完整word初中数学几何定理符号语言.docx
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完整word初中数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容
1、基本事实：
经过两点有且只有一条直线 。
（两点确定一条直线）
2、基本事实：
两点之间线段最短。
3、补角性质：
同角或等角的补角相等 。
几何语言：
∵∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°∴∠B=∠C（同角的补角相等）
∵∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°，∠A=∠C∴∠B=∠D（等角的补角相等）
4、余角性质：
同角或等角的余角相等。
几何语言：
∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°∴∠B=∠C（同角的余角相等）
∵∠A+∠B=90°，∠C+∠D=90°，∠A=∠C∴∠B=∠D（等角的余角相等
5、对顶角性质：
对顶角相等。
6、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（垂线段最短）
8、（基本事实）平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
几何语言：
∵a∥b，a∥c∴b∥c
10、两条直线平行的判定方法：
几何语言：
如图所示
（1）同位角相等，两直线平行。
∵∠1=∠2∴a∥b
（2）内错角相等，两直线平行。
∵∠3=∠4∴a∥b
（3）同旁内角互补，两直线平行。
∵∠5+∠6=180°∴a∥b
11、平行线性质：
几何语言：
如图所示
（1）两直线平行，同位角相等。
∵a∥b∴∠1=∠2
（2）两直线平行，内错角相等。
∵a∥b∴∠3=∠4
（3）两直线平行，同旁内角互补。
∵a∥b∴∠5+∠6=180°
12、平移：
（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。
13、三角形三边关系定理：
三角形两边的和大于第三边。
14 、三角形三边关系推论：
三角形中任意两边之差小于第三边。
15、三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°。
16、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
17、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
18、多边形内角和 ：
n边形的内角的和等于（n-2）×180°。
19、多边形的外角和等于360°。
20、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角相等。
几何语言：
如图所示
∵△ABC≌△DEF
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，BC=EF，AC=DF
21、全等三角形的判定方法：
（1）边边边：
三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）
几何语言：
如图所示
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF∴△ABC≌△DEF
（2）边角边：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
几何语言：
如图所示
∵AB=DE，∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≌△DEF
（3）角边角：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA）
几何语言：
如图所示
∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E∴△ABC≌△DEF
（4）角角边：
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
几何语言：
如图所示
∵∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF∴△ABC≌△DEF
（5）斜边、直角边：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL）
几何语言：
如图所示
∵AB=DE，BC=EF（AB=DE，AC=DF）
∴△ABC≌△DEF
22、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
23、推论：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
24、轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线。
25 、线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
26、推论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
27、轴对称：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；
（2）新图形式的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点；
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
28、用坐标表示轴对称：
点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。
29、等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
几何语言：
如图所示，在△ABC中
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等边对等角）
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
30、等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）
几何语言：
如图所示，在△ABC中
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角对等边）
31、等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
32、等边三角形的判定定理：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
33、直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：
如图所示
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴AC＝
AB（或者AB＝2AC）
34、勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
35、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
36、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行。
（2）平行四边形的对边相等。
（3）平行四边形的对角相等。
（4）平行四边形的对角线互相平分。
（性质）几何语言：
如图所示，
（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC
（2）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AD=BC
（3）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD
（4）∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD
37、平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（定义）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（练习题中）
（判定）几何语言：
如图所示，
（1）∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形
（3）∵OA=OC，OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形
（4）∵AB
CD（或AD
BC）∴四边形ABCD是平行四边形
（5）∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形
38、三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
几何语言：
如图所示，在△ABC中
∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=
BC
39、两条平行线间的任何一组平行线段相等。
40、矩形的性质：
（平行四边形具有的性质都具有）
（1）矩形的四个角都是直角。
（2）矩形的对角线相等。
41、直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
42、矩形的判定方法：
（1）有一个是直角的平行四边形是矩形。
（定义）
（2）有三个角是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
43、菱形的性质：
（平行四边形具有的性质都具有）
（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
44、菱形的判定方法：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（定义）
（2）四边相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
45、菱形的面积=对角线（AC、BD）乘积的一半，即S=
（AC×BD）。
46、正方形的性质：
（矩形、菱形具有的性质都具有）
（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
（2）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角。
（性质）几何语言：
如图所示，
（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC＝CD=DA，∠ABC=∠BCD＝∠CDA＝90°
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ABD=∠CBD＝∠ADB=∠CDB＝∠BAC=∠DAC＝∠BCA=∠DCA＝45°
47、正方形的判定：
（方法很多，只举三例）
47、正方形的判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
（判定）几何语言：
如图所示，
（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=BC∴四边形ABCD是正方形
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°∴四边形ABCD是正方形
（3）∵AC⊥BD，OA=OB=OC=OD∴四边形ABCD是矩形
（性质）几何语言：
如图所示，
（1）∵四边形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠DCB，∠DAB＝∠ADC
（2）∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC=BD
（判定）几何语言：
如图所示，在梯形ABCD中，
（1）∵AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形
（2）∵∠ABC=∠DCB（或∠DAB＝∠ADC）∴四边形ABCD是等腰梯形
（3）∵AC=BD∴四边形ABCD是等腰梯形
48、等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形在同一底上的两个角相等。
（2）等腰梯形的两条对角线相等。
49、等腰梯形的判定方法：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
（教材中没有）
50、重心：
线段的重心是它的中点；
三角形的重心是三条中线的交点；
平行四边形的重心是对角线的交点。
51、旋转：
（1）定义：
把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫图形的旋转。
（2）性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。
52、中心对称：
（1）定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
（2）性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形。
53、中心对称图形：
（1）定义：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
（2）中心对称图形的举例。
54、关于原点对称的点的坐标：
点P（x，y）关于原点的对称点为P´（-x，-y）。
55、垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
56、推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注：
（1）上述定理中，共有五个条件，即：
①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中知其中二个可得另外三个。
（2）相关计算：
垂径定理的基本图形中，若半径OC、弦心距OE、弦CD（或弦的一半）、弓形高BE这四个量，知其中二个可求得另外二个。
所以在相关题目中，可根据具体情况作出相应的辅助线。
具体公式为：
BE+OE=OB，OC2+CE2=OC2。
57、弧、弦、圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等）。
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
58、圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
59、圆周角定理的推论：
（推论）几何语言：
如图所示，在⊙O中，
①∵AB是直径（或弧AB是半圆）∴∠C＝90°
②∵∠C＝90°∴AB是直径
（1）①半圆（或直径）所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
60、圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补。
61、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
62、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（常用辅助线：
连半径，证垂直；作垂直，等半径。
）
63、切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径。
（辅助线：
作过切点的半径）
64、切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
附几个特殊图形：
65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判断方法：
位置关系名称
公共点个数
数量关系
说明
点和圆
点在圆外
无
d>r
d:
点到圆心的距离
r:
圆的半径
点在圆上
d=r
点在圆内
d直线和圆
相离
0个
d>r
d:
直线到圆心的距离
r:
圆的半径
相切
只有1个
d=r
相交
2个
d圆和圆
外离
0个
d>r1+r2
d:
圆心距
r1、r2:
圆的半径
（r1外切
只有1个
d=r1+r2
相交
2个
r2-r1内切
只有1个
d=r2-r1
内含
0个
d66、三角形的外心和内心：
（1）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三
角形的外心在三角形外。
（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等；
（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。
67、正多边形：
68、弧长公式：
L=nπR／180（n：
圆心角度数；R：
半径）
69、扇形面积：
S扇形=nπR／360=LR／2（n：
圆心角度数；R：
半径；L：
弧长）
70、求阴影部分的面积：
认真观察图形，注意图形特征。
71、圆锥与扇形的关系：
（1）圆锥的母线（PB）是其侧面展开图扇形的半径；
圆锥的底面圆周长是其侧面展开图扇形的弧长。
（2）圆锥的母线（PB）、圆锥的高（PO）、底面圆半
径（OB）构成一个直角三角形。
72、圆的两条平行弦所夹的弧相等。
73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°。
74、相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
（以相似三角形为例）
几何语言：
如左图所示：
∵△ABC∽△DEF
∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，==
75、相似比为1时，相似的两个图形全等。
76、平行线分线段成比例定理：
①三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
应用于三角形中，会出现以下两种情况：
②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。
77、三角形相似的判定方法：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
几何语言：
如图所示：
∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
几何语言：
如图所示：
（2）∵==∴△ABC∽△DEF
（3）∵=，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF
（4）∵∠A=∠D，∠B=∠E∴△ABC∽△DEF
第（3）（4）还有其它情况，也成立。
（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
78、相似直角三角形的判定方法：
①一般三角形相似的判定方法也适用。
②满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。
几何语言：
如图所示：
②∵=（或=）
∴△ABC∽△DEF
79、相似多边形（三角形）的相关量的比：
①相似多边形（三角形）周长的比等于相似比；相似三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相似比。
②相似多边形（三角形）面积的比等于相似比的平方。
78、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或—k。
80、锐角三角函数：
（1）定义：
如右图，sinA=cosB=
，sinB=cosA=
，tanA=
，tanB=
。
（2）特殊角的三角函数值：
30°
45°
60°
（正弦）sin
（余弦）cos
（正切）tan
1
81、解直角三角形：
（1）定义：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程。
（元素指三边和两个锐角）
（2）求解过程中，用到的关系：
①三边关系：
a2+b2=c2（勾股定理）；②两锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°；③边角之间的关系：
sinA=cosB=
，sinB=cosA=
，tanA=
，tanB=
。
（3）用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形问题）；
→根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
→得到数学问题的答案；
→得到实际问题的答案。
82、投影与视图：
（1）平行投影、中心投影、正投影:
①定义：
由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是中心投影；投影线垂直于投影面产生的投影是正投影。
②当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。
（2）三视图：
①三视图分别为主视图、左视图、俯视图；（在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视图。
）
②三种视图的位置如右图：
③画几何体的三视图时，要注意“长对正、高平齐、宽相等”（主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等），还要注意看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线。
④根据三视图说出立体图形的名称：
要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。
常用辅助线：
1、连接AB。
2、过点A作AD⊥BC于D。
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