新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2.docx
《新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2.docx（37页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
新人教版五四制八年级下册数学《实际问题与一元二次方程2
新人教版（五四制）八年级下册数学-《实际问题与一元二次方程
（2）》教案
27.3实际问题与一元二次方程
（2）
27.3.2航行问题、几何问题
一、教学目标
（一）核心素养
在几何问题中以学生熟悉的现实生活为背景，让学生从具体问题中抽象出数量关系.经历观察、思考、交流，归纳出变化规律，并用数学符号表示，进而解决实际问题.进一步提高逻辑思维和解决问题的能力,培养学生数学建模的能力.体现数学在生活中的应用.
（二）学习目标
1.在几何背景下，让学生通过画图独立理解并解决问题，培养学生对几何问题的分析能力，以及将数学知识和实际问题相结合的思维能力.
2.培养学生的阅读能力.
3.根据实际情况验证结果的合理性.
（三）学习重点
建立数学模型，找等量关系，列方程
（四）学习难点
找等量关系，列方程
二、教学设计
（一）课前设计
预习任务
长方形的长和宽分别是a和b，则其面积为ab,周长为2（a+b）.
三角形一边及其这边上的高分别为a，h，则其面积为
圆的半径为r，其面积为
，周长为
.
预习自测
1.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB=8cm，阴影部分的面积是24cm2，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 cm．
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8﹣x）cm，
根据题意得：
x[x﹣（8﹣x）]=24，
解得：
x=6或x=﹣2（舍去），
【思路点拨】设小矩形的长为xcm，则小矩形的宽为（8﹣x）cm，然后表示出阴影部分的宽，从而根据其面积列出方程求解即可．
【答案】6cm．
2.如图，圆环的形状如图所示，它的面积是200cm2，外沿大圆的半径是9cm，求内沿小圆的半径的长．若设小圆的半径长为xcm，可列方程为 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设小圆的半径长为xcm，由题意，得
81π﹣πx2=200．
【思路点拨】根据圆环的面积公式：
圆环的面积=大圆的面积﹣小圆的面积，把数据代入公式即可列出方程．
【答案】81π﹣πx2=200．
3.如图，张叔叔计划利用一面墙（墙长为16m）、32m长的篱笆及一扇宽为1m的木门修建一个面积为130m2的矩形鸡场．若设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为 m，依题意列方程 ．解之得：
．满足题意的x= ．∴AB= m，BC= m．
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（32+1﹣2x）=（33﹣2x）m，
依题意列方程：
x（33﹣2x）=130．
解之得：
x1=
，x2=10．
满足题意的x=10．
∴AB=10m，BC=13m．
【思路点拨】设AB=xm，则BC用含x的代数式可表示为（33﹣2x）m，根据鸡场是面积为130m2的矩形，列出方程求解即可．
【答案】（33﹣2x）；x（33﹣2x）=130；x1=
，x2=10；10；13．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P以1cm/s的速度由点A向终点C运动，点Q以2cm/s的速度由点C向终点B运动，当其中一点到达自己的终点时，另一点随之停止运动．现已知AC=12cm，BC=9cm，设运动了t秒时，S△PQC=
S△ABC，则t的值为 ．
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
由题意得：
PC=（12﹣t）cm，CQ=2t，
则
×2t（12﹣t）=
×
×9×12
解得：
t=3或t=9（舍去）．
【思路点拨】分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PQC=
S△ABC列出方程求解．
【答案】3s．
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）列方程解应用题的一般步骤：
审，找，设，列，解，检验，答
（2）列方程解决应用问题的关键在于找到等量关系，从而建立方程求解.
（3）正方形，长方形，三角形，圆等几何图形的周长及面积计算公式；
长方体，正方体的体积及表面积计算公式.
2.问题探究
探究一面积体积问题★
活动1面积问题
例.如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
师问：
（1）挂图长为cm，宽为cm.
（2）等量关系是：
___________.
生答：
（1）80+2x；50+2x
（2）挂图面积为5400cm2.
师问:
如何列方程？
生答：
解：
挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
所以（80+2x）（50+2x）=5400，
即4x2+160x+4000+100x=5400，
所以4x2+260x﹣1400=0．
即x2+65x﹣350=0．
【思路点拨】找出挂图的长和宽，根据其积为5400，即长×宽=5400，列方程进行化简即可．
【设计意图】掌握在几何问题中找长方形的长和宽.
活动2体积问题
如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
师问：
（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为_______m，进而得到容积为_______.
（2）等量关系是：
_________.
生答：
（1）x+2；x（x+2）；
（2）容积是15m3.
师问：
如何列方程?
解：
（1）长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m．
容积为x（x+2）×1=x2+2x；
（2）x2+2x=15．
教师点拨：
（1）表示出长方体运输箱底面的宽为xm，则长为（x+2）m，进而得到容积为x（x+2）即可．
（2）由围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，根据
（1）列方程即可．
【设计意图】考查列代数式以及由实际问题列一元二次方程，利用长方体的体积计算公式来解决问题．
探究二勾股定理中的一元二次方程★
活动1勾股定理的应用
例.直角三角形的三边长是3个连续偶数，求这个三角形的三边长.
师问：
（1）设最短边为2x，另外两边长为:
________,_________.
（2）等量关系是：
__________.
生答
（1）2x+2，2x+4，
（2）直角三角形两直角边的平方和=斜边的平方.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
设最短边为2x，则另外两边的长为2x+2，2x+4，
根据题意得：
（2x）2+（2x+2）2=（2x+4）2；
化为一般形式为：
x2﹣2x﹣3=0．
故x1=3，x2=-1（舍）
所以三边长为6,8,10.
教师点拨：
根据一边长表示出另外两边的长，然后利用勾股定理列出方程即可；
【设计意图】学会用字母表示直角三角形的三边，继而通过勾股定理寻找等量关系.
活动2航行问题中的勾股定理
例.如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心
海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？
若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
师问：
（1）设t时刻，轮船行驶到C点，此时AC=；
台风中心运动到E点，此时AE=；
（2）等量关系是：
_________.
生答：
（1）AC=20t；AE=100-40t；
（2）EC2=AC2+AE2.
师问：
如何列方程求解?
生答：
解：
若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风．
设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到E点，如图所示：
则可知AC=20t，AE=100-40t，
根据勾股定理得：
EC2=AC2+AE2,
当EC=
时，
整理得出：
t2-4t+3=0
解得：
t1=1，t2=3，
∵求最初遇台风时间，∴t=1.
答：
点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时．
教师点拨：
根据勾股定理可得出此时轮船到台风中心的距离，进而可列方程.
【设计意图】训练在方向角背景下用字母表示相关边长，再利用勾股定理找等量关系.
探究三动点问题★▲
活动1三角形背景下的三角形面积
例.已知：
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在
（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？
说明理由．
师问：
（1）设经过x秒钟，BQ=_______,BP=________.
（2）等量关系是：
__________.
生答：
（1）2x，5－x；
（2）BP2+BQ2=PQ2
师问：
如何列方程求解?
生答：
解：
（1）设：
经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x=6
整理得：
x2﹣5x+6=0
解得：
x=2或x=3
答：
2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5﹣x）2+（2x）2=52，
5x2﹣10x=0，
x（5x﹣10）=0，
x1=0，x2=2，
∴当x=0或2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x=8
整理得：
x2﹣5x+8=0
△=25﹣32=﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
教师点拨：
（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）
（1）中面积=8cm2，求解方程.
【设计意图】训练在几何背景下用字母表示变化的边长，根据面积列方程式解决问题.
活动2四边形背景下的三角形面积
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以2
cm/s的速度运动，连接BQ、PQ．当时间t为秒时，△BQP的面积为24cm2．
师问：
整个运动过程中有几种情况？
生答：
分两种情况讨论：
①点Q在CD上；②点Q在DA上．
师问：
两种情况的时间的分界点是多少？
生答：
4s.
师问：
当Q在CD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？
生答：
过Q点作QG⊥BC于G.
师问：
此时，BP=_________,QG=_____________.
生答：
14－t，2t.
师问：
当Q在AD上，要表示△BPQ的面积，需要知道它的底和高.若以BP为底，则需要做什么辅助线？
生答：
过Q点作QG⊥BC于G.
师问：
此时，BP=_________,QG=_____________.
生答：
14－t，8.
师问：
如何列方程求解
生答：
解：
如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，
则有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC﹣BH=14﹣6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD=
=8
cm．
当点P、Q运动的时间为t（s），则PC=t．
①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则QC=2
t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，由勾股定理可得QG=2t（QG=QC•sin∠C=2
t×sin45°=2t．）
又∵BP=BC﹣PC=14﹣t，
∴S△BPQ=
BP×QG=
（14﹣t）×2t=14t﹣t2．
当Q运动到D点时所需要的时间t=
=
=4．
∴S=14t﹣t2（0＜t≤4），
当S=24时，14t﹣t2=24，
解得：
t1=2，t2=12（舍）．
②如图2，当点Q在DA上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，
则：
QG=AB=8cm，BP=BC﹣PC=14﹣t，
∴S△BPQ=
BP×QG=
（14﹣t）×8=56﹣4t．
当Q运动到A点时所需要的时间t=
．
∴S=56﹣4t（4＜t≤4+
），
当S=24时，56﹣4t=24，
解得：
t=8＞4+
，舍去，
综上，当t=2时，S=24.
教师点拨：
由于点P在线段CB上运动，而点Q沿C→D→A方向做匀速运动，所以分两种情况讨论：
①点Q在CD上；②点Q在DA上．针对每一种情况，都可以过Q点作QG⊥BC于G．由于点P、Q运动的时间为t（s），可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度，然后根据三角形的面积公式列出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围，根据面积为24cm2，列出方程，解方程并结合t的范围取舍．
【设计意图】考查了动点与图形面积问题，需要根据题目的条件，分类讨论是关键．
探究四几何问题训练★▲
活动1基础型例题
例.在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？
（只列方程）
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设修建的路宽为x米．余下的面积表示为：
20×30﹣（30x+20x﹣x2）米2，根据题意可知：
矩形地面﹣所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系：
余下的面积表示为 20×30﹣（30x+20x﹣x2） 米2，则根据题意得：
20×30﹣（30x+20x﹣x2）=551 ．
【思路点拨】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米.
练习：
如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．21cm2B．16cm2C．24cm2D．9cm2
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设AB=xcm，AD=（10﹣x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10﹣x）2cm2，
根据题意得x2+（10﹣x）2=68
整理得x2﹣10x+16=0
解之得x1=2，x2=8
所以AB=2cm，AD=8cm或AB=8cm，AD=2cm，
综上可求矩形ABCD的面积是16cm2．
【思路点拨】本题可设AB=xcm，AD=（10﹣x）cm，则正方形ABEF的面积为x2cm2，正方形ADGH的面积为（10﹣x）2cm2，进而结合题意，可列出方程，求得答案．
【答案】B
【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何问题中的应用，在利用一元二次方程解决实际问题时，要根据实际问题对解进行取舍
活动2提升型例题
例.已知△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，△ABC的面积为
，若AC=m，则m的值为（ ）
A．1B．2C．
D．
【知识点】一元二次方程的应用；含30度角的直角三角形；勾股定理.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
如图：
作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，∠B=45°，AC=m，
∴CD=BD=
=
，
∴由勾股定理得：
AD=
m，
∴AB=AD+BD=
m
∵△ABC的面积为
，
∴
AB•CD=
，
即：
m•
=
，
解得：
m=2,或m=-2（舍去），∴m=2．
【思路点拨】作CD⊥AB于点D，利用AC的长表示出CD和AB的长，利用三角形的面积公式得到有关m的方程求解即可．
【答案】B．
练习.甲、乙两船同时从A港出航，甲船以30千米/时的速度正北航行，乙船以比甲船快10千米/时的速度向东航行，几小时后两船相距150千米？
可列方程__________．
【知识点】一元二次方程的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设x小时后两船相距150千米，则AC=30x，AB=40x，
列方程得（30x）2+（40x）2=1502．
【思路点拨】画出相应图形后，易得两船相距的路程，甲航线路程，乙航行路程组成以两船相距的路程为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【答案】（30x）2+（40x）2=1502．
【设计意图】进一步练习一元二次方程在几何中的应用，勾股定理是此类问题的关键等量关系.
活动3探究型例题
例.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？
证明你的结论．
【知识点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用.
【数学思想】数形结合，分类讨论
【思路点拨】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=
QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解题过程】解：
（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t
∴
当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10
∴
（2）∵S△ABC=
∴当t＜10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ=
整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5
（舍去负值）
∴当点P运动
秒时，S△PCQ=S△ABC
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：
过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=
t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM=AC=10
∴DE=5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE=5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【答案】
（1）t<10时，
；t>10时，
.
（2）
秒；
（3）不会改变.
练习：
如图所示，在矩形ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，G为边AB上一点，GB=1cm，动点E、F同时从点D出发，点F沿射线DG﹣GB﹣BC运动到点C时停止，点E沿DC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若E、F同时运动ts时，△DEF的面积为5cm2，则t的值为 ．
【知识点】一元二次方程的应用，动点问题.
【数学思想】数形结合，分类讨论
【思路点拨】分三种情况：
①点F在DG上；②点F在BG上；③点F在BC上；根据等量关系：
△DEF的面积为5cm2，列出方程求解即可．
【解题过程】解：
在Rt△ADG中，DG=
=5，
①点F在DG上，依题意有
t×
t=5，
解得t=
（负值舍去）；
②点F在BG上，依题意有
×5×3=7.5＞5，
因此，当F在BG上时，△DEF的面积不可能等于5；
③点F在BC上，依题意有
×5×[3﹣（t﹣6）]=5，
解得t=7．
【答案】t的值为
或7．
3.课堂总结
知识梳理
（1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程的方法来解决,体现数学建模的思想.
（2）根据实际情况验证结果的合理性.
重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）
（1）几何问题转化为方程来解决，体会数形结合的思想.
（2）动点问题中常用动点运动路径来表示边长，进而通过几何关系寻找等量关系.
（三）课后作业
基础型自主突破
1.如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程（ ）
A．（80+2x）（50+2x）=5400B．（80﹣2x）（50﹣2x）=5400
C．（80+x）（50+x）=5400D．（80﹣x）（50﹣x）=5400
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
依题意，设金色纸边的宽为xcm，
（80+2x）（50+2x）=5400.
【思路点拨】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：
（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【答案】A．
2.长方形的周长等于62cm，若面积等于210cm2，则它的长和宽分别是（ ）
A．21cm，5cmB．5cm，4cmC．21cm，10cmD．21cm，4cm
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设长方形的长是xcm，
•x=210
x=21或x=10（舍去）．
（62﹣21﹣21）÷2=10．
长是21cm，宽是10cm．
【思路点拨】设长方形的长是xcm，根据长方形的周长等于62cm，若面积等于210cm2，可列方程求解．
【答案】C．
3.一个长方形的长比宽多1cm，面积是132cm2，长方形的长和宽分别是_________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】设长方形的长为xcm，则宽为（x﹣1）cm，
∴x（x﹣1）=132，
即：
x2﹣x﹣132=0；解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）
【思路点拨】根据长比宽多1cm，面积是132cm2，表示出长和宽，列出等式即可；
【答案】12cm，11cm.
3.如图，用一根长为22cm的铁丝分段围成一个面积为10cm2的“田”字形的长方形铁丝框．设宽为x，请列出关于x的方程并化成一般形式_______________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：
设矩形的宽为xcm，则长为：
cm，
根据题意得到：
x
=10，
化为一般形式为：
3x2﹣22x+30=0．
【思路点拨】分别表示出矩形的长和宽，利用面积计算方法列出方程即可．
【答案】3x2﹣22x+30=0．
4.一桌面的长为6米，宽为3米，铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍，并且各边垂下的长度相同，设台布垂下的长度xm，可列方程__________.
【知识点】一元二次方程的应用.
【解题过程】解：
设垂下的长度为x，由题意得
（6+2x）×（3+2x）=3×6×3；
【思路点拨】
升级会员 