考研数学一之高数复习计划.docx

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考研数学一之高数复习计划

第一章函数与极限10.10（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反函数、初等函数具体概念和形式.习题1－1：

4，5，7，8，9，13，15，18

1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

数列定义，数列极限的性质（唯一性、有界性、保号性）P26（例1,例2）P27（例3）习题1－2：

1，3，4，5，6

函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等）P33（例4,例5）P35（例7）习题1－3：

1，2，4，6，7，8

无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系习题1－4：

1，2，4，5，6，7

极限的运算法则（6个定理以及一些推论）P46（例3,例4）,P47（例6）,习题1－5：

1，2，3

两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限P51（例1）习题1－6：

1，2，4

无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质和确定方法P57（例1）P58（例5）习题1－7：

1，2，3，4

函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性）和间断点的类型。

例1－例5习题1－8：

2，3，4，5

连续函数的运算与初等函数的连续性（包括和,差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续性,初等函数的连续性）例4－例8习题1－9：

1，2，3，4，5

理解闭区间上连续函数的性质:

有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定理（零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法）.例1－例2，习题1－10：

1，2，3，4，5

总复习题一：

1，2，8，9，10，11，12

第二章：

导数与微分10.11（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

导数的定义、几何意义、力学意义，单侧与双侧可导的关系，可导与连续之间的关系（非常重要，经常会出现在选择题中），函数的可导性，导函数,奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限.会求平面曲线的切线方程和法线方程.例3－例7习题2－1：

6，7，9，11，14，15，16，17

1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复合函数的导数，由复合函数求导法则导出的微分法则，（幂、指数函数求导法，反函数求导法），分段函数求导法例－例17习题2－2：

2，3，4，7，8，9，1012）

高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解法，用莱布尼兹法则）例1－例7习题2－3：

2，3，4，7，8，9

由参数方程确定的函数的求导法，变限积分的求导法，隐函数的求导法例1－例10习题2－4：

2，4，7，8，9，11

函数微分的定义，微分运算法则，一元函数微分学的简单应用例1－例6习题2－5：

1，2，3，4，5，6，

总复习题二：

1，2，3，5，6，9，11，13

第三章：

微分中值定理与导数的应用10.12——10.13（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

微分中值定理及其应用（费马定理及其几何意义，罗尔定理及其几何意义，拉格郎日定理及其几何意义、柯西定理及其几何意义）例1，习题3－1：

1－15

1．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．4．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

洛比达法则及其应用例1－例10，习题3－2：

1－4

泰勒中值定理，麦克劳林展开式例1－例3习题3－3：

1－7，10

求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、渐进线（选择题及大题常考）例1－例12习题3－4：

4，5，8，9，11，12，14

函数的极值,（一个必要条件,两个充分条件）,最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最值问题，与最值问题有关的综合题例1－例6习题3-5:

1,4,5,6,7,10,11,14

简单了解利用导数作函数图形（一般出选择题及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。

例1－例3习题3－6：

1－5

曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题例1－例3,习题3－7：

1－8

方程的近似解法例1－例2习题3－8：

2，3

总结本章知识点，总复习题三：

1－12，19

第四章：

不定积分10.14（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

原函数与不定积分的概念与基本性质（它们各自的定义，之间的关系，求不定积分与求微分或导数的关系），基本的积分公式，原函数的存在性，原函数的几何意义和力学意义例1－例16习题4－1：

1

1．理解原函数概念，理解不定积分的概念．2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．

不定积分的换元积分法，第二类换元法例1－例27

不定积分的计算习题4－2：

2（1－20）

不定积分的计算习题4－2：

2（21－40）

不定积分的分部积分法例1－例10习题4－3：

1－20

有理函数积分法，可化为有理函数的积分，例1－例8习题4－4：

5－20

不定积分计算，总复习题四：

1－20

不定积分计算总复习题四：

21－40

第五章：

定积分10.15（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

定积分的概念与性质（可积存在定理）（定积分的7个性质）习题5－1：

2，3，5，6，7，8

1．理解原函数概念，理解定积分的概念．2．掌握定积分的基本公式，掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．5．了解广义反常积分的概念，会计算广义反常积分．

微积分的基本公式积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式例1－例8习题5－2：

1－5

习题5－2：

6－12

定积分的换元法与分布积分法例1－例10习题5－3：

1

习题5－3：

2－11

反常积分无界函数反常积分与无穷限反常积分例1－例5习题：

5－4：

1－3

反常积分的审敛法例1－例8习题5－5：

1－3

总复习题五：

1－1112，13

第六章：

定积分的应用10.16——10.17（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

定积分元素法一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧长与曲率，求平面图形的面积，求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体体积，求旋转面的面积）例1－例14

1.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值等．

定积分应用的一些计算习题6－2：

1－15

定积分的几何应用相关计算习题6－2：

16－30

定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积分求液体静压力，用定积分求功）。

综合题目的求解。

例1－例5习题6－3：

1－5

定积分的物理应用定积分综合题目求解习题6－3：

6－12

总复习题六：

1－9

第七章:

向量代数和空间解析几何10.18——10.19（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

向量及其线性运算（向量概念,向量的线性运算,空间直角坐标系,利用坐标作向量的线性运算,向量的模、方向、投影）例1－例8习题7－1：

11.12.13.15.17.18.19

1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.4.掌握平面方程和直线方程及其求法.5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6．会求点到直线以及点到平面的距离.7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.

数量积,向量积,混合积（向量的数量积,向量的向量积）例1－例7习题7－2:

3,4,6,9,10

曲面方程旋转曲面、柱面、二次曲面。

旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程）例1－例5习题7－3：

2.5.6，8，9，10

空间直线及其方程（空间直线的对称式方程与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角）例1－例4习题7－4：

2，3，5，6

平面,,平面方程，两平面之间的夹角例1－例5习题7－5：

1，2，3，5，6，9

直线与直线的夹角以及平行,垂直的条件,点到平面和点到直线的距离,球面,母线平行于坐标轴的柱面例1－例7习题7－6：

1－9，11，12

总复习题七：

1，9－21

第八章：

多元函数微分法及其应用10.20——10.21（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

多元函数的基本概念（二元函数的极限、连续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理），例1—8，习题8—1：

2，3，4，5，6，8

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质．3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性．4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法．6．会用隐函数的求导法则.7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程．8．了解二元函数的二阶泰勒公式．9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题．

偏导数（偏导数的概念，二阶偏导数的求解），例1—8，习题8—2：

1，2，3，4，6，9

全微分（全微分的定义，可微分的必要条件和充分条件），例1，2，3，习题8—3：

1，2，3，4

多元复合函数的求导法则（多元复合函数求导，全微分形式的不变性），例1—6，习题8—4：

1—12

隐函数的求导公式（隐函数存在的3个定理），例1—4，习题8—5：

1—9

多元函数微分学的几何应用（了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程），例2—7，习题8—6：

1—9

方向导数与梯度（方向导数与梯度的概念与计算），例1—5，习题8—7：

1—8，10

多元函数的极值及其求法（多元函数极值与最值的概念，二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值），例1－9，习题8—8：

1—10

二元函数的泰勒公式（n阶泰勒公式，拉格朗日型余项），例1，习题8—9：

1，2，3

总复习题八：

1—3，5，6，8，11—19

第九章：

重积分10.22——10.23（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

二重积分的概念与性质（二重积分的定义及6个性质），习题9—1：

1，4，5

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）．3．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（曲面面积、质量、质心、形心、转动惯量、引力）．

二重积分的计算法（会利用直角坐标、极坐标计算二重积分），例1－6，习题9—2：

1，2，4，6，7，8，12，14，15，16）

三重积分（三重积分的概念，利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三重积分的计算），例1－4，习题9—3：

1，2，4—10

重积分的应用（曲面的面积、质心、转动惯量、引力），例1—7，习题9—4：

2，5，6，8，10，11，14

总复习题九：

1，2，3，6，7，8，9，10

第十章：

曲线积分与曲面积分10.24——10.25（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

对弧长的曲线积分（弧长的曲线积分的定义，性质及计算），例1、2，习题10—1：

1，3，4，5

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系．2．掌握计算两类曲线积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数．4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式，斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.5．了解散度与旋度的概念，并会计算．6．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、功及流量等）．

对坐标的曲线积分（对坐标的曲线积分概念、性质及计算），两类曲线积分的联系，例1－5，习题10—2：

3—8

格林公式及其应用（掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数），例1－7，习题10—3：

1－6

对面积的曲面积分（对面积的曲面积分的概念、性质与计算），例1、2，习题10—4：

1，4，5，6，7，8

对坐标的曲面积分（对坐标的曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分之间的联系），例1－3，习题10—5：

3，4

高斯公式、通量与散度（会用高斯公式计算曲面、曲线积分，散度的概念及计算），例1－5，习题10—6：

1，3

斯托克斯公式、换流量与旋度（会用斯托克斯公式计算曲面、曲线积分，旋度的概念及计算），例1－4，习题10—7：

1，2

总结本章知识点，总复习题十：

1－4，6，7

第十一章：

无穷级数10.26——10.28（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

常数项级数的概念和性质（级数收敛、发散的定义，收敛级数的基本性质），例1－3，习题11—1：

1—4

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件．2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件．3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法．4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法．5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系．6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念．7．理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法．8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和．9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件．10．掌握

及

的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数．11．了解傅里叶级数的概念和狄里克雷收敛定理，会将定义在

上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在

上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式．

常数项级数的审敛法（掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法，掌握交错级数的莱布尼茨判别法，了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系），例1－10，习题11—2：

1—5

幂级数（了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和），例1—6，习题11—3：

1，2

函数展开成幂级数（了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，掌握及的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数）例1—6，习题11—4：

1—6

傅里叶级数（了解傅里叶级数的概念和狄里克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式），例1－6，习题11—7：

1，2，4，5，6，7

总结本章知识点，总复习题十一：

1—12

第十二章常微分方程10.29——10.30（）

复习知识点与对应习题

大纲要求

微分方程的基本概念（微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解），例1、2、3、4，习题12-1：

1，2，3，4，5，6

1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列微分方程：

和

.5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

可分离变量的微分方程（可分离变量的微分方程的概念及其解法），例1、2、3、4，习题12-2：

1，3，4，5，6，7

齐次方程（一阶齐次微分方程的形式及其解法）例1、2、4，习题12－3：

1，2，3，4

一阶线性微分方程（常数变易法，伯努利方程求解），例1－4，习题12-4：

1，2，7，9全微分方程（会求全微分方程），习题：

12-5：

1、2、3、4

可降阶的高阶微分方程（会用降阶法解下列微分方程：

和

），例1—6，习题12-6：

1，2

高阶线性微分方程（微分方程的特解、通解），例1—4，习题12-7：

1，4，5，6，7

常系数齐次线性微分方程（特征方程，微分方程通解中对应项），例1，2，3，4，6，7习题12－8：

1，2

常系数非齐次线性微分方程（会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程），例1－5，习题12－9：

1，2

欧拉方程（欧拉方程的通解），习题12－10：

1—8

总复习题十二：

1，2，3，4，5，10

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