(详细解析)1991年全国高考数学理科.doc

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1991年全国高考数学（理科 ）试题

考生注意：

本试题共三道大题（26个小题），满分120分．

一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分．每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内．每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）

1．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题设，所以．

2．焦点在，顶点在的抛物线方程是

A．　B．C．　D．

【答案】D

【解析】抛物线开口向左，且，所以．

3．函数的最小正周期是

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】，所以最小正周期是．

4．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有

A．12对B．24对C．36对D．48对

【答案】B

【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面，所以共有24对．

5．函数的图象的一条对称轴的方程是

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】对称轴的方程满足，则，显然时．

6．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的

A．垂心B．重心C．外心D．内心

【答案】D

【解析】由题设可知点到三边的距离相等，所以是的内接圆的圆心．

7．已知是等比数列，且，那么的值等于

A．5B．10C．15D．20

【答案】A

【解析】设公比为，则由题设可得，即，则

，即．

8．如果圆锥曲线的极坐标方程为，那么它的焦点的极坐标为

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】曲线是椭圆，当时得时得，∴，故焦点的极坐标为．

9．从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有

A．140种B．84种C．70种D．35种

【答案】C

【解析】直接法：

．

间接法：

．

10．如果且，那么直线不通过

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】，由于且，所以，故D正确．

11．设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件．那么

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

【答案】A

【解析】由题意，乙甲，丙乙，但乙丙，从而可得甲丙，丙甲．

12．的值等于

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】

．

13．如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上

是

A．增函数且最小值为B．增函数且最大值为

C．减函数且最小值为D．减函数且最大值为

【答案】B

【解析】若，则，是增函数的最大值为

．

14．圆上到直线的距离为的点共有

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】圆的标准方程为，圆心到直线的距离为，故与直线平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个．

15．设全集为，，，那

么集合等于

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题设，则，

．

二．填空题：

本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．

16．的值是．

【答案】

【解析】由于，所以．

17．不等式的解集是．

【答案】

【解析】，得，解得解集是．

18．已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于．

【答案】

【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得棱台的高为，故正三棱台的体积为．

19．在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项．若实数，

那么．

【答案】

【解析】由题设可得的系数分别为，则

，化简得，由于，所以．

20．在球面上有四个点，如果两两互相垂直，且，

那么这个球面的面积是．

【答案】

【解析】因为球的直径等于以为棱的长方体的对角线的长，从而，故球面的面积为．

三．解答题：

本大题共6小题；共60分．

21．（本小题满分8分）

求函数的最小值，并写出使函数取最小值的的集合．

【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．

——1分

——3分

．——5分

当时取得最小值．——6分

使取最小值的的集合为．——8分

22．（本小题满分8分）

已知复数，求复数的模和辐角的主值．

【解】本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．

——2分

．——4分

的模．

因为对应的点在第四象限且辐角的正切，

所以辐角的主值．——8分

23．（本小题满分10分）

已知是边长为4的正方形，分别是的中点，垂直于所在的平面，且．求点到平面的距离．

【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．

如图，连结，分别交于．因为是正方形，分别为和的中点，故，为的中点．

不在平面上．否则，平面和平面重合，从而点在平面上，与题设矛盾．

由直线和平面平行的判定定理知平面，所以和平面的距离就是点到平面的距离．——4分

∵，∴．

∵平面，∴，

∴平面．

∴平面平面，是这两个垂直平面的交线．——6分

作交于点，由两平面垂直的性质定理知平面，所以线段的长就是点到平面的距离．——8分

∵正方形的边长为4，，

∴．

∴在中，．

由于和有一个锐角是公共的，故．

∴．

即点到平面的距离为．——10分

注：

未证明“不在平面上”不扣分．

【编者注】本题用“等积代换”，即亦可．

24．（本小题满分10分）

根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．

证法一：

在上任取且，——1分

则——3分

∵，∴．——4分

当时，有；——6分

当时，有；

∴．——8分

即．

所以，函数在上是减函数．——10分

证法二：

在上任取且，——1分

则．——3分

∵，∴．——4分

∵不同时为零，∴．

又∵，∴，

∴．——8分

即．

所以，函数在上是减函数．——10分

25．（本小题满分12分）

已知为自然数，实数，解关于的不等式

．

【解】本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．

利用对数换底公式，原不等式左端化为

故原不等式可化为．①

当为奇数时，，不等式①等价于．②

因为，②式等价于

——6分

因为，，

所以，不等式②的解集为．——8分

当为偶数时，，不等式①等价于．③

因为，③式等价于

或——10分

因为——12分

所以，不等式③的解集为．

综合得：

当为奇数时，原不等式的解集是；

当为偶数时，原不等式的解集是．

26．（本小题满分12分）

双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于两点．若，求双曲线的方程．

【解】本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．

解法一：

设双曲线的方程为．

依题意知，点的坐标满足方程组

将②式代入①式，整理得．③——3分

设方程③的两个根为，若，则，

即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，

故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以．

根据根与系数的关系，有——6分

由于在直线上，可记为．

由得，

整理得．⑥

将④，⑤式及代入⑥式，并整理得，

．

因为，解得，

所以．——8分

由，得．

整理得．⑦

将④，⑤式及，代入⑦式，解得．——10分

将代入 得．

故所求双曲线方程为．——12分

解法二：

④式以上同解法一．——4分

解方程③得，④——6分

由于在直线上，可记为．

由，得．⑤

将④式及代入⑤式并整理得，

即．

因，解得．——8分

由，得．

即．⑥

将④式代入⑥式并整理得．——10分

将代入上式，得，

将代入得．

故所求双曲线方程为．——12分

1991年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．

二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．

四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

五、只给整数分数．

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