222

E:

yx与圆M:

（x4）yr（r0）的方程联立，消去y，整理得

11/13

271620

xxr．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线

2

E:

yx与圆

222

M:

（x4）yr（r0）相交于A、B、C、D四个点的

充要条件是：

方程（＊）有两个不相等的正根即可.

22

（7）4（16r）0