数学二真题及答案解析.docx
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数学二真题及答案解析
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
•••
1
（1）当X0时，若In（12x），（1cosx）—均是比X咼阶的无
（A）（2,）（B）（1,2）（C）（2,1）
（D）囲）
⑵
下列
曲线
中
有渐
近线的是
（
）
（A）yx
sinx
（B）
2.
yxsinx
（C）yx
sin1
x
（D）y
2.1
xsin
x
⑶
设函数f（
x）具有2
阶导数，g（x）
f（0）（1x）f
（1）x，贝y
在区间［0,1］上
（
）
（A）当f（x）
0时，f（x）
g（x）
（B）
当f（x）0时，
f（x）
g（x）
（C）当f（x）
0时，f（x）
»g（x）
（D）
当f（x）0时，
f（x）
g（x）
⑷
丄2
曲线xt2yt2
7上对'
4t1
应于
t1的点处的曲率半径是
（A）1
（叫
（C）1
（D）5.10
（D）1（6）设函数u（x,y）在有界闭区域D上连续，在D的内部
222
具有2阶连续偏导数，且满足」0及-u-40，则
xyxy
（）
（A）u（x,y）的最大值和最小值都在D的边界上取得
（B）u（x,y）的最大值和最小值都在D的内部上取得
（C）u（x,y）的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得
（D）u（x,y）的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得
（C）a2d2b2e2（D）b2e2a2d2
（8）设1,2,3均为3维向量，则对任意常数k,l,向量组1k3,2l3线性无关是向量组
无关的
（C）充分必要条件
（D）既非充分也
要条件
非必要条件
1、填空题：
9：
14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（（9）
•••
dx
2x5
（10）设f（x）是周期为4的可导奇函数，且
f（x）2（x1）,x[0,2]，贝Vf（7）.
（11）设zz（x,y）是由方程e2yzxy2z4确定的函数，则
dz（2$.
（12）曲线rr（）的极坐标方程是r，则L在点
（r，）（-.-）处的切线的直角坐标方程是.
（13）一根长为1的细棒位于x轴的区间［0,1］上，若其线密度xx22x1,则该细棒的质心坐标
x.
（14）设二次型fx1,x,,x3x,2x,22ax,x4乂2冷的负惯性指
数为1,则a的取值范围为.
三、解答题：
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
•••
程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
求极限xlim
1
X2t
te'1tdt
1
x2ln1丄
x
（16）（本题满分10分）
已知函数yyx满足微分方程x2y2y1y，且y20,
求yx的极大值与极小
值.
（17）（本题满分10分）
x,y1x2y
设平面区域D
xsin、x2y2dxdy.
dxy
（18）（本题满分10分）
设函数f（u）具有二阶连续导数,
三乍（4zexcosy）e2x，若f（0）0'f（0）0，
4,x0,y0,计算
zf（excosy）满足f（u）的表达式.
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）,g（x）的区间［a,b］上连续，且f（x）单调增
加，0g（x）1.证明:
（I）0ag（t）dtxa,x[a,b],
设函数f（x）—,x0,1
1x
定义函数列
（20）（本题满分11分）
fn（x），直线x1及x轴所
limnSn
n
f1（x）f（x）,f2（x）f（f1（x））,L
fn（x）f（fn1（x））,L，记Sn是由曲线y围成平面图形的面积，求极限
（21）（本题满分11分）
已知函数f（x,y）满足—2（y1）,且f（y,y）（y1）2（2y）lny,y
求曲线f（x,y）0所围成的图形绕直线y1旋转所成的
旋转体的体积•
（22）（本题满分11分）
1234
设矩阵A0111，E为三阶单位矩阵.
1203
⑴求方程组Ax0的一个基础解系;（II）求满足ABE的所有矩阵.
01
02相似•
MM
0n
证明n阶矩阵
（23）（本题满分11分）
11L10L
11L1与0L
MMMM円mM
11L10L
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
•••
1
（1）当X0时，若In（12x），（1cosx「均是比X咼阶的无
（A）（2,）（B）（1,2）（C）右）
（D）（0，|）
【答案】B
所以10，故1.
2
1—
当X0时，（1cosx）~t是比X的咼阶无穷小，
2-
所以Z10，即2.
下列曲线
中有渐近线的是
故选B
（A）
yxsinx
（B）yx2sinx
（C）
yx
1sin—
x
（D）yx2sin-
x
【答案】
C
【解析】
关于
C选项：
.1.1
xsinsin
limxlim1limx101
xxxxx
1
sin—x］
x
limsin-0，所以yxsin-存在斜渐近线
Xxx
故选C
⑶设函数f（x）
具有
2阶导数，
g（x）
f（0）（1
在区间［0,1］上
（
）
（A）当f（x）0
时，
f（x）
g（x）
（B）
当
f（x）g（x）
（C）当f（x）0
时，
f（x）
g（x）
（D）
当
f（x）g（x）
【答案】D
【解析】令F（x）
g（x）
f（x）
f（0）（1
x）
f
（1）x
f（x）,
F（0）F
（1）
0
x）f
（1）x，贝y
f（x）0时,
f（x）0时,
（x）f（x）.
F（x）f（0）f
（1）f（x）,F
若f（x）0，
则F（x）0,F（x）在［0,1］上为凸的.
又F（0）故选D.
⑷曲线
F
（1）0，所以当x[0,1]时，F（x）0，从而g（x）f（x）.
7
4t
上对应于t1的点处的曲率半径是
1
（A）
）
50
（B）卫
100
（D）5.10【答案】【解析】
dy
dx
d2y
dx2
2t4
2t
dx
2
石
2t
10.10
故选C
（5）设函数f（x）arctanx
若f（x）xf（）,
（A）1
（B）3
（c）2
（D）i
【答案】D
【解析】因为凹
f'（）7^-2，所以
x1
1lim2lim-
x0xarctanxx0
xf（x）
f（x）
1
1X2
3x2
2
lim2lim
x0xX
故选D.
（6）设函数u（x,y）在有界闭区域D上连续,具有2阶连续偏导数，且满足
xf（x）..xarctanx
0x2f（x）
在D的内部丄0及厶j0，贝V
xyxy
（）
（A）u（x,y）的最大值和最小值都在D的边界上取得
（B）u（x,y）的最大值和最小值都在D的内部上取得
（C）u（x,y）的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得
（D）u（x,y）的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得
【答案】A
222
【解析】记A0,代C相反数
xxyy
则=AC-B20,所以u（x,y）在D内无极值，则极值在边界处取得•
故选A
行列
0ab0
a00b
0ed0
e00d
（）
（B）（adbe）2
（A）（adbe）2
（C）a2d2b2e2（D）b2e2a2d2
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
a
b
0
a
b
0
a
e
d
0
e
0
0
b
0
0
d
e
d
0
0ab0a00b
0ed0
ad（adbe）be（adbe）
2
（adbe）.
（8）设ai,a2,a3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量
组aika3,a?
玄线性无关是向量组印包舄线性无关的
（）
（B）充分非必
（D）既非充分
（A）必要非充分条件要条件
（C）充分必要条件也非必要条件
【答案】A
10【解析】1k321312301.
k1
1,2,
3线性无关，则
r（A）r（BC）r（C）2，故1k3,213线
性无关.
）举反例.令30，^V1‘2线性无关，但此时
却线性相关.
综上所述，对任意常数k,1,向量1k3,213线性
无关是向量1,2,3线性无关的必要非充分条件
故选A
1、填空题：
9：
14小题,每小题4分,共24分.请将
答案写在答题纸指定位置上.
•••
（9）
11
dx
x2x5
【答案】I
【解析】
（10）设f（x）是周期为4的可导奇函数，且f（x）2（x1）,x[0,2]，贝Vf（7）.
【答案】1
【解析】f'X2x1,x0,2且为偶函数
贝yf'x2x1,x2,0
又fxx22xc且为奇函数，故c=0
2
fxx2x,x2,0
又Qfx的周期为4,f7f11
（11）设zz（x,y）是由方程e2yzxy2z4确定的函数，则
dz
（2,2）
【解析】对e2yzx
彳方程两边同时对x,y求偏导
4
【答案】冷呦
2yzzz
e2y1一
x
e2yz（2z2^z）2y
y
1
当x2，y
（舅）
，11
2y（2,2）
1
2（dxdy）
（12）曲线艸n&的极坐标方程是r，则L在点
故dz
（1,1）
11
dx（）dy
22
（r,）（2,2）处的切线的直角坐标方程是
【答案】
【解析】
由直角坐标和极坐标的关系
xrcoscos
yrsinsin
于是r,
2,2,对应于x,y
dy
切线斜率乎先
dxdx
d
所以切线方程为
cossin
cossin
dy
dx
即『=2x-
2
（13）一根长为
线密度
x轴的区间［0,1］上，若其,则该细棒的质心坐标
1的细棒位于
2
xx2x1
1
xdx=
0
2
x2x1dx
3
x21
§XX0
【答案】10
11
12=11
5=20
3
（13）设二次型fX1,X2,X3xjX；2aXjX34X2X3的负惯性指数
是1,则a的取值范围.
【解析】配方法:
fX1,X2,X3
【答案】2,2
22222
x1ax3ax3x22x34x3
由于二次型负惯性指数为1，所以4a20，故2a2.三、解答题：
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过
•••
程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
X21
t2et1tdt
求极限讪1—
Xx2ln1丄
lim
x
x1
it2（&1）tdt
x1
【解析】lim亠*:
X21
x2ln（1-）
x
2—
lim[x（ex1）x]
x
lim丄丄
t02t2
ttt
..e1t.e1lim2limtotto2t
（16）（本题满分10分）
已知函数yyX满足微分方程x2y2y1y，且y20，求yx的极大值与极小
值.
【解析】
由x2y2y1y，得
（y21）y1x2
①
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为
又由①可得
y（x）
1x2
y21
由y
（2）0得c彳
当y（x）0时，x1，且有:
x1,y（x）0
1x1,y（x）0
x1,y（x）0
所以y（x）在x1处取得极小值，在x1处取得极大
y
（1）0,y
（1）1即：
y（x）的极大值为1,极小值为0.
（17）（本题满分10分）
设平面区域Dx,y|1
/22
xsin-xy
dxdy.
dxy
【解析】D关于yx对称，满足轮换对称性，则:
xsin（x2y2）
y
Ixsin（x2y2）
D
22
亠dxdy
X2y24,x0,y0,计算
ysin（.x2y2）,,
dxdy
xy
」」1xsin（Jx2y2）dxdy
xy2dxy
ysin（；x2y2）dxdy
xy
sin（
1
2
4（
1
4
1
4
sinr
rdr
rdcos
r
2
.2
rr1
cosrdr
1
1.
■2
sin
r1
d
cos
2
1
2
3
4
zf（excosy）满足
（18）（本题满分10分）
设函数f（u）具有二阶连续导数,
2
z
~2
y
（4z
excosy）e2x，若f（0）0,f'（0）0，
求f（u）
的表达式.
z
ecosy,
x
x
esiny
f（excosy）excosy^zf（excosy）
y
2
z
~2
x
f（excosy）
x
ecosy
x
ecosy
f（excosy）excosy，
2
z
~2
y
22
zz
~~2+2
xy
f（excosy）
x
esiny
x
esiny
f（excosy）excosy
4z
x
ecosy
2xe
x
fecosy
，代入得，
2x
e
[4fexcosy
x2x
ecosy]e
x
ecosy
4f
x
ecosy
x
ecosy，
y=t，得f特征方程
x
ecos
4ftt
0,2
得齐次方程通解
2t
Ge
2t
c2e
设特解y*atb，
代入方程得a
-J，b0，特解
4
则原方程通解为
y=ft&e2tc2e2t
由f00,f'00，得Ci—,C2丄，贝y
16161
12u12u1
y=fu—e—e-u
16164'
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）,g（x）在区间[a,b]上连续，且f（x）单调增
加，0g（x）1，证明:
（I）0ag（t）dtxa,x[a,b],
b
ag（t）dtb
（II）af（x）dxf（x）g（x）dx.
aa
【解析】（I）由积分中值定理：
gtdtgxa,[a,x]
Q0gx1，0gxaxa
x
0agtdtXa
（II）直接由0gx1,得到
xx
0gtdt1dt=xa
aa
u
（II）令Fu:
fxgxdxIagtdtfxdx
'u
Fufugufagtdtgu
a
u
gufufagtdt
a
由（I）矢口0agtdtuaaaagtdtu
又由于fx单增，所以fUfa：
gtdt0
F'u0,Fu单调不减，FuFa0
取ub，得Fb0，即（II）成立.
（20）（本题满分11分）
设函数f（x）亠,x0,1，定义函数列
1x
f1（x）f（x）,f2（x）f（f1（x））丄，fn（x）f（fn1（X））,L，记Sn是由曲线yfn（x），直线x1及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnSn.
【解析】
f1（x）
x
r?
f2（x）
Sn
1
n
1
n
1
0fn（x）dx
11dx-
n
1
Pln（1n
1
0
I1
01
n）
..ln（1n）lim
nn
x1x
—dx—
1nx0
11
dx2ln（1nx）
nxnn
xx
f3（X）
12x13x
1nx
1
0
丄，fn（X）
x
1nx
limnSn1
n
（21）（本题满分
已知函
1lim也山
Xx
11分）
数f（x,y）
1lim—1
x1x
十2（y1），
n
f（y,y）（y1）2（2y）lny,求曲线f（x,y）0所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为—2（y1）,所以f（x,y）y22y（x）,其中（x）为y
待定函数.
又因为f（y,y）（y1）22ylny,则（y）12ylny，从而
2
Inxd
1
（22）（本题满分11分）
E为三阶单位矩阵.
设矩阵
34
11
03
（I）求方程组Ax0的一个基础解系;
（II）求满足ABE的所有矩阵B.
【解析】
1
23
41
00
12
341
00
A
E
0
11
10
10
01
110
10
1
20
30
01
04
311
01
12
34
1
001
001
261
01
11
0
100
102
131
00
13
1
410
013
141
（I）Ax
0的
基础解系
为
1,2,3,1
T
（II）e
1,0,0
T
e2
0,1,0T
es
0,0,1T
Axei的通解为xki
Axe的通解为xk2
Axe3的通解为xk3
2k16k21k3
k1,k2,k3为任意常数）
B12k132k212k3
B13k143k213k3
k1k2k3
（23）（本题满分11分）
0L
与0L
MM
0L
01
02相似.
MM
0n
1
2
B=00L1，M
n
11L1
证明n阶矩阵
11L1MMMM
11L1
1M
1LL1，M
1
，0（n1重）.
n的特征向量为（1,1L,1）T；r（A）1,故Ax0基
0有
解析】已知A
则A的特征值为
A属于
础解系有n1个线性无关的解向量，即A属于
n1个线性无关的特征向量；故
n0.
■O
0
B的特征值为n，0（n1重），同理B属于0有n1
A相似于对角阵
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵由相似关系的传递性，A相似于B.
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