南开大学计算机与控制工程学院运筹学历考研真题汇编含部分答案.docx
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南开大学计算机与控制工程学院运筹学历考研真题汇编含部分答案
目 录
第一部分 南开大学806运筹学历年考研真题5
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题5
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解7
2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题14
2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题17
第二部分 南开大学其他学院运筹学历年考研真题19
2012年南开大学商学院915运筹学考研真题19
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题23
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解27
2010年南开大学商学院887运筹学考研真题35
说明：
（1）2013年7月，南开大学对信息技术科学学院学科进行优化整合，分别组建计算机与控制工程学院和电子信息与光学工程学院。
（2）2004年和2015年南开大学信息技术科学学院的“运筹学”科目代码不详。
第一部分 南开大学806运筹学历年考研真题
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题
2011年南开大学信息技术科学学院813运筹学考研真题及详解
南开大学2011年硕士研究生入学考试试题
学院：
034信息技术科学学院
考试科目：
813运筹学（信息学院）
专业：
运筹学与控制论
一、（35分）已知某工厂计划生产A、B、C三种产品，备产品均需使用甲、乙、丙这三种设备进行加工，加工单位产品需使用各设备的时间、单位产品的利润以及各设备的工时限制数据如下表所示。
试问：
（1）应如何安排三种产品的生产使得总利润最大?
（2）若另有两种新产品D、E，生产单位D产品需用甲、乙、丙三种设备12小时、5小时、10小时，单位产品利润2.1千元；生产单位E产品需用甲、乙、丙三种设备4小时、4小时、12小时，单位产品利润1.87千元，请分别回答这两种新产品投产是否合算?
（3）若为了增加产量，可租用其他工厂的设备甲，可租用的时间是60小时，租金1.8万元。
请问是否合算?
（4）增加设备乙的工时是否可使工厂的总利润进一步增加?
答：
（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3单位。
则可以得出数学模型：
添加人工变量x4，x5，x6利用单纯形法计算如下：
cj
3
2
2.9
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
304
[8]
16
10
1
0
0
0
x5
400
10
5
8
0
1
0
0
x6
420
2
13
10
0
0
1
3
2
2.9
0
0
0
3
x1
38
1
2
5/4
1/8
0
0
0
x5
20
0
－15
－9/2
－5/4
1
0
0
x6
344
0
9
15/2
－1/4
0
1
0
－4
－0.85
－0.375
0
0
已得最优解，即只生产A种产品，所得利润最大。
（2）增加新变量x7，x8，对应的c7＝2.1，c8＝1.87，约束矩阵增加两个列向量
，
其检验数为：
，
则判断出：
产品D的投产不合算，产品E投产合算。
（3）即
，其不影响检验数的结果，故最优解不变。
最终单纯形表中
，
故租用设备甲合算。
（4）当增加乙的工时，
，故利润不会增加。
二、（15分）有A、B、C、D四种零件均可在设备甲或设备乙上加工。
已知这两种设备上分别加工一个零件的费用如下表所示。
又知设备甲或设备乙只要有零件加工就需要设备的启动费用，分别为100元和150元。
现要求加工四种零件各3件，问应如何安排生产使总的费用最小?
请建立该问题的线性规划模型（不需求解）。
加工一个零件的费用（单位：
元）
答：
设i＝1，2，3，4分别表示产品A、B、C、D；j＝1，2表示设备甲、乙。
xij表示产品i在设备j上生产的个数，
，
则得线性规划模型如下：
其中
三、（25分）某工程公司在未来1—4月份内需完成三项工程：
第一项工程的工期为1—3月份，总计需劳动力80人月；第二项工程的工期为1—4月份，总计需劳动力100人月；第三项工程的工期为3—4月份，总计需劳动力120人月。
该公司每月可用劳力为80人，但任一项工程上投入的劳动力任一月内不准超过60人。
问该工程公司能否按期完成上述三项工程任务，应如何安排劳力?
（请将该问题归结为网络最大流问题求解）
答：
可以构建如下网络图（弧上数字为最大流量）。
其中，结点1、2、3、4分别代表1、2、3、4月份，结点5、6、7分别代表第一、二、三项工程。
通过标号与调整，得到的最大流如下图所示。
该最大流问题有多重最优解，上图仅给出一种。
所以该公司能按期完成上述三项工程任务，安排劳力的方案可以为：
1月份，安排60人做第一项任务、20人做第二项任务；2月份，安排60人做第二项任务；3月份，安排60人做第三项任务、20人做第一项任务；4月份，安排60人做第四项任务、20人做第三项任务。
四、（25分）某工厂设计的一种电子设备由A、B、C三种元件串联而成，已知三种元件的单价分别为2万元、3万元、1万元，单件的可靠性分别为0.7、0.8、0.6，要求设计中使用元件的总费用不超过10万元，问应如何设计使设备的可靠性最大?
（请使用动态规划方法求解）
答：
该题中元件A，B，C是串联在一起的，为保证可靠性，在条件允许的情况下，我们会将多个同种元件并联在一起。
如上图，就是将2件A，1件B，3件C先并联再串联在一起，
由于A，B，C的可靠性分别为0.7，0.8，0.6。
设采用m个A，n个B，1个C串联
该组合整体的可靠性为
约束条件为
且m，n，1都为正整数。
由动态规划的思路，我们先从单价高的B开始分类：
由于A，B，C至少都得有1件，故在10万元为限制的前提下，B最多2件。
选择2件B时，问题转化为
S.t
由于m与n必须都大于0，故此时必然选择1件A，2件B，此时可靠性为：
0.7×0.96×0.84＝0.56。
选择1件B时，问题转化为
S.t
此时可以选择1件A，5件C；2件A，3件C；或者3件A，1件C。
同理计算可靠性分别为0.55，0.68，0.47。
故可靠性最大的组合为2件A，1件B，3件C，此时可靠性为0.68。
五、（25分）某公司兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的位置。
设船只到达的间隔时间和装卸时间都服从负指数分布，预计船只的平均到达率为3只/天，船只到港后如不能及时装卸，停留一日公司将损失1500元。
现需设计该港口码头的装卸能力（即每日可以装卸的船只数），已知单位装卸能力每日平均生产费用为2000元，问装卸能力为多大时，每天的总支出最少?
在此装卸能力之下，求：
（1）装卸码头的利用率；
（2）船只到港后的平均等候时间?
（3）船只到港后总停留时间大于一天的概率。
答：
设装卸能力为
，公司的支出
，
。
则
。
令
。
所以
时，每天的总支出最少。
（1）
，
；
所以码头的利用率为1－P0＝2/3。
（2）
即船只到港后的平均等候时间是
。
（3）设船只到港后的总停留时间T，则T服从
的负指数分布。
分布函数为
；
。
六、（25分）已知A、B各自的纯策略及A的赢得矩阵如下表所示，求双方的最优策略及对策值。
答：
在A的赢得矩阵中第4列优超于第2列，第1列优超于第3列，故可划去第2列和第3列，得到新的赢得矩阵
对于
，第二行优超于第4行，因此去掉第4行，得到
对于
，易知无最优纯策略，用线性规划的方法求解，其相应的相互对偶的线性规划模型如下：
利用单纯形法求解第二个问题，迭代过程如下表所示。
1
1
0
0
0
CB
YB
b
y1
y4
y5
y6
y7
0
y5
1
[8]
3
1
0
0
1/8
0
y6
1
6
4
0
1
0
1/6
0
y7
1
4
12
0
0
1
1/4
检验数
1
1
0
0
0
1
y1
1/8
1
3/8
1/8
0
0
1/3
0
y6
1/4
0
1/2
－3/4
1
0
1/2
0
y7
1/2
0
[21/2]
－1/2
0
1
1/21
检验数
0
5/8
－1/8
0
0
1
y1
3/28
1
0
1/7
0
－1/28
0
y6
19/84
0
0
－61/84
1
－1/21
1
y4
1/21
0
1
－1/21
0
2/21
检验数
0
0
－2/21
0
－5/84
从上表中可以得到，第二个问题的最优解为：
由最终单纯形表的检验数可知，第一个问题的最优解为：
于是：
所以，最优混合策略为：
对策的值为
。
2005年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题
2004年南开大学信息技术科学学院运筹学考研真题
第二部分 南开大学其他学院运筹学历年考研真题
2012年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题
2011年南开大学商学院915运筹学考研真题及详解
南开大学2011年硕士研究生入学考试试题
学院：
140商学院
考试科目：
897运筹学（商学院）
专业：
管理科学与工程
一、某厂生产A、B两种产品，需经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表1所示．产品B无论生产批量大小，每件产品生产成本总为400元。
产品A的生产成本分段线性：
第1件至第70件，每件成本为200元；从第71件开始，每件成本为190元。
试建立线性整数规划模型，使该厂生产产品的总利润最大。
（本题共15分）
答：
设x1，x2为产品A、B的个数，
则建立线性整数规划模型如下：
二、现有一个线性规划问题（p1）
maxz1＝CX
其对偶问题的最优解为Y*＝（y1，y2，y3，…，ym）。
另有一线性规划（p2）：
maxz2＝CX
其中，d＝（d1，d2，…，dm）T。
求证：
maxz2≤maxz1＋Y*d（南开大学2011年研）
证：
问题1的对偶问题为：
问题2的对偶问题为：
易见，问题1的对偶问题与问题2的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题1的对偶问题的最优解
一定是问题2的对偶问题的可行解。
令问题2的对偶问题的最优解为
，则
。
因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以：
三、某工厂计划生产甲、乙、丙3种产品，各产品需要在设备A、B、C上进行加工，其所需加工小时数、设备的有效台时和单位产品的利润表2所示。
请回答下面三个问题：
（本题共20分，其中第一小题10分，后两小题各5分）
1．如何安排生产计划，可使工厂获得最大利润?
2．若每月可租用其他工厂的A设备360台时，租金200万元，问是否租用这种设备?
若租用．能为企业带来多少收益?
3．若另外有一种产品，它需要设备A、B、C的台时数分别为2、1、4，单位产品利润为4万元，假定各设备的有效台时数不变，投产这种产品在经济上是否合算?
答：
1．设生产甲、乙、丙三种产品各为x1，x2，x3单位.，则由题意得：
加入松弛变量后，利用单纯形法计算如下：
cj
2
4
3
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
600
3
[4]
2
1
0
0
0
x5
400
2
1
2
0
1
0
0
x6
800
1
3
2
0
0
1
2
4
3
0
0
0
4
x2
150
3/4
1
1/2
1/4
0
0
0
x5
250
5/4
0
[3/2]
－1/4
1
0
0
x6
350
－5/4
0
1/2
－3/4
0
1
－1
0
1
－1
0
0
4
x2
200/3
1/3
1
0
1/3
－1/3
0
3
x3
500/3
5/6
0
1
－1/6
2/3
0
0
x6
800/3
－3/5
0
0
－2/3
－1/3
1
－4/9
0
0
－5/6
－2/3
0
因此已得到最优解，即不生产产品甲，乙和丙的产量分别为200/3，和500/3单位。
获得最大利润
（万元）
2．即
，此时，各非基变量的检验数不发生变化，故最优基B不改变。
（万元）；
（万元）；
为企业带来收益300－200＝100（万元）。
3．设这种产品产量为x7单位，则约束方程增加一列向量
在最终单纯性表为
故投产这种产品合算。
四、某科学试验可用1#、2#，3#三套不同仪器中的任一套去完成。
每做完一次试验后．如果下次仍用原来的仪器，则需要对该仪器进行检查整修而中断试验：
如果下次换用另外一套仪器，则需拆装仪器。
也要中断试验。
假定一次试验时间比任何一套仪器的整修时间都长，因此一套仪器换下来隔一次再重新使用时，不会由于整修而影响试验。
设i#仪器换成j#仪器所需中断试验的时间为tij，如表3所示。
现要做4次试验，问应如何安排使用仪器的顺序，使总的中断试验的时间最小?
（本题共20分）
答：
设A、B、C分别代表三套仪器1#、2#，3#，Ai表示在第i次实验中用仪器A，依此类推Bi、Ci，并设虚拟开始S和结束点D。
则得如下网络图：
求总的中断试验的时间最小，即找最短路问题，利用Dijkstra算法计算如下：
（1）j＝0，S0＝{S}，P（S）＝0
∵A1，B1，C1到S点距离相同，∴可同时标号。
则S1＝（S、A1、B1、C1），
。
（2）j＝1
则S2＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2）
（3）j＝2
则S3＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3）
（4）j＝3
则S4＝（S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3、A4、B4、C4），最后标号D，则标号结束。
（5）比较T（A4）、T（B4）、T（C4），可得出，T（B4）最小，逆序追踪得使总的中断试验的时间最小的使用顺序是：
，即3#－2#－3#－2#。
五、某农场考虑是否提早种植某种作物的决策问题，如果提早种，又不遇霜冻．则收入为45元：
如遇霜冻，则收入仅为10万元．遇霜冻的概率为0.4。
如不提早种，又不遇霜冻．则收入为35万元：
即使遇霜冻．受灾也轻，收入为25万元，遇霜冻的概率为0.2，已知：
（1）该农场的决策者认为：
“以50%的机会每45万元．50%的机会得10万元”和“稳获35万元”二者对其来说没有差别：
（2）该农场的决策者认为：
“以50%的机会得45万元，50%的机会得35万元”和“稳获40万元”二者对其来说没有差别：
（3）该农场的决策者认为：
“以50%的机会得35万元，50%的机会得10万元”和“稳获25万元”二者对其来说没有差别。
问题如下：
1．说明该决策者对风险的态度，按期望效用最大的原则，该决策者应做何种决策?
2．按期望收益最大的原则，该决策者又应做何种决策?
答：
1．将最高收益45万元的效用定为10，记为
。
把最低收益值10万元的效用定为0，记为
。
则决策者对风险的态度可以表示为：
；
；
。
令提早种的期望效用为
，不提早种的期望效用为
。
则：
；
；
，所以，决策者的决策应为不提早种。
2．令提早种的期望收益为
，不提早种的期望收益为
。
，所以，决策者的决策应为不提早种。
六、某产品从仓库Ai（i＝1，2，3）运往市场Bj＝（j＝1，2，3，4）销售，已知各仓库的可供应量、各市场的需求量及从A1仓库到B1市场路径上的容量如表4所示（表中数字0表示两点之间无直接通路），请制定一个调运方案使从各仓库调运产品总量最多。
答：
该问题是求最大流问题，由题得网络图，其中S、D是虚拟开始和结束点，各路径最大容量如图所示，初始流量为0：
（1）标号过程
①首先给S标号（0，＋∞），检查S，在弧（S，A1）上，
，则给A1标号（S，20），同理，标号A2（S，20），A3（S，100）
②任选一点A1进行检查，在弧（A1，B1）上，
，则给B1标号（A1，20）
③检查B1，在弧（B1，D）上，
，则给D标号（B1，20），这样找到了一条增广链，S－A1－B1－D
（2）调整过程
由
（1）知，
，得新的可行流量图：
依据上述方法，重复标号及调整过程，直到不存在增广链为止，最终得最大流量图：
调运方案如下表所示：
B1
B2
B3
B4
实际供出量
A1
10
10
20
A2
10
5
15
A3
20
10
10
5
45
实际得到量
20
20
20
20
80
七、某公司生产两种小型摩托车，其中甲型完全由本公司制造，而乙型是进口零件由公司装配而成，这两种产品每辆所需的制造、装配及检验时间如下表5所示。
如果公司经营目标的期望值和优先等级如下：
P1：
每周的总利润至少为3000元：
P2：
每周甲型车至少生产5辆；
p3：
尽量减少各道工序的空余时间，三工序的权系数和它们的每小时成本成比例。
且不允许加班。
请建立这个问题的运筹学模型（不用求解）。
答：
设每周甲乙两种车生产数量分别为x1，x2，由表可知，两者每辆的生产成本是a和b。
则
。
按决策者所要求的，这个问题的数学模型为：
八、案例分析：
需要多少个服务人员?
某商科技公司的MIS中心处理本公司信息系统的维护服务。
公司其他部门职员打电话到信息中心进行咨询和服务请求，不过如果恰巧所有服务人员都在忙的时候，该职员就必须等待。
该中心每小时平均接受到40个服务请求，服务请求的到达服从泊松分布。
每个请求的平均服务时间是3分钟，且服从负指数分布。
信息中心服务人员每小时的平均工资是15元。
公司职员每小时为公司创造的收益是25元。
（如果该职员在等待或正在接受MIS维护服务，则这段时间内该职员不为公司创造任何收益）。
我们已经通过软件计算出服务中心的服务人员个数与等待接受MIS维护服务的平均职员数（不包括正在接收MIS维护服务地职员）以及平均等待时间（不包括接受MIS维护服务的时间）之间的关系，如下表6：
请分析下面两个问题：
1．如果公司经理希望职员等待MIS维护服务（排队等待和服务等待的平均时间）不要超过5分钟，则该信息中心最少需要聘用多少个服务人员?
2．如果公司经理考虑聘用服务人员的成本以及因为等待或正在接受MIS维护服务造成的企业损失成本，使两者成本之和尽量小，则此时该信息中心需要雇佣多少个服务人员（本题共25分，其中第一小题10分，第二小题15分）
答：
1．要求等待MIS维护服务时间小于等于5分钟，已知平均服务时间是3分钟，故服务时间是2分钟，约是0.0333小时。
查表6可知，该信息中心最少需要聘用服务人员3人。
2．此问题属于M/M/C模型：
，
查表可知不同的c对应的Lq，Wq，从而得Ls，Ws，如下表：
c
2
3
4
5
6
Ls
35.77
1.389
0.674
0.540
0.509
Ws
0.9389
0.072
0.054
0.051
0.0502
则总成本
在不同的c对应的数值如下表所示：
c
2
3
4
5
6
Ls
35.77
1.389
0.674
0.540
0.509
Ws
0.9389
0.072
0.054
0.051
0.0502
Z
869.4325
47.5002
60.9099
75.6885
90.6388
经比较可知该信息中心需要雇佣3个服务人员时，其成本最少。
2010年南开大学商学院887运筹学考研真题
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