(沈阳二模)辽宁省沈阳市年高三第二次模拟(数学文).doc

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辽省省2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测

（二）

数学（文科）

命　题：

东北三省四市联合命制

时间：

120分钟总分：

150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）题～第（24）题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡及答题纸上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡（纸）一并交回．

参考公式：

样本数据，，，的标准差

其中为样本平均数

柱体体积公式

其中为底面面积，为高

锥体体积公式

其中为底面面积，为高

球的表面积和体积公式

，

其中为球的半径

第I卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

（1）已知集合，，若，则实数的取值范围是

A. B. C.D.

（2）设等比数列的公比，前项和为，则的值为

A. B. C.D.

（3）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到了4个男生、6个女生．给出下列命题：

（1）该抽样可能是简单的随机抽样；

（2）该抽样一定不是系统抽样；（3）该抽样女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率．其中真命题的个数为

A．0B．1C．2D．3

（4）已知复数和复数，则为

A．B．C． D．

（5）已知命题：

抛物线的准线方程为；命题：

若函数为偶

函数，则关于对称．则下列命题是真命题的是

A． B. C. D.

开始

定义

输入精确度

和区间

是

否

或

是

否

输出

结束

图1

（6）已知图象不间断函数是区间上的单调函数，且在区间上存在零点．图1是用二分法求方程近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：

①；②；

③；④

其中能够正确求出近似解的是（）

A．①、③B．②、③

C．①、④D．②、④

（7）等差数列的首项为，公差为，前项和为．则“”是“的最小值为，且无最大值”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

（8）曲线在点处的切线方程为

A．B．

C．D．

（9）已知三个互不重合的平面，且，，，给出下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题个数为

A．1个B．2个C．3个D．4个

（10）已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为

A．B．

C．D．

（11）设，.若当时，恒成立，则实数的取值范围是

A．B．

C． D．

（12）已知函数，函数（a>0），若存在，使得成立，则实数的取值范围是

　A．　　　B．　　　C．　　　D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸相应的位置上．

（13）在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为．

（14）已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标、满足不等式组.则的取值范围是．

（15）对于命题：

若是线段上一点，则有

将它类比到平面的情形是：

若是△内一点，则有．

将它类比到空间的情形应该是：

图2

若是四面体内一点，则有．

（16）已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为．

三、解答题：

本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

甲

乙

257368

24

68

7

8

9

10

89

678

1235

1

某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图3所示，成绩不小于90分为及格．

（Ⅰ）甲班10名同学成绩标准差乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）；

图3

（Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.

（18）（本小题满分12分）

如图4，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF:

FD=21

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）证明：

BG面AFC．

（19）（本小题满分12分）

如图5，中，

点在线段上，且，

（Ⅰ）求的长；

图5

图4

（Ⅱ）求的面积．

（20）（本小题满分12分）

设为实数，函数,.

（Ⅰ）求的单调区间与极值；

（Ⅱ）求证：

当且时，.

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当＜时，求实数取值范围．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4－1：

几何证明选讲

如图6，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．

求证：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

图6

（23）（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线.以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

2011年东北三省四市统一考试暨沈阳市高三教学质量监测

（二）

数学（文科）参考答案与评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）D

（2）A（3）B（4）A（5）D（6）C

（7）A（8）B（9）C（10）B（11）D（12）A

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）（14）

（15）·+·+·+·=

（16）

三、解答题：

本大题共共70分.

（17）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）>．…………………3分

（Ⅱ）抽取情况为：

92，94，78；92，94，79；92，106，78；92，106，79；92，108，78；

92，108，79；94，106，78；94，106，79；94，108，78；

94，108，79；106，108，78；106，108，79．

总共有12种．…………………9分

这12种平均分不及格是92，94，78；92，94，79；共2种．…………………11分

所以三人平均分不及格的概率为．…………………12分

（18）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）证明：

因为面ABCD为菱形，且，

　所以为等边三角形，

又因为是的中点，所以．……2分

又⊥平面，所以．……3分

所以面，所以．……5分

（Ⅱ）取中点，所以．…………………………………………6分

连接，，所以面．……………………………………8分

连接，设，连接，

所以，所以面． 10分

所以面面，所以面．…………………………………12分

（19）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）因为，所以. 2分

在中，设，

则由余弦定理可得① 5分

在和中，由余弦定理可得，

． 7分

因为，

所以有，所以3＝－6②

由①②可得，即． 9分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得的面积为，

所以的面积为． 12分

（注：

也可以设，所以，用向量法解决；或者以为

原点，为轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过作平行线交延长线于，用正余弦定理解答．具体过程略）

（20）（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：

由知。

…………………2分

令，得。

于是，当变化时，和的变化情况如下表：

0

+

单调递减

单调递增

……………………………4分

故的单调递减区间是，单调递增区间是。

在处取得极小值。

极小值为…………………6分

（Ⅱ）证明：

设，于是。

由（Ⅰ）知当时取最小值为

于是对任意,都有，所以在R内单调递增。

…………8分

于是，当时，对任意，都有，而…………10分

从而对任意，都有。

即故…12分

（21）（本小题满分12分）

解：

（Ⅰ）由题意知，所以．

即． 2分

又因为，所以，．

故椭圆的方程为． 4分

（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.

设：

，，，，

由得.

，. 6分

，.

∵，∴，，

.

∵点在椭圆上，∴，

∴. 8分

∵＜，∴，∴

∴，

∴，∴. 10分

∴，∵，∴，

∴或，

∴实数取值范围为. 12分

（注意：

可设直线方程为，但需要讨论或两种情况）

（22）（本小题满分10分）选修4－1：

几何证明选讲

证明：

（Ⅰ）连结，是直径，

，．………2分

切圆于，．………4分

．……………………………………5分

（Ⅱ）连结，切圆于，图6

．……………………………………6分

又∽．……………8分

． 10分

（23）（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

解：

曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，

横坐标变为原来的一半得到， 1分

然后整个图象向右平移个单位得到， 2分

最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到， 3分

所以为， 4分

又为，即， 5分

所以和公共弦所在直线为， 7分

所以到距离为，

所以公共弦长为． 10分

（24）（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲

解：

原式等价于，设，

则原式变为对任意恒成立． 2分

因为，最小值为时取到，为． 6分

所以有≥解得． 10分