第10章MATLAB优化设计jsp.docx
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第10章MATLAB优化设计jsp
第10章优化设计中的应用
在优化问题中，根据变量、目标函数和约束数的不同，可以将问题大致分为：
●线性优化目标函数和约束函数均为线性。
●二次优化目标函数为二次函数，而约束条件为线性方程：
线性优化和二次优化统称为简单优化。
●非线性优化目标函数为非二次的非线性函数，或约束条件为非线性方程。
●多任务目标优化目标函数并非一个时，称为多任务优化问题。
本章将对以上几类优化问题材在MATLAB中的实现作比较详细的讲解。
另外，还将介绍两个利用优化方法解非线性方程的函数。
（一）线性优化
线性优化问题即目标函数和约束条件均为线性的问题
其标准形式为:
MinC'xxRn
Sub.toAx=b
x≥0
其中ARm×n,m≤n（通常m＜n＝,bRn,CRn均为数值矩阵.
标准形式的线性优化问题简称LP（LinearProgramming）为问题。
其他形式的线性优化问题经过适当的变换均可以化为此种标准型。
线性优化问题在工农业及其他生产部门中应用十分广泛。
在MATLAB中，线性优化问题由lp函数求解。
1．函数介绍
●lp线性规划函数
Øx=lp（f,A,b）解如下形式的线性规划问题。
minf'x
x
Subjectto:
Ax≤b
Øx=lp（f,A,b,vlb,vub）参数vlb,vub给出设计变量的上下边界约束，即vlb≤x≤vub.
Øx=lp（f,A,b,vlb,vub,x0）设置初值x0.
Øx=lp（f,A,b,vlb,vub,x0,N）指出由A、b定义的约束中前N个为等式约束。
Øx=lp（f,A,b,vlb,vub,x0,N,DISPLAY）控制警告信息显示，当时DISPLAY=-1不显示警告信息。
Ø[x,LAMBDA]=lp（f,A,b）返回解的一组拉格朗日积。
Ø[x,LAMBDA,HOW]=lp（f,A,b）返回信息，指出最终迭代的错误条件。
注意当解为无边界或非真实时，lp产生警告信息。
2．应用举例
求下面的优化问题。
Min-5x1+4x2+2x3
Sub.to6x1-x2+x3≤8
X1+2x2+4x3≤10
3≥x1≥-1
2≥x2≥0
x3≥0
此问题即为线性优化的标准型问题。
解：
●MATLAB实现
>>c=[-5,4,2];a=[6,-1,1;1,2,4,];b=[8,10];
>>vlb=[-1,0,0];vub=[3,2];
>>[x,lam]=lp（c,a,b,vlb,vub）
x=
1.3333
0
0
lam=
0.8333
0
0
3.1667
2.8333
0
0
说明x解为最优解；lam说明条件6x1-x2+x3≤8和x2≥0及x3≥0发挥了作用。
下成再看一个实际中的应用问题。
例10．2某车间生产A和B两种产品。
为了生产A和B，所需的原料分别为2个和3个单位，而所需的工时分别为4个和2个单位，现在可以应用的原料为100个单位，工时为120个单位，每生产一台A和B分别可获得利润6元和4元，应当安排生产A、B各多少台，才能获得最大的利润？
●分析：
此问题的数学表达式为，设该车间应安排生产的A、B的数量分别为x1台,x2台,那么问题是求解最大值函数z=6x1+4x2.
x1,x2应满足如下条件：
原材料方面2x1+3x2≤100
工时方面4x1+2x2≤120
非负条件x1,x2≥0
即：
maxz=6x1+4x2minz=-6x1-4x2
Sub.to2x1+3x2≤100Sub.to2x1+3x2≤100
4x1+2x2≤1204x1+2x2≤120
x1,x2≥0x1,x2≥0
经过此变换化为标准型。
●MATLAB实现
c=[-6,-4];
a=[2,3;4,2];
b=[100,120];
vlb=[0,0];
vub=[];
[x,lam]=lp（c,a,b,vib,vub）
（二）二次优化
二次优化问题简称为QP（QuadraticProgramming）问题。
标准形式如下：
Minq（x）=xTGx+qTx
Sub.toA1x1=b1
A2x2≥b2
[B.C.]
其中x∈Rn,GRn×n为对称阵，q∈Rn，下标1表不等式约束，下标2表示不等式约束。
若G正定，则问题为凸二次规划问题，它有惟一的全局解。
在实际问题中遇到的绝大多数都是此类问题。
在MATLAB中，二次优化问题可由函数qp求解。
1．函数介绍
●qp二次规划函数
Øx=qp（H,f,A,b）解决如下形式的二次规划问题
min0.5x'Hx+f'x
x
Sub.to:
Ax≤b
Øx=qp（H,f,A,b,vlb,vub）参数vlb、vub给出设计变量的上下边界约束，
即vlb≤x≤vub
Øx=qp（H,f,A,b,vlb,vub,x0）设置初值x0.
ØX=qp（H,f,A,b,vlb,vub,x0,n）指出由A、b定义的约束中前n个为等式约束。
ØX=qp（H,f,A,b,vlb,vub,x0,n,DISPLAY）控制警告信息显示，当DISPLAY=-1时不显示警告信息。
Ø[x,LAMBDA]qp（H,f,A,b）返回解的一组拉格朗日积LAMBDA.
Ø[x,LAMBDA,HOW]=qp（H,f,A,b）返回信息，指出最终迭代的错误条件。
注意当解为无边界或非真实时，产生警告信息。
2.应用举例
【例10．3】求解如下二次优化问题。
解：
此即为二次优化的标准型。
Sub.tox1+x2≤2
-x1+2x2≤2
2x1+x2≤3
x1，,x2≥0
●MATLAB实现
h=[1,-1;-1,2];
c=[-2;-6]
a=[11;-12;21]
b=[2;2;3]
[x,l]=qp（h,c,a,b,zreros（2,1））
当所给函数并非标准确性型时，需要作一些变换，看下面的例子。
【例10．4】求解如下二次优化问题。
minf（x）=x12+x22-4x1+4
Sub.tox1-x2+2≥0
-x1+x2-1≥0
x1,x2≥0
解：
可以看出目标函数并非标准型，需要作以下变换
其中常数项与优化计算无关。
●MATLAB实现
>>h=[2,0;0,1];
>>c=[-4,0];
>>a=[-1,1;1,-1];
>>b=[2;-1];
>>x=qp（h,c,a,b,zeros（2,1））
x=
1.5000
2.5000
（三）非线性无约束优化问题
1、fmin单变量的最小函数值
格式1：
fmin（’F’,x1,x2）
功能：
返回自变量x在区间（x1,x2）上函数F取最小值时的x值。
F为目标函数的函数名。
格式2：
fmin（’F’,x1,x2，options）
其中：
options为控制参数向量，可查foptions得到具体的值。
如：
options
（1）为负值时，则显示计算过程，默认值options
（1）为0
options
（2）为结果x的误差范围，默认值1.e-4
options（3）为优化函数精度控制，默认值1.e-4
options（4）为违反约束的结束标准，默认值1.e-6
options（5）策略选择，不常用
options（6）优化程序方法选择，值为0时为BFGS算法，值为1时为DFP算法。
options（7）线性查值算法选择，值为0时为混合插值算法，值为1时为立方查找算法。
options（8）函数值显示（目标达到问题中的Labmda）
options（9）若需要检测用户提供的导数，则设为1
options（10）函数和约束求值的数目
options（11）函数导数求值的个数
options（12）约束求值的数目
options（13）约束求值的数目
options（14）函数求值的最大次数
options（15）用于目标-达到问题的特殊目标
options（16）优化过程变量的最小梯度值
options（17）优化过程变量的最小梯度值
options（18）步长设置（默认为1或更小）
例1：
求п的近似值
fmin（‘cos’,3,4）
例2：
计算函数
在（0，1）范围内的最小值点
fmin（‘（x^3+cos（x）+x*log（x））/exp（x））’,0,1）
2、fmins多变量最小函数值
格式1：
x=fmins（’F’,x0）
格式2：
x=fmins（’F’,x0，options）
例3：
计算
的最小值点。
x=fmins（’2*x
（1）^3+4*x
（1）*x
（2）^3-10*x
（1）*x
（2）^2’,[0,0]）
3、fminu多变量最小值时函数的变量值
格式1：
x=fminu（’F’,x0），以矩阵x0为初值，求函数F的最小值
格式2：
x=fminu（’F’,x0，options）
格式3：
x=fminu（’F’,x0，options，‘gradfun’）,gradfun为点x的偏导函数Df/dx
注意：
默认的算法为二次三次混合线搜索过程的BFGSQuasi-Newton方法
例：
求函数
的最小值
fun=‘exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）’
x0=[-11]
options=[]
[x,options]=fminu（fun,x0,options）
x%最优解
options（8）%解处的函数值
options（10）%函数的调用次数
例分别用BFGS方法和DFP方法求解如下函数的最小值点
pfun.m
functionf=pfun（x）
f=（x
（1）+x
（2）^2+5*（x（3）-x（4））^2+（x
（2）-2*x（3））^4+10*（x
（1）-x（4））^4）
x0=[3,-1,0,1]
●BFGS方法:
BFGS方法是一个著名的解无约束最优化问题的拟牛顿方法。
采用混合插值法：
options（6）=0
options（7）=0
fminu（‘pfun’,x0,options）
采用立方插值法：
options（6）=0
options（7）=1
fminu（‘pfun’,x0,options）
●DFP方法:
采用混合插值法：
options（6）=1
options（7）=0
fminu（‘pfun’,x0,options）
采用立方插值法：
options（6）=1
options（7）=1
fminu（‘pfun’,x0,options）
（四）最小二乘优化问题
非线性最小二乘问事处题材,简称LS（LeastSqaures）问题,它的标准形式如下:
minF（x）=∑ri（x）=r’'r,x∈Rn,mn
其中r=r（x）=（r1（x）r2（x）…,rm（x））'称为剩余量,某些ri（x）为非线性函数。
最小二乘问题大量应用实际拟合问题中，它固然可以用无约束优化的方法解，然而,由于此问题目标函数的特殊结构，因此可以对某些方法进行改造，使之更简单或更有效。
另外，也可由此构造一些针对此问题的特殊方法。
在MATLAB中，最小二乘问题的求解可由函数leastsq进行。
1、leastsq
（1）函数介绍
●leastsq解决非线性最小二乘问题。
●leastsq可解决以下形式的问题：
Øminsum{fun（x）2}函数fun和x可以为向量或矩阵。
（2）使用说明
Øx=leastsq（'fun',x0）以x0为初值，寻找M文件中fun（x）返回的函数值的平方和的最小值，fun返回目标函数的向量。
注意，fun返回fun（x），而非平方和。
Øx=leastsq（'fun',x0,options）函数输入选择参数由向量options定义。
●options
（2）为解x的精度要求参数。
●options（3）为求解过程的目标函数的精度要求参数，参见helpfoptions。
Øx=leastsq（'fun',x,options,'gradfun'）输入参数函数gradfun可以返回在点x（以列保存）的偏导数函数dF/dx,gf=gradrun（x）.
ØX=leastsp（'fun',x,options,'gradfun',p1,p2…）输入参数p1,p2…并直接输给函数run和gradfun，形式为fun（x,xdata,p1,p2…）和gradfun（x,xdata,p1,p2…）。
使用options和gradfun默放值时输入空矩阵。
Ø[x,options,F,J]=ieastsp（'fun',x0…）返回F在解x处函数fun（x）的值和在解点处的Jacobi矩阵J。
2、curvefit
（1）函数介绍
curvefit解非线性小二乘问题。
curvefit解决形如下式的问题：
minsum{（fun（x,xdata）-ydata）2}
x
其中fun.xdata和ydata为向量。
（2）函数说明
Øx=xurvefit（'fun',x0,xdata,ydata）以x0为初值寻找非线性方程fun（x,xdata）对数据ydata的小二乘最佳系数x。
run为计算以x和xdata为参数的函数，返回目标函数值向量F=fun（x,xdata）。
Øx=curvefit（'fun',x0,xdata,ydata,options）函数输入选择参数由向量options定义。
如：
options
（2）为解x的精度要求参数。
options（3）为求解过程的目标函数的精度要求参数，参见helpfoptions.
Øx=curvefit（'fun',x,xdata,ydata,options,'gradfun'）函数gradfun是返回在解点x处（以列保存）的编导数函数dF/dx，即gf=gradfun（x,xdata,ydata）.
ØX=curvefit（'fun',x,xdata,ydata,options,'gradfun’,p1,p2,…）参数p1、p2，…直接输出给函数fun和gradfun,即fun（x,xdata,p1,p2,…）和gradfun（x,xdata,p1，p2…）。
使用options和gradfun默认值时输入空矩阵。
Ø[x,options,F,J]=curvefit（'fun',x0,xdata,ydata,…）返回F在解x处函数fun（x,xdata）-ydata的值、Jacobi矩阵J和在解点处的fun值。
（五）强制约束问题
除了自由约束外，还有一种带有约束条件的优化问题，即为强约束问题。
本节介绍“罚函数法”在求解非线性优化问题中的MATLAB实现。
1、函数介绍
●constr求解多变量的强约束最小值问题
调用格式：
Øx=constr（‘fun’,x0）
Øx=constr（‘fun’,x0,options）
Øx=constr（‘fun’,x0,options,vlb,vub）
Øx=constr（‘fun’,x0,options,vlb,vub,‘gradfun’）
Øx=constr（‘fun’,x0,options,vlb,vub,‘gradfun’，p1,p2,……）
（1）函数返回两个函数值F和约束矩阵G[F,G]=fun（x）
（2）x0为初值
（3）options，可选参数，同前
（3）vlb,vub为x的上下限
（4）函数gradfun返回函数的偏导数和在x的约束的偏导[GF,GC]=gradfun（x）
（5）p1,p2等是输入函数的参数值，直接输入给函数fun（x，p1,p2）和gradfun（x，p1,p2）
Ø[x,options]=constr（‘fun’,x0，……）
能够返回使用优化方法的参数值
2、举例
funf=‘f=exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）’
fung=‘g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]’
fun=[funf,fung]
x0=[-11]
options=[]
[x,options]=constr（‘fun’,x0，options）
options（8）%查看解处的函数值
解处的约束：
g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]
例边界问题：
funf=‘f=exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）’
fung=‘g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]’
fun=[funf,fung]
x0=[-11]%初值
options=[]%默认参数
vlb=zeros（1,2）%边界
vub=[]
[x,options]=constr（‘fun’,x0,options,vlb,vub）
options（8）%查看解处的函数值
解处的约束：
g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]
例：
用户提供导数：
funf=‘f=exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）’
fung=‘g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]’
fun=[funf,fung]
x0=[-11]%初值
options=[]%默认参数
%偏导数
dfdx1=’exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）+4*exp（x
（1））*（2*x
（1）*x
（2））;’
dfdx2=’4*exp（x
（1）*（x
（1）+x
（2）+0.5）;’
GF=[dfdx1,dfdx2]
FC=’[x
（2）-1,-x
（2）;x
（1）-1,-x
（1）];’
grad=[GF,FC]
[x,options]=constr（‘fun’,x0,options,[],[],grad）
options（8）%查看解处的函数值
g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]%解处的约束值
例：
加上一个等式：
x1+x2=0
funf=‘f=exp（x
（1）*（4*x
（1）^2+2*x
（2）^2+4（x
（1）*x
（2）+2*x
（2）+1）’
fung=‘g=[1.5+x
（1）*x
（2）-x
（1）-x
（2）-x
（1）*x
（2）-10]’
fun=[funf,fung]
x0=[-11]&初值
options（13）=1%默认参数
[x,options]=constr（‘fun’,x0,options）
options（8）%查看解处的函数值
（六）目标-达到问题的优化
attgoal求解多任务-到达优化问题
x=attgoal（‘fun’,x0,goal,weight）
x=attgoal（‘fun’,x0,goal,weight,options）
[x,options]=attgoal（‘fun’,x0,goal,weight,options,vlb,vub）
[x,options]=attgoal（‘fun’,x0,goal,weight,options,vlb,vub，’gradfun’）
[x,options]=attgoal（‘fun’,x0,goal,weight,options,vlb,vub,’gradfun’,p1,p2,……）
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