数学结构.docx
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数学结构
目錄
1、數學結構
1.定義
2.結構
3.化聚
4.種類
2、認知結構
1.小數問題分類
3、教學策略
1.各年級內容安排
2.迷思概念與對策
3.透過分數觀點
4.透過位值概念
5.透過生活上的例子
4、評量範例
5、分年細項
6、參考資料
1、數學結構
1.定義：
小數用來表示未滿整數的數值，也是十進分數的另一種表示方式。
當整體被分成十等分、百等分、千等分…..等等，此時表示分量的分數就有了另外特殊的記法，例如可記成0.1和可記成0.01，此類記法稱為小數記法。
2.結構：
小數的記數系統也承襲了滿十進一的規則：
…
百位
十位
個位
●
十分位
百分位
千分位
…
小數點左邊的部分是小數的整數部分，圓點叫做小數點，小數點右邊的部分是小數的小數部分。
整數部分的個與小數部分的十分之一是相鄰計數單位。
1個一是10個十分之一，10個十分之一是1個一；十分之一與百分之一是相鄰計數單位，1個十分之一是10個百分之一，10個百分之一是1個十分之一；百分之一與千分之一是相鄰計數單位，1個百分之一是10個千分之一，10個千分之一是1個百分之一；1個十分之一是100個千分之一，100個千分之一是1個十分之一；1裏面有10個十分之一，100個百分之一，1000個千分之一。
☆9的下一個數詞是10，所以0.9的下一個數是1.0，而不是0.10。
☆小數點為對稱中心，小數點左右兩邊的位名並沒有對稱，小數點右邊少了「個分位」。
3.小數化聚：
（1）0.1與0.01之間的化聚
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
10個0.01等於0.1
0.01＜0.10（比大小時，看小數點後的數）
小數點後位數不同時，少位數的可以補零。
如0.01和0.1做比大小時，0.1後面可以補零為0.10
（2）0.01與0.001之間的化聚
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
10個0.001等於0.01
0.001＜0.010
（3）0.1與0.001之間的化聚
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
0.017
0.018
0.019
0.02
0.021
0.022
0.023
0.024
0.025
0.026
0.027
0.028
0.029
0.03
.............................................
0.091
0.092
0.093
0.094
0.095
0.096
0.097
0.098
0.099
0.1
100個0.001等於0.1
0.100＞0.001畫線部分比大小
4.種類：
（一）無限小數
1.循環小數
2.不循環小數
（二）有限小數
1.純小數：
整數部份是零的小數
（1）一位純小數
記錄「十分之幾」分量的另一種形式，即0.1~0.9。
例：
0.1=
，讀作「零點一」。
（2）二位純小數
「百分之幾」的另一種記法，即0.01~0.99。
例：
0.01=
讀作「零點零一」
（3）三位純小數
「千分之幾」的另一種記法，即0.001~0.999。
例：
0.001=
讀作「零點零零一」
2.帶小數：
整數不是零的小數
（1）一位帶小數
記錄整數與一位純小數合成的結果，幾個「1」的位置稱為「個
位」，記幾個「0.1」的位置則稱為「十分位」。
例：
6.2=1×6+0.1×2
（2）二位帶小數
記錄整數與二位純小數合成的結果，指利用幾個「1」、幾個
「0.1」與幾個「0.01」的記錄方式。
例：
6.23=1×6+0.1×2+0.01×3
（3）三位帶小數
記錄整數與三位純小數合成的結果，指利用幾個「1」、幾個
「0.1」、幾個「0.01」與幾個「0.001」的記錄方式。
例：
6.235=1×6+0.1×2+0.01×3+0.001×5
☆小數點後跟著n位數，稱為n位小數。
2、認知結構
1.小數問題分類：
♋計算
加法：
整數加小數和為小數
整數加小數和為整數
小數加小數和為整數
小數加小數和為小數
減法：
計算
加法：
整數加小數和為小數
整數加小數和為整數
小數加小數和為整數
小數加小數和為小數
減法：
整數減小數差為小數
整數減小數差為整數
小數減小數差為整數
小數減小數差為小數
小數減小數差為零
乘法：
整數乘以小數積為小數
整數乘以小數積為小數整數
小數乘以小數積為小數
小數乘以小數積為整數
除法：
小數除以小數商為整數
小數除以小數商為小數
小數除以小數除不盡
整數減小數差為小數
整數減小數差為整數
小數減小數差為整數
小數減小數差為小數
小數減小數差為零
乘法：
整數乘以小數積為小數
整數乘以小數積為小數整數
小數乘以小數積為小數
小數乘以小數積為整數
除法：
小數除以小數商為整數
小數除以小數商為小數
小數除以小數除不盡
♋概念
（一）連續量：
是指部分和全部的比較
例如：
爸爸買了一條鐵絲，上週用了0.4條，這週用了0.5條，總共用了幾條？
（二）離散量：
子集和集合的比較
例如：
一箱汽水24瓶，玲玲昨天喝了0.3箱，香香喝了0.5箱，誰喝的比較多？
多多少瓶？
（三）內容物個數：
當「1」單位是離散量時，又依單位分數的內容物的個數，將分數問題情境區分為下列二類：
1.單位分數的內容物為單一個物，例如：
3個蘋果裝一盒，
盒有1個蘋果。
2.單位分數的內容物為多個個物，例如：
6個蘋果裝一盒，
盒有2個蘋
果。
☆在學生尚未發展測量運思以前，單位分數的內容物是單一或是多個個物，對學童而言有很大的差別，學童在概念上較容易接受內容為單一個物的問題，面對內容為多個個物的問題則有較多的困難。
3、教學策略
1.各年級內容安排：
國小「數」系統的教學，是先指導「整數」的學習，進而導入「分數」，最後才進入「小數」的學習領域。
有關小數的教材在各年級安排的內容與順序大致如下：
年級
教學領域
數
計算
三年級
一位小數的認識、化聚、進位與位值
一位小數的加減
一位小數的數線
十分位、小數、小數點
四年級
二位小數的認識、化聚、進位與位值
二位小數的加減
二位小數的數線
小數與分數的雙向連結
百分位
五年級
位小數的認識、化聚、進位與位值
三位小數的加減
百分位
六年級
乘數除數是整數的小數乘法
乘數除數是小數的小數乘法
2.透過分數觀點：
將小數看成是由「等分割」及「合成活動」製作而成。
例如：
單位小數0.285是記錄將一個整體一千等分割後，再集聚其中285份的分量，也就是記錄285個「0.001」的合成結果。
0.001×2852851000
3.透過位值概念：
經由多單位記數系統的位值概念來了解小數的結構，例如0.285是記錄2個「0.1」、8個「0.01」和5個「0.001」的合成結果。
（0.1×2）+（0.01×8）+（0.001×5）=0.285
4.透過生活上的例子：
在生活應用上，數學傾於使用「整數的概念」，例如：
全班分為「2」組，而不會說，全班分成各「12」組，或是各「0.5」組。
或是「1」個披薩分成「4」塊，也會說每一塊是「14」而不會說成「0.25」塊。
因此，在教學上，老師應以生活上較為常見的例子做為解說，例如：
郵票、加油的公升數、百米賽跑等。
5.迷思概念與對策：
（1）忽視整數部分、把小數當整數。
例：
0.1當作整數1。
彰化縣今天上午下了1.56公釐的雨，台中縣下了1.67公釐的雨，南投縣下了1.7公釐的雨，雲林縣下了1.49公釐的雨，請問哪一縣市今天下的雨量最多？
彰化縣台中縣南投縣雲林縣答：
（3）
帶小數的比較大小，三個誘答選項是不管小數點直接將四個數看成整數做比較，受到整數法則的影響。
（2）進行小數比較大小時，常犯錯的類型有以下四種：
●小數是比0還小的數
●整數法則（小數點的位數愈多其值愈大，如3.21＞3.8）
●分數法則（小數點的位數愈多其值愈小，如3.45＜3.2）
●忽略小數點，如12.7＜4.28（認為127小於428）
（3）小數的化聚：
上數學課時，老師問庭宇305個0.01應該怎麼表示，請大家幫庭宇選出正確的答案？
3.050.30530.5305答：
（1）
測驗二位單位小數的合成，選項直接將單位與個數合成，選項對於二位單位小數合成位值觀念不清，選項完全忽略小數點的存在
●四、五、六年級部分學童，雖較熟悉用運算方式理解小數的十進結構（例如：
0.1與1的關係），但忽視概念知識與理解知識的獲得。
●中年級學童在小數的化聚上不清楚小數與整數的關係、直接將個數與單位合成，例如：
36個0.1是0.36。
（4）小數的稠密度：
下列哪一個數最接近0？
0.090.90.910.99答：
（1）
由於四個選項都在0與1之間，除了須瞭解稠密度之外，尚須有數線觀念，選項最接近1，選項對稠密度觀念尚需加強。
研究指出學生在說出0.2和0.3之間的小數時，僅有44﹪的學童答對，而問有其他的數介於這兩數之閒時，學童通常的回答是老師、或書本說的，代表學童缺乏小數稠密度觀念。
（5）小數位值、位名的認識：
一顆西瓜重7公斤，一顆草莓重0.07公斤，將西瓜和草莓分別放在等臂天平兩端，要使天平保持平衡，請問草莓要放多少顆？
7001007010答：
（2）
測量一位整數與二位小數位值的關係。
選項顥示對一位整數與二位純小數的位值轉換觀念不清。
中、高年級學童常會因為對位值概念的不正確，忽視小數點的存在而導致運算結果的錯誤。
（6）小數的意義：
文文有0.08張色紙，這是將1張色紙平分成幾份後的8份？
800100108答：
（2）
需由逆向思考推論0.08是由全體平分100等份後中的8等份，選項對全體等分的的概念不清楚，選項對二位小數的由來概念不清，選項無法做逆項思考解題。
●要兒童說明小數的意義（例如：
0.1）有其困難。
●不清楚純小數與1的關係、忽視整數部分、把小數當整數。
●部分學童讀小數時，會將小數點後的數字視為整數來讀，例如0.7、0.8、0.9、0.10、0.11「零點十一」.…的序列詞，且年級越低錯誤比例越高。
（7）小數與數線對應關係：
在數線上8.77最接近下列哪一個整數？
8988878答：
（2）
未具呈現數線要求學生以抽象思考判斷出在數線上最接近的數，學生在這方面容易受整數法則影響，忽略小數點當成整數處理，所以容易錯答成
（8）小數的十進結構：
小明用0.1公升的量杯裝水30次，合起來是裝了多少公升的水？
3030.30.03答：
（2）
若是以一位純小數合成10次學生較易答對，但若改為合成30次，則較容易出錯。
選項將數字直看成整數合成，選項對一位帶小數的十進位結構位值觀念錯誤。
（9）小數與分數的關係：
將
以小數表示應是：
0.40.84.55.4答：
（2）
選項直接將分子當成小數；忽略分母的存在，選項將分子當成整數、分母當成小數，選項分母當成整數、分子當成小數。
●當小數→分數時
學童會依題目數字的個數決定分母，若題目的小數位數有2個數字則分母寫10（例如:
3.25=3
）
若題目小數位數有3個數字則分母寫100（例如:
1.736=1
）。
●分數→小數時
直接把分母當成整數部分而把分子當成小數部份（例如:
＝5.1）
直接把分子當成整數部分而把分母當成小數部分（例
如：
1.5）
不管分母的數字，就直接把分子拿來當成小數部份（例如：
＝0.1）。
4、評量範例
「0.1張紙」在哪裡（強調等分割的概念）
請學學生選出ㄅ、ㄆ、ㄇ、ㄈ中，斜線的部分哪一個是0.1張紙？
ㄅㄆㄇㄈ
教學重點：
教師在強調單位1，即一張紙為何後，教師在黑板上展示數張等分割的圖，請學生選出有顏色部分表示0.1張紙的圖，以診斷學生對十等分割的概念是否穩固。
塗彩珠活動（強調等分割的概念）
表示一串彩珠，請回答下面問題。
（1）小萍有下圖這麼多串彩珠，其中有3串是紅色的，請將紅色的彩珠塗上顏色：
（2）小誠有下圖這麼多串彩珠，其中有0.3串是藍色的，請將藍色的彩珠塗上顏色：
教學重點：
教師以10串彩珠，每串各有10顆彩珠的情境，藉以要求學生思考3串及0.3串間的差異。
五、分年細項
4-n-08
能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。
4-n-09
能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。
4-n-10
能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。
4-n-11
能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。
4-n-12
能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。
5-n-08
能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問題。
5-n-09
能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。
5-n-10
能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。
5-n-11
能將分數、小數標記在數線上。
六、參考資料
1.國小數學教材分析—小數的數概念與運算。
2005年2月27日取自：
http:
//www.naer.edu.tw/study/math/ana/book4/
2.林宜臻的數學園地數學本質概念—小數概念。
2005年2月28日取自：
http:
//www.naer.edu.tw:
8080
3.劉曼麗（2004）九年一貫數學領域分數與小數能力指標的詮釋：
子計畫三－小數。
4.陳麗珍。
國小四年級學童小數概念學習的偵測。
2005年3月1日取自：
http:
//gsems.ntctc.edu.tw/gsems/測統所歷屆論文與作品/[論文]_.pdf
5.莊維展。
94年中華民國中小學教師自科學與數學教案設計競賽－小數的迷思概念。
2007年11月3日取自：
http:
//www.ntsec.gov.tw/activity/race-9/2005win/pdf/BS003.pdf
6.小數的認識。
2007年11月3日取自：
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