计算机科学计算答案 第一章 绪论.docx
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计算机科学计算答案第一章绪论
计算机科学计算答案第一章绪论
矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析 目 录 第一章误差分析与向量与矩阵的范数.....................................1 1.内容提要.................................错误！
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2.典型例题分析.............................错误！
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3.习题.....................................错误！
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4.习题解答.................................错误！
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第二章矩阵变换与计算................................错误！
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5.内容提要.................................错误！
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6.典型例题分析.............................错误！
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7.习题.....................................错误！
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8.习题解答.................................错误！
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第三章矩阵分析......................................错误！
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9.内容提要.................................错误！
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10.典型例题分析.............................错误！
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11.习题.....................................错误！
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12.习题解答.................................错误！
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第四章逐次逼近......................................错误！
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13.内容提要.................................错误！
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14.典型例题分析.............................错误！
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15.习题.....................................错误！
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习题解答.....................................错误！
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第五章插值与逼近....................................错误！
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16.内容提要.................................错误！
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17.典型例题分析.............................错误！
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18.习题.....................................错误！
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习题解答.....................................错误！
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第六章插值函数的应用................................错误！
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19.内容提要.................................错误！
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20.典型例题分析.............................错误！
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21.习题.....................................错误！
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习题解答.....................................错误！
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第七章常微分方程数值解..............................错误！
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22.内容提要.................................错误！
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23.典型例题分析.............................错误！
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24.习题.....................................错误！
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习题解答.....................................错误！
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第八章矩阵特征对的数值解法..........................错误！
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25.内容提要.................................错误！
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26.典型例题分析.............................错误！
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27.习题.....................................错误！
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习题解答.....................................错误！
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自测试卷Ⅰ...........................................错误！
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自测试卷Ⅰ参考答案...................................错误！
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自测试卷Ⅱ...........................................错误！
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自测试卷Ⅱ参考答案...................................错误！
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自测试卷Ⅲ...........................................错误！
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自测试卷Ⅲ参考答案...................................错误！
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1）向量范数 定义存在R上的一个非负实值函数，记为f（x）?
x，若该函数满足以下三个条件：
即对任意向量x和y以及任意常数?
?
R 非负性x?
0，并且x?
0的充分必要条件为x?
0; 齐次性 n?
x?
?
x； 三角不等式x?
y?
x?
y． 则称函数?
为R上的一个向量范数． 常用三种的向量范数 设任意ｎ维向量x?
（x1,x2,?
xn）T，， Tnx1?
?
xi， 向量的1-范数 i?
1n?
n2?
x2?
?
?
xi?
?
i?
1?
x?
1?
i?
n12?
xT?
x?
?
x,x?
2， 向量的2-范数 1?
maxxi， 向量的?
-范数 一般情况下，对给定的任意一种向量范数?
，其加权的范数可以表为 xW?
Wx， 其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。
向量范数的连续性定理R上的任何向量范数x均为x的连续函数。
向量范数的等价性定理设?
?
和?
为R上的任意两种向量范数，则存在两个与向量?
nnx无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立 c1x2）.矩阵范数定义存在R任意的A,B?
Rn?
n?
?
x?
?
c2x?
，其中?
x?
Rn. 上的一个非负实值函数，记为f（A）?
A，对均满足以下条件：
n?
n非负性：
对任意矩阵A均有A?
0，并且A?
0的充分必要条件为A?
O; 齐次性：
?
A?
?
A，?
∈C； 三角不等式：
A?
B?
A?
B,A,B?
Rn?
n；相容性：
AB?
A?
B,A,B?
Rn?
n，则称?
为Rn?
n上的矩阵范数。
我们可定义如下的矩阵范数：
Am?
?
?
aij，矩阵的m1-范数 1mni?
1j?
1 ?
2?
?
AF?
?
?
?
?
aij?
?
?
，矩阵的F-范数范数。
?
i?
1j?
1?
mn12对于一种矩阵范数?
果对任意n×n矩阵A和任意n维向量x,满足 M 和一种向量范数?
V，如 AxV?
AMxV， 则称矩阵范数?
3）矩阵的算子范数 定理已知R上的向量范数?
V，A为n×n矩阵，定义 AnM 与向量范数?
V是相容的。
M?
maxx?
0AxVxV?
maxAxV xV?
1则AM是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。
三种常用的矩阵的算子范数 A1?
max?
aij； （列范数） 1?
j?
ni?
1mA?
?
max?
aij． （行范数） 1?
i?
mj?
1n A2TT?
?
ma（xAA）, T其中?
max（AA）表示矩阵AA的最大特征值。
对任何算子范数?
，单位矩阵I?
Rn?
n的范数为1，即I?
1。
可以证明：
①任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数． ②一个矩阵范数可以与多种向量范数相容；多种矩阵范数可以与一个向量范数相容。
③从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。
。
④并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。
4）矩阵范数的性质①设?
为Rn?
n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A均有 ?
（A）?
A． 其中?
（A）?
max?
det?
?
I?
A?
?
0为方阵A的谱半径。
T注意：
当A?
A时，A2?
?
?
?
max?
ATA?
?
?
max?
A2?
?
?
max?
A?
?
?
（A）。
n?
n②对于任给的ε>0,则存在R使得 A③对于Rn?
n上的一种算子范数?
M ， M?
?
（A）?
?
． n?
n上的一种算子矩阵范数?
，如果A?
R且A ?
In?
A?
?
1二、典型例题分析 ?
1． 1?
A例1．1：
下列近似值的绝对误差限均为，问它们各有几位有效数字？
a?
，b?
?
，c?
?
10?
4 解：
现将近似值写成标准形式：
a?
?
103,b?
?
?
10?
1,c?
?
10?
4, 在直接根据有效数字定义得出， x?
a?
1?
10?
2?
k?
n?
3?
n?
?
2?
n?
5，即a有5位有效数字；21x?
b?
?
10?
2?
k?
n?
?
1?
n?
?
2?
n?
1，即b有1位有效数字； 2x?
c?
1?
10?
2?
k?
n?
?
4?
n?
?
2?
n?
?
2，即c无有效数字。
2m 例1．2：
已知x的相对误差为，求a的相对误差。
解：
此题要利用函数计算的误差估计，即取f?
x?
?
xm，f?
?
x?
?
m?
xm?
1，则f?
x?
?
f?
a?
?
f?
?
a?
?
x?
a?
，可推出x?
a?
m?
ammm?
1?
?
x?
a?
，故am的相对误差为 xm?
amx?
a?
m?
?
。
ama例1．3：
此为减少运算次数达到避免误差危害的例子 利用3位算术运算求f?
x?
?
x3?
?
?
在x?
处的值。
表中给出了传统的方法的计算的中间结果。
在这里我们使用了两种取值法：
截断法和舍入法。
精确值 x x2x3 11101 104104 135135 3位数值3位数值 精确值：
f?
?
?
?
?
?
?
?
3位数值：
f?
?
?
?
?
104?
134?
?
?
?
?
?
3位数值：
f?
?
?
?
?
105?
135?
?
?
?
?
?
上述3位数值方法的相对误差分别是 ?
?
?
?
?
，截断法 ?
，舍入法 ?
?
作为另一种办法，用秦九韶方法可将f?
x?
写为 f?
x?
?
x3?
?
?
?
?
?
x?
?
x?
?
x?
那么，3位数值：
f?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3位数值：
f?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
则相对误差分别是 ?
?
?
?
?
，?
， ?
?
可见使用秦九韶方法已将截断近似计算的相对误差减少到原方法所得相对误差的10%之内。
对于舍入近似计算则改进更大，其相对误差已减少95%以上。
多项式在求值之前总应以秦九韶方法表示，原因是这种形式使得算术运算次数最小化。
本例中误差的减小是于算术运算次数从4次乘法和3次加法减少到2次乘法和3次加法。
减少摄入误差的一种办法是减少产生误差的运算的次数。
例1．4：
已知近似值a1?
，a2?
，a3?
均为有效数字，试估计如下算术运算的相对误差。
a1?
a2?
a3 解：
已知， x1?
a1?
令 1111?
10k?
n?
?
10?
2；x2?
a2?
?
10?
2；x3?
a3?
?
10?
2。
2222f?
x1,x2,x3?
?
x1?
x2?
x3，f?
a1,a2,a3?
?
a1?
a2?
a3， 函数运算的误差估计式 f?
x1,x2,x3?
?
f?
a1,a2,a3?
?
fx?
1?
a1,a2,a3?
?
x1?
a1?
+fx?
2?
a1,a2,a3?
?
x2?
a2?
+fx?
3?
a1,a2,a3?
?
x3?
a3?
?
a2?
x1?
a1?
?
a1?
x2?
a2?
?
?
x3?
a3?
从而，相对误差可写成 f?
x1,x2,x3?
?
f?
a1,a2,a3?
?
a2x1?
a1?
a1x2?
a2?
x3?
a3f?
a1,a2,a3?
f?
a1,a2,a3?
?
?
?
11?
?
10?
2?
﹟ ?
?
若x?
，a?
，则绝对误差x?
a?
?
，相对误差为：
x?
a?
?
?
?
?
?
?
10?
1；若x?
，a?
， 则绝对误差x?
a?
?
?
10，相对误差为：
?
4x?
a?
?
?
?
?
10?
1；若x?
?
10，a?
?
10，则绝对误差x?
a?
?
?
10， 3x?
a?
?
103?
?
?
?
10?
1；相对误差为：
?
10这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。
作为精确性的度量，绝对误差 可能引起误解，而相对误差于考虑到了值的大小而更有意义。
例1．5：
在R中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。
2S1?
xx1?
1,x?
R2，S2?
xx2?
1,x?
R2，S3?
xx?
?
1,x?
R2 解：
这些点集的共同性质是：
它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。
例1．6：
xp?
np?
?
?
?
xi?
?
i?
1?
1?
?
?
?
?
?
p1?
p?
?
?
．其中xi表示xi的模．此范数 ?
x?
。
称p-范数，而且１，2范数为当ｐ＝１，2时的范数。
而当p?
?
时，有xp证明：
事实上， x两边开p次方得 p?
?
maxxi?
?
x?
n?
maxxi?
n?
x?
1?
i?
ni?
11?
i?
npnpppx?
?
（?
x）?
n?
x?
，于limn?
1，故xpnp1p1pi?
1p?
?
p?
x?
。
例1．7：
证明?
2为C空间上向量范数。
Tn证明：
对任给ｎ维向量x?
（x1,x2,?
xn）?
C，若x?
0，则x1,x2,?
xn不全为 n 零，故 x2?
x1?
x2?
?
?
xn?
0 222 对任给?
?
C，x?
（x1,x2,?
xn）T?
Cn，则 ?
?
x2?
?
?
x1?
?
?
x2?
?
?
?
?
xn?
?
?
x1?
x2?
?
?
xn?
?
?
x2 对任给x?
（x1,x2,?
xn）T?
Cn，y?
（y1,y2,?
yn）T?
Cn则Cauchy-Schiwatz不等式：
（x,y）?
22222222（x,x）?
（y,y）?
x2?
y2可得 x?
y2?
（x?
y,x?
y）?
（x,x）?
（y,x）?
（x,y）?
（y,y） ?
x2?
2（x,y）?
y2?
x2?
2x?
y?
y2, =（x2?
y2）。
向量范数的定义，?
2为C空间上的向量范数。
例1．8设A=?
?
2n 22222?
100?
?
，求A?
?
024?
3ijm1、AF、A1、A23?
和A2。
2解：
Am?
1?
?
ai?
1j?
12i?
1?
1?
2?
4?
7；AF?
?
?
ai?
1j?
1ij?
1?
22?
42?
21 1,6?
?
6；A1?
max?
aij?
max?
1,2,4?
?
4；A?
?
max?
aij?
max?
1?
j?
n1?
j?
n31?
i?
nj?
11?
j?
n?
10?
?
100?
?
?
?
100?
?
?
T02048AA注意到，=?
?
?
?
，令?
024?
?
=?
?
?
0816?
?
04?
?
?
?
?
?
det?
I?
ATA?
?
?
?
?
10000?
8?
?
?
?
1?
?
?
?
4?
?
?
?
16?
?
64?
?
?
1?
?
0?
?
16?
?
max（ATA）?
20?
25。
?
?
4?
82T得，?
（AA）?
20，从而A1．3习题1、填空题
（1）设A?
?
?
?
10?
?
则A1=,A?
= ,AF= ,A2= 及A的谱半?
?
23?
径?
（A）= 。
（2）x?
（3,0,?
4,12）T?
R4，则x1= ,x3?
= ,x2= 3（3）记x?
（x1,x2,x3）T?
R3，判断如下定义在R上的函数是否为R上的向量范数. ；x?
x1?
2x2?
3x3；x?
x1?
x2?
x3。
x?
x1?
2x2?
3x3（4）使70?
?
的近似值a的相对误差限不超过％，应取几有效数字,a= . 2、证明 x?
?
x1?
nx?
； nn?
nx?
?
x2?
nx?
是非奇异矩阵，定义x=Px，证明：
算子 3、设‖x‖为R上任一范数，P?
R-1范数Ap=PAP。
4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵.证明：
（1）U2?
1；
（2）AU2?
UA2?
A2 5、已知e?
?
，问以下近似值xA有几位有效数字，相对误差是多少？
x?
e,xA?
x?
e，xA?
x?
ee,xA?
x?
xA?
10010026、给定方程x?
26x?
1?
0，利用168?
，求精确到五位有效数字的根。
并求两个根的绝对误差界和相对误差界。
7.在五位十进制计算机上求 S?
545494?
?
?
?
?
?
ii?
1i?
110050i， 的和，使精度达到最高，其中?
i?
?
i?
2。
8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式f（x）?
ln（x?
x2?
1）；f（x）?
?
ln（x?
x2?
1） 计算f?
30?
的近似值，近似值分别为多少？
求对数时相对误差有多大？
9.若用下列两种方法 i?
95i?
?
5*?
5i5*?
?
xe?
?
（?
1），?
x1，e?
?
?
2?
?
i!
i?
0?
i?
0i!
?
9?
1计算e的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？
请分析原因。
10.计算f?
（2?
1）6，取2?
，直接计算f和利用下述等式 ?
5?
12?
1?
6?
3?
22?
3?
3?
22?
13,99?
702； 计算，那一个最好？
11.如何计算下列函数值才比较准确。
1111?
对x?
?
1； x?
?
x?
对x?
?
1； 1?
2x1?
xxx ?
N?
1Ndx1?
cosx,其中N,对x?
?
1。
充分大； sinx1?
习题解答 1、解 有定义，A1=3,A?
=5,AF=14,A2=7?
210及?
（A）=3。
（2）x?
（3,0,?
4,12）?
R，则x1=19,xT4?
=12,x2=13。
?
1?
?
?
2?
。
（3）；为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，W?
?
?
3?
?
?
；不满足向量范数性质1；；不满足向量范数性质1。
（4）a=。
因70?
?
，a1?
8，要是得相对误差限不超过 %，即 70?
aa?
，则 70?
aa101?
n1?
?
?
101?
n?
时，有n?
4。
2a116n2、只就证明，定义可得， x?
?
maxxk?
?
xk?
x2?
?
maxxk?
nx?
kk?
1k?
1k22n2222从而， x?
?
x2?
nx?
。
3、首先，证明x1）因P?
Rn?
nP?
Px是一向量范数。
事实上， 是非奇异矩阵，故?
x?
0，Px?
0，故Px?
0时，x?
0，且当x?
0时，Px?
0，于是，x2）对?
?
?
R，3）x?
yP?
Px?
0当且仅当x?
0时，xP?
Px=0成立； ?
xP?
P?
?
x?
?
?
?
Px?
?
?
?
Px?
?
?
xP； P?
P?
x?
y?
?
Px?
Py?
Px?
Py?
xP?
yP。
故xP是一向量范数。
再 AP?
maxx?
0AxPxPPAP?
1PxPAx?
max?
max，x?
0x?
0PxPx?
?
令y?
Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是 AP?
maxy?
0?
PAP?
y?
1y ?
PAP?
1 4、证明：
（1），算子范数的定义 U22?
maxx?
0Ux2x222H?
Ux?
?
Ux?
xHUHUxxHx?
max?
max?
max?
maxx?
0xx2222x22x?
0x22x?
0x22x?
0?
1； 证明：
（2）， AU2?
?
max?
AU?
HAU?
?
max?
UH?
AHA?
U?
?
?
max?
AHA?
?
A2，?
maxHUA2?
5、解：
?
?
?
UA?
?
UA?
?
max?
A?
UHU?
A?
?
?
max?
AHA?
?
A2。
?
此结论表明酉阵具有保2-范数的不变性。
于e?
xA?
再相对误差界的公式， 1?
10?
1，有效数字定义可知，xA有2位有效数字；又a1?
2，2e?
xA11?
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101?
2?
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10?
1；xA2?
241?
10?
3，有效数字定义可知，xA有4位有效数字；又a1?
2，2于e?
xA?
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