《不等式选讲》绝对值的不等式.docx

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《不等式选讲》绝对值的不等式

全国名校人教版高考数学复习一轮精品优质学案汇编（附详解）

《不等式选讲》绝对值的不等式

【考情分析】

理解不等式的基本性质.理解绝对值的几何意义.会解绝对值不等式：

|ax+b|毛，|ax+b|玄了解绝对值不等式：

|x—c|+|x—b|玄的解

法.

【知识清单］

1.不等式的基本性质

1a>bubva;②a>b,b>ga>c;③a>^a+c>b+c;④a>b,c>0=ac>bc;a>b,cvgac

⑤a>b>gan>bn（n€N，且n>1）;⑥a>b>gna>nb（n€N，且n>1）.

2.含有绝对值的不等式的解法

①|f（x）|>a（a>O）uf（x）>a或f（x）v—a;

2|f（x）|va（a>0）=—a

3.含有绝对值的不等式的性质

①|a|+|b|岂+b|;②|a|—|b|毛+b|;③|a|—|b|毛±）|毛||+|b|.

【课前预习】

114

1.已知x,y均为正数，设m=x+y,n=,试比较m与n的大小.

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所以x>0,y>0,xy>0,x+y>0,（x—y）2>0

所以m—n卩m#i.

2.（选修4-5P5例2改编）解不等式：

|x+1|>3.

【解析】由|x+1|>3得X+1V—3或X+1>3,解得xv—4或x>2.所以解集为（—汽—4）U（2,+^）.

aa

3.（选修4-5P11习题7）已知|x|V4,|y|Vg,求证：

|2x—3y|Va.

【证明】因为|x|Va,|y|V6

所以|2x|v2|3y|v|,

aa

所以|2x—3y|wxf+|3y|V2+2=a.

故原不等式成立.

4.已知|x—a|vb（a、b€R）的解集为{x|2

【解析】由|x—a|

5.解不等式：

|2x—1|—|x—2|<0.

【解析】原不等式等价于不等式组

无解;

解得2

fx>2

|x—1—（x—2）V0,

；2

l2x—1+（x—2）V0,

综上得—1VXV1,

所以原不等式的解集为{x—1VXV1}.

【典型例题】目标1含绝对值不等式的解法例1解不等式|2x-1|V|x汁1.

解析：

①当XV0时，原不等式可化为—2x+1V-X+1解之得x>0,与XV0矛盾，此时无解;

②当0$V2时，原不等式可化为—2x+1Vx+1,解之得x>0,

11

又因为0

3当X冷时，原不等式化为2x-1Vx+1,所以XV2.

综合①②③知，原不等式的解集是{x|0vXV2}.

【借题发挥】变式1解不等式|x+2|-|x-1|<1.

【解析】令f（x）=|x+2—|x-1|.

当x<-2时，X+2

当一20,X-1<0,则f（x）=（X+2）-（1-X）=2x+1,

令f（x）即2x+1<1解得x<0由于一2VXV1,则有一2

当x>1时，X+2>0,X—1>0贝Jf（x）=（x+2）-（x-1）=3,此时f（x）<不成立.

综上所述，不等式|x+2|-|x-1|W的解集为（—汽0].

变式2设函数f（x）=|x-a+3x,其中a>0.

（1）当a=1时，求不等式f（x）>X+2的解集；

⑵若不等式f（x）W0勺解集为｛x|x<-1｝，求a的值.

【解析】

（1）当a=1时，f（x）>x+2可化为|x—1|>2.

由此可得x》3或xJ1.

故不等式f（x）》x+2的解集为{x|x>3或x<—1}.

（2）由f（x）<0得|x—a|+3x<0.

ix為，仪

此不等式化为不等式组lx—a+3XW0或la—x+3xW0

「xva,

或

[XW—2

由题设可得一!

=—1,故a=2.

【规律方法】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.另外，用图象法、数形结合也可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

【同步拓展】

已知函数f（x）=|x+a|+|x—2|.

（1）当a=—3时，求不等式f（x）》3勺解集;

⑵若f（x）

[—2x+5,x^2

【解析】

（1）当a=—3时，f（x）={1,2VXV3,

〔2x-5,X》3.

当XW2时，由f（x）》得一2x+5>3解得x<1

当2VXV3时，f（x）》无解;

当x》3时，由f（x）A得2x—5>3解得x>4

所以f（x）勺解集为{x|x4}

⑵f（x）

4-X-（2—X）养*a|—2—a$W2a.

由条件得一2—a2,即一3

故满足条件的a的取值范围为[—3,0].

目标2含绝对值不等式性质的运用

例2设不等式—3v|x—1|—|x+2|V1的解集为M,a,b€M.

（1）证明：

|2a+3b|v5;

⑵比较|1—ab|与|a—b|的大小，并说明理由.

【解析】

（1）证明：

记f（x）=|x—1|—|x+2|

[3,xl2,

={—2x—1,—2vXV1,

1—3,x>1.

由一3V—2x—1v1,解得一1vXV1,

则M=（—1,1）.

所以|2a+3b|

（2）由

（1）得a2V1,b2V1.

因为|1—ab|2—|a—b|2

=（1—2ab+a2b2）—（a2—2ab+b2）

=（a2—1）（b2—1）>0,

所以|1—ab|2>|a—b|2,

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故|1—ab|>|a—b|.

【借题发挥】

变式1已知X、y€R，且|x+y|書，|x—y|扌，求证：

|x+5y|<1.

【证明】因为|x+5y|=|3（x+y）—2（x—y）|.

由绝对值不等式性质，得|x+5y|=|3（x+y）—2（x—y）|

|2（x—y）|—3|x+y|+2区—y|<3^2#—1.即|x+5y|<1.

变式2设m等于|a|,|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证:

ab

|x+x2|<2

【解析】依题意m>a|,m>b|,m>1

又|x|>m,

所以|x|>|a|,|x|>|b|,|x|>1,从而|x|2>|b|.

因此|1+?

|51+曲

_團+凰匕凶+凶!

_2

—I|十I2.V]|十I2.—2|x||x||x||x|

故原不等式成立.

【规律方法】证明绝对值不等式主要的三种方法

利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再

证明.

利用三角不等式|a|—|b||<±b|毛+|b|进行证明.转化为函数问题，数形结合进行证明.

【同步拓展】

已知函数f（x）=ax2*bx+c（a,b,c€R）,当x€[—1,1]时，均有

|f（x）|w,1求证：

|b|w1.

【证明】因为f

（1）=a+b+c,f（—1）=a—b+c,

所以b=[f

（1）—f（—1）].

又当x€[—1,1]时，|f（x）|S1

因此|f

（1）|Wl|f（—1）|<1.

所以|b|=卯

（1）—f（—1）|W|f

（1）|+|f（—1）|]*1+1）=1.

故|b|w成立.

目标3含绝对值不等式综合运用

例3（2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试）已知函数

f（x）=|x—1|+|x+1|.

（1）求不等式f（x疋3的解集;

（2）若关于x的不等式f（x）：

>a-x2+2x在R上恒成立,求实数a

的取值范围.

【解析】

（1）原不等式等价于

fTx》1

或2x.31

解得：

x一I或吨1

所以不等式的解集为｛x|x<_^或x^n.

22

（2）令g（x）=|x-1|+|x+1|+x2-2x,

g（X）单调递增，

所以当x=1时，g（x）的最小值为1.

因为不等式f（x）；>a2_x2+2x在R上恒成立,

所以a2<1，解得一1

【借题发挥】变式1已知函数f（x）=|3x+2|.

（1）解不等式f（x）<4—|x—1|;

⑵已知m+n=1（m,n>0）,若|x—a|—f（x）*+2@>°）恒成立，求

实数a的取值范围.

解析：

（1）不等式f（x）v4—|x—1|,即卩|3x+2|+|x—1|<4.

252

当x<—2时，即—3x—2—X+1<4,解得—4

221

当一3夯时，即3x+2—X+1<4,解得一3^«2；

当x>1时，即3x+2+x—1<4,无解.

f51、

综上所述，x€[—5,1丿.

、.,nm

m+n）=1+1+m+n>4

令g（x）=|x—a|—f（x）=|x—a|—|3x+2|=

2x+2+a,x<

2

—4x—2+a,—3夯<毛

—2x—2—a,x>a

22

…X=—3时，g（X）max=3+a,

210

要使不等式恒成立，只需g（x）max=3+a<4即Ova^.

1

变式2设函数f（x）=伙+匚1+|x—a|（a>0）.

nan

（1）证明：

f（x）>；⑵若f（3）v5，求a的取值范围.

1111

解析：

（1）证明：

由a>0,有f（x）=|x+a+|x—a|語+-—（x—a）

=1+a>2.a

当且仅当a=1时等号成立.

所以f（x）>2.

1

（2）f（3）=j3+a+13—a|.

1

当a>3时，f（3）=a+-a

由f（3）v5得Svav5*》21

1

当0

由f（3）<5得节^^vaW3.

综上，a的取值范围是

【规律方法】不等式在R上恒成立的另一种表述是不等式的解集为

R,而不等式的解集为0的对立面（如f（x）>m的解集是空集，则f（x）窃恒成立）也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f（X）Va恒成立？

a>f（x）max,f（x）>a恒成立？

avf（x）min.

【同步拓展］

（2015届河南省郑州市高三第一次质量预测）已知函数

f（X）=m-X-1-2x+1.

（1）当m=5时，求不等式f（x）〉2的解集;

（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点,

求实数m的取值范围.

由f"2易得不等式解集为x€（W，0）；

（2）由二次函数y：

=X2+2x+3=（X+1）2+2，该函数在x=_1取得最

小值2,

『3x+1+m,xV—1

因为f（x）=!

-x-3+m,_1

[-3x+m-1,x>1

需m-2±2，

即m>4.

【归纳分析】

1.运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要

弱化条件，尤其是不能想当然随意捏造性质.

2.对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：

一个

是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值

的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法.要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法.不等式恒成立问题通常转化为最值问题

3.利用绝对值三角不等式证明不等式要善于对式子进行恰当的

【课后作业】

1.解不等式：

|2x—1|<3.

【解析】|2x—1|<3=—3<2x—1

2.在实数范围内，求不等式|x—2|—1|W的解集.

【解析】由|x—2|—1|W,得一1

—2W2解得0总W4所以原不等式的解集为［0,

3.

①当x》4寸，2x+1—（X—4）<2，所以

解不等式：

|2x+1|—|x—4|<2.

【解析】

1

1

—7

当一2$v4时，2x+1+x—4<2,所以

当x<—2时，—2x—1+x—4<2.所以

综上，该不等式的解集为［—7,|j.

4.若关于x的不等式|x+1|—|x—2|

【解析】因为IX+1|—|x—2||$+1）—（X—2）1=3,所以—3WX+1|—|x—2|<由不等式a2—4a>|x+1|—|x—2|有实数解，知a2—4a>—3,解得a>3或a<1.

5.已知：

a>2x€R.求证：

|x—1+a|+|x—a|>3.

【证明】因为|m|+|n|刑一n|,

所以|x—1+a|+|x—a|族11+a—（x—a）|=|2a—1|.

又a》2故|2a—1|A所以|x—1+a|+|x—a|》3.

6.若关于实数x的不等式|x—5|+|x+3|

【解析】因为|x—5|+|x+3|的最小值为8,所以要使不等式|x—5|+|x+3|

31

7.设不等式|x—2|

（1）

【解析】

求a的值；

求函数f（x）=|x+a|+|x—2|的最小值.

3113111

（1）因为手A,且产/A,所以L—2

13

2

因为a€N*，所以a=1.

（2）因为|x+1|+|x—2|>X+1）-（x—2）1=3,当且仅当（x+1）（x—

2）w,即一1^x<2时取等号，所以f（x）的最小值为3.

8.已知f（x）=>/1+x2,a#）,求证：

|f（a）—f（b）|<|a—b|.

【证明】因为|f（a）—f（b）|=|寸1+a2一寸1+b21

|a2—b2||a—b||a+b|

p1+a2+71+b2p1+a2+寸1+b2,

又|a+b|毛1+Ibl^/a2+\/?

<寸1+a2+71+b2,

|a+b|,

所以<1.

V1+a2+V1+b2因为a和，所以|a—b|>0.所以|f（a）—f（b）|<|a—b|.

9.已知函数f（x）=|x—a|—2|x—1|（a€R）.

（1）

当a=3时，求函数f（x）的最大值；

解关于x的不等式f（x）>0.

I—x—1,x>3

【解析】

（1）当a=3时，f（x）=|x—3|—2x—1|=—3x+5,1

所以，当x=1时，函数f（x）取得最大值2.

⑵由f（x）>0得|x—a|>2—1|,两边平方得（x—a）2>4（—1）2,即3x2+2（a—4）x+4—a2O,

得[x—（2—a）][3x—（2+a）]

「2+a

所以，①当a>1时，不等式的解集为[l2—a,竽j;

②当a=1时，不等式的解集为{x|x=1};

「2+a1

③当a<1时，不等式的解集为号，2—a]

10.若f（x）=x2—x+c（c为常数），且|x—a|<1,求证：

|f（x）—f（a）|<2（|a|

+1）.

【证明】|f（x）—f（a）|

=Kx2—x+c）—（a2—a+c）|

=|x2—x—a2+a|=|（x—a）（x+a—1）|

=|x—a||x+a—1|v|x+a—1|

=|（x—a）+（2a—1）1实—a|+|2a—1|

=2（|a|+1）.

故原不等式成立.

11.已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x—2|—m）.

（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；

（2）若关于x的不等式f（x）A啲解集是R，求m的取值范围.

【解析】

（1）由题设知|x+1|+|x—2|>5,不等式的解集是三个不等式仗A2f—1^x<2,仗<—1,

组：

f或f或1CU解集的并

、x+1+x—2>5、x+1—x+2>5[—x—1—x+2>5

集，解得函数f（x）的定义域为（―乂，-2）U（3,+乂）.

⑵不等式f（x）即|x+1|+|x-2|>m+2.因为x€R时，恒有|x+1|+|x-2|>X（+1）-（X-2）|=3,要使不等式|x+1|+|x-2|:

m+2的解集是R，所以m+2<3所以m的取值范围是（—^,1].

【提优训练】

1.设关于X的不等式Iog3（|x+2|+|x-1|）>a.

（1）当a=1时，解这个不等式；

（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R.

【解析】

（1）当a=1时，原不等式变为|x+2|+|x-1|>3,

根据|x+2|+|x-1|>3的几何意义：

数轴上到点—2和1的距离之和大于3的点的集合.

其解集为{X|x<-2或x>1}.

⑵因为|x+2|+|x-1|決+2—（X-1）|=3对任意x€R都成立，所以log3（|x+2|+|x-1|）>Io3=1对任何x€R都成立，即Iog3（|x

+2|+|x—1|）>a,

当且仅当a<1时，对任何x€R都成立.

2.设A（xi,yi）,B（X2,y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离PA,B）为PA,B）=|X2-Xi|+[y?

—%|.对于平面xOy上给定的不同的两点A（xi,yi）,B（x2,y：

），若点C（x,y）是平面xOy上的点，试证明PA,C）+pC,B）忍A,B）.

【证明】因为pA,C）=|x—X1|+|y—y11,

pc,B）=|X2—x|+|y2-y|,

p（A,B）=|x2—Xi]+|y2—y1|,

所以pA,C）+e,Bnx—Xi|+|y—yi|+|X2—x]+“2―y|

=（|x-Xi|+|X2-X|）+（|y-yi|+|y2-y|）

》X（—xi）+（X2—x）|+|（y—yi）+（y2—y）|

=|x2—xi|+|y2—yi|

=PA,B）・

3.已知函数f（x）=|x—a|,其中a>1.

（1）当a=2时，求不等式f（x）|x—4|的解集;

（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）—2f（x）|w的解集为｛x|1WW》,求a的值.

1—2x+6,xW2

【解析】

（1）当a=2时，f（x）+|x—4|=<2,2

-2x—6,x>4.

当xW2时，由f（x）>—|x—4|得一2x+6>4解得xw1

当2—|x—4|无解；

当x》4时，由f（x）>—|x—4|得2x—6>4解得x>5.

所以f（x）|x—4|的解集为{x|xw或x>}.

⑵记h（x）=f（2x+a）—2f（x）,

厂2a,xW0

则h（x）={4x—2a,0

由|h（x）|W,2解得专冬斗.

又已知|h（x）|w的解集为｛x|1喫w2,

丨=1

2',

所以{于是a=3.

1山=2

I22,

114

【解析】m—n=-+-—'

xyx+y

_x+y4_（x+y）12—4xy_（x—y）2

xyx+yxy（x+y）xy（x+y），

因为x,y均为正数,