高考数学练习随机抽样和样本估计总体.docx
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高考数学练习随机抽样和样本估计总体
统计概率同步练习
（一）-随机抽样
1、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ A ）
A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
2、现从已编号（1～50）的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是（ B）
A.5，10，15，20，25B.3，13，23，33，43
C.1，2，3，4，5D.2，10，18，26，34
3、（2018·全国Ⅲ卷）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是___分层抽样_____.
4、将参加英语口语测试的1000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为___695_____.
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k＝
＝
＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15＋（35－1）×20＝695.
5、假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是___068_____（下面摘取了随机数表第7行至第9行）.
87421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
6、某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（ B ）
A.5B.7C.11D.13
解析：
把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组.所以第1组抽到的数为39－32＝7.
7、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）的茎叶图如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是___4_____.
解析：
依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.
8、为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（ C ）
A.13B.19C.20D.51
解析 由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号.∴样本中还有一位同学的编号为20.
9、某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取____18____件.
解析 因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1000，所以抽取比例为
＝
＝
.因此应从丙种型号的产品中抽取300×
＝18（件）.
10、某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于（ D ）
A.12B.18C.24D.36
11、某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：
人）.
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为____30____.
12、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中用分层抽样的方法抽取100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽取_____25___人.
解析：
由频率分布直方图可得在[2500，3000）收入段共有10000×0.0005×500＝2500人，按分层抽样应抽出2500×
＝25人.
13、在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（ D ）
A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
14、用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ A ）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
15、某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将该班70名同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的10个样本中第8个样本的编号是___38_____.
（注：
以下是随机数表的第8行和第9行）
第8行：
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
第9行：
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
解析 由随机数表知选出的10个样本依次是29，64，56，07，52，42，44，38，15，51，第8个样本编号是38.
统计概率同步练习
（二）-古典概型和用样本估计总体
1、（2016·全国Ⅲ卷）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ C ）
A.
B.
C.
D.
2、（2017·全国Ⅱ卷）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ D ）
A.
B.
C.
D.
3、甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”（即丙领到的钱数不少于其他两人）的概率是（ C ）
A.
B.
C.
D.
解析 设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为（x，y，z），则基本事件有：
（2，2，5），（2，5，2），（5，2，2），（2，3，4），（2，4，3），（3，2，4），（3，4，2），（4，3，2），（4，2，3），（3，3，3），共10个，其中符合“手气最佳”的基本事件有4个，所以丙获得“手气最佳”（即丙领到的钱数不少于其他两人）的概率p＝
＝
.
4、（2017·全国Ⅰ卷）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：
kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ B ）
A.x1，x2，…，xn的平均数B.x1，x2，…，xn的标准差
C.x1，x2，…，xn的最大值D.x1，x2，…，xn的中位数
5、若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ A ）
A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92
6、为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ C ）
A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关
C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
7、中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为（ A ）
A.2B.4C.5D.6
8、为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据（单位：
℃）制成如图所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为（ B ）
A.2B.
C.10D.
解析甲地该月5天11时的气温数据（单位：
℃）为28，29，30，30＋m，32；
乙地该月5天11时的气温数据（单位：
℃）为26，28，29，31，31，
则乙地该月11时的平均气温为（26＋28＋29＋31＋31）÷5＝29（℃），
所以甲地该月11时的平均气温为30℃，故（28＋29＋30＋30＋m＋32）÷5＝30，解得m＝1.
则甲地该月11时的平均气温的标准差为
＝
.
9、某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间（单位：
分钟）用茎叶图记录如下：
假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的.
①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；
②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；
③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；
④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大.
其中符合茎叶图所给数据的结论是（ C ）
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
解析 由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确.
男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率p1＝
＝
，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率p2＝
＝
，p1>p2，因此④正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为
甲，
乙，标准差分别为s甲，s乙.易求
甲＝65.2，
乙＝61.8，知
甲>
乙，②正确.又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，∴s甲因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.
10、（2017·全国Ⅲ卷）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是（ A ）
A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
11、某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ A ）
解：
由频率分布直方图可知，[0，5）的频数为20×0.01×5＝1，[5，10）的频数为20×0.01×5＝1，[10，15）的频数为20×0.04×5＝4，[15，20）的频数为20×0.02×5＝2，[20，25）的频数为20×0.04×5＝4，[25，30）的频数为20×0.03×5＝3，[30，35）的频数为20×0.03×5＝3，[35，40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.
12、对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30）的数据不慎丢失，则依据此图可得：
（1）[25，30）年龄组对应小矩形的高度为___0.04_____；
（2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35）的人数为____440____.
13、随着生活水平的提高，进入健身房锻炼的人数日益增加，同时对健身房的服务要求也越来越高，某健身房为更具竞争力，对各项服务都进行了改善，投入经费由原来的200万元增加到400万元，已知改善前的资金投入的比例为：
健身设施∶健身培训∶安全保障∶其他服务＝10∶5∶3∶2.改善后的经费条形统计图如图所示.
则下列结论正确的是（ B ）
A.改善后的健身设施经费投入变少了B.改善后健身培训的经费投入是改善前的2.8倍
C.改善后安全保障的经费投入所占比例变大了D.改善后其他服务的经费投入所占比例变小了
14、2018年世界女排锦标赛于9月29日至10月20日在日本举行，为了解同学们观看现场直播的情况，对高一、高二年级各10个班级的同学进行问卷调查，各班观看人数统计结果如茎叶图所示．
（1）（ⅰ）根据图中的数据，估计哪个年级平均观看人数较多？
（ⅱ）计算高一年级观看人数的样本方差；
（2）从高一年级观看人数不足20人的班级中随机抽取2个班，求这2个班分别是观看人数在10人以下与10人以上的概率．
解
（1）（ⅰ）设高一年级、高二年级观看人数的平均数分别为
，
，
那么
＝
＝20.2，
＝
＝20.9，
所以高二年级平均观看人数较多．
（ⅱ）由（ⅰ）知
＝20.2，则高一年级观看人数的样本方差s2＝
×[（20.2－8）2＋（20.2－6）2＋（20.2－12）2＋（20.2－14）2＋（20.2－16）2＋（20.2－23）2＋（20.2－25）2＋（20.2－33）2＋（20.2－33）2＋（20.2－32）2]＝97.16.
（2）由茎叶图可知，高一年级观看人数不足20人的班级有5个，其中观看人数在10人以下的班级有2个，分别记为a，b，观看人数在10人以上且不足20人的班级有3个，分别记为C，D，E.从高一年级观看人数不足20人的班级中抽取2个班，抽取的结果有（a，b）（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10种，设所求事件为事件A，则事件A包含（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），共6种不同的结果，由古典概型概率计算公式得，P（A）＝
＝
.
15、某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；
（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70）的概率．
解
（1）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30（人）．
所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1000×
＝750（人）．
（2）设“至少有1人体育成绩在[60，70）”为事件M，
记体育成绩在[60，70）的数据为A1，A2，体育成绩在[80，90）的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．
而事件M的结果有7种，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．
因此事件M的概率P（M）＝
.
16、为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）.试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解
（1）设A药观测数据的平均数为
，B药观测数据的平均数为
，由观测结果可得
＝
×（0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4）＝2.3，
＝
×（3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5）＝1.6.由以上计算结果可得
>
，因此可看出A药的疗效更好.
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有
的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好.
17、一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：
x
[11，13）
[13，15）
[15，17）
[17，19）
[19，21）
[21，23]
频数
2
12
34
38
10
4
（1）作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；
（2）若x<13或x≥21，则该产品不合格．现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率．
解
（1）频率分布直方图为
估计平均数为
＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.
由频率分布直方图，x∈[17，19）时，矩形面积最大，因此估计众数为18.
（2）记技术指标值x<13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，
则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4），共15个基本事件．
记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），共8个基本事件．
故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为p＝
.
18、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解
（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5.
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×
＝20.
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为（0.02＋0.04）×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×
＝30.
所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.
所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
19、从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85）
[85，95）
[95，105）
[105，115）
[115，125]
频数
6
26
38
22
8
（1）作出这些数据的频率分布直方图：
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解
（1）样本数据
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