人教版八下数学1911变量与函数课时1 常量与变量教案+学案.docx
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人教版八下数学1911变量与函数课时1常量与变量教案+学案
人教版八年级下册数学第19章一次函数
19.1函数19.1.1变量与函数
课时1常量与变量教案
【教学目标】
知识与技能目标
1．了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.
过程与方法目标
经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.
情感、态度与价值观目标
引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．
【教学重点】
能够区分同一个问题中的常量与变量，会用式子表示变量间的关系.
【教学难点】
用含有一个变量的式子表示另一个变量.
【教学过程设计】
一、情境导入
大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化．
二、合作探究
知识点一：
常量与变量
【类型一】指出关系式中的常量与变量
例1设路程为skm，速度为vkm/h，时间为th，指出下列各式中的常量与变量：
（1）v＝
；
（2）s＝45t－2t2；
（3）vt＝100.
解析：
根据变量和常量的定义即可解答．
解：
（1）常量是8，变量是v，s；
（2）常量是45，2，变量是s，t；
（3）常量是100，变量是v，t.
方法总结：
常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量．
【类型二】几何图形中动点问题中的常量与变量
例2如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．
解析：
根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系．再根据变量和常量的定义得出常量与变量．
解：
由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，两图形重合的长度为AM＝xcm.∵∠BAC＝45°，∴S阴影＝
·AM·h＝
AM2＝
x2，则y＝
x2，0≤x≤10.其中的常量为
，变量为重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm.
方法总结：
通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．
知识点二：
确定两个变量之间的关系
【类型一】区分实际问题中的常量与变量
例3分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式是S＝4πR2；
（2）以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h＝v0t－4.9t2；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是h＝
gt2（其中g取9.8m/s2）；
（4）已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x千克与所付款W元之间的关系式是W＝1.8x.
解析：
根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
解：
（1）S＝4πR2，常量是4π，变量是S，R；
（2）h＝v0t－4.9t2，常量是v0，4.9，变量是h，t；
（3）h＝
gt2（其中g取9.8m/s2），常量是
g，变量是h，t；
（4）W＝1.8x，常量是1.8，变量是x，W.
方法总结：
常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：
一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
【类型二】探索规律性问题中的常量与变量
例4按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数，用y来表示可坐人数．
（1）题中有几个变量？
（2）你能写出两个变量之间的关系式吗？
解析：
由图形可知，第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：
多一张餐桌，多放4把椅子．x张餐桌共有6＋4（x－1）＝4x＋2.
解：
（1）有2个变量；
（2）能，关系式为y＝4x＋2.
方法总结：
解答本题关键是依据图形得出变量x的变化规律．
三、教学总结
本节课从现实问题出发,找出了寻求事物变化中变量之间变化规律的一般方法步骤.它对以后学习函数及建立函数关系式有很重要的意义.
1.确定事物变化中的变量与常量.变量和常量的定义:
在某个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.
2.尝试运算寻求变量间存在的规律.
3.利用学过的有关知识公式确定关系式.
[设计意图] 通过小结、课堂训练和学生反思,进一步理顺学生的学习思路,加深对变量、常量有关概念的理解.
【板书设计】
19.1函数19.1.1变量与函数
课时1常量与变量
1．常量与变量
数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量为常量．
2．常量与变量的区分
变量:
在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量.
常量:
在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量.
3.例题讲解:
例1 例2
[学习检测]
1.写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量:
（1）圆的周长C与半径r的关系式;
（2）火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s（千米）和所用时间t（小时）的关系式.
解析:
先根据实际问题确定所给问题的关系式,再根据变量和常量的概念进行求解.
解:
（1）C=2πr,2π是常量,r,C是变量.
（2）s=60t,60是常量,t,s是变量.
2.若球体体积为V,半径为R,则V=πR3.其中变量是 、 ,常量是 .
解析:
根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量.
答案:
V R π
3.学校购买某种型号的钢笔作为学生的奖品,钢笔的价格是4元/支,则总金额y（元）与购买支数x（支）的关系式是 ,其中变量是 ,常量是 .
解析:
∵钢笔的价格是4元/支,∴总金额y（元）与购买支数x（支）的关系式是y=4x,∴变量为x,y,常量为4.
答案:
y=4x x,y 4
4.在圆的周长公式C=2πR中,下列说法正确的是 （ ）
A.π,R是变量,2是常量 B.R是变量,C,2,π是常量
C.C是变量,2,π,R是常量D.C,R是变量,2,π是常量
解析:
∵C=2πR,∴变量为C,R,常量为2,π.故选D.
5.要画一个面积为40cm2的长方形，其长为xcm，宽为ycm，在这一变化过程中，常量与变量分别为（ ）
A.常量为40，变量为x，y; B.常量为40、y，变量为x;
C.常量为40、x，变量为y; D.常量为x、y，变量为40;
解析:
根据常量与变量的定义即可判断。
由题意得，常量为20，变量为x，y，故选A.
【点评】解答本题的关键是熟记常量是指不变的量，变量是指变化的量。
6.分别指出下列各关系式中的变量与常量.
（1）三角形的一边长为5cm,它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是S=h;
（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α（度）,则另一个锐角β（度）与α（度）间的关系式是β=90-α.
解:
（1）∵S=h,∴变量为S,h,常量为.
（2）∵β=90-α,∴变量为β,α,常量为-1,90.
7.要画一个面积为10cm2的圆,圆的半径应取多少?
圆的面积为20cm2呢?
怎样用含有圆面积S的式子表示圆半径r?
解:
根据圆的面积公式S=πr2,得r=,面积为10cm2的圆半径r=≈1.78（cm）.
面积为20cm2的圆半径r=≈2.52（cm）.
用圆面积S的式子表示圆半径r的关系式为r=
.
【教学反思】
在本节数学课的教学中，作为教学主导的老师需特别注重对学生感受知识与处理问题的能力与结果的即兴评价．应引导学生在学习中多举例，多类比，多思考，多体味，以此激发和培养学生的学习兴趣，理解和接受常量与变量的概念，改变对概念下程式化的定义，切实提高学生的学习兴趣，降低函数学习入门的难度．
人教版八年级下册数学第19章平行四边形
19.1函数19.1.1变量与函数
课时1常量与变量学案
【学习目标】
1．了解常量与变量的概念，掌握常量与变量之间的联系与区别；
2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．
【教学重点】
能够区分同一个问题中的常量与变量．
【教学难点】
会用式子表示变量间的关系．
【自主学习】
一、知识链接
1.人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），如：
速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”：
、、.同时用“数”来表明“量”的大小.
2.写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：
.
二、新知预习
1.韩静去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元／支，总价
元随铅笔支数
的变化而变化，在这个问题中，变量是________，常量是________.
2.圆的面积S随着半径
的变化而变化，已知它们的关系为:
在这个问题中，常量是，变量是.
3.自主归纳：
变量：
在一个变化过程中，数值________的量为变量.
常量：
在一个变化过程中，数值________的量为常量.
三、自学自测
1.指出下列关系式中的常量和变量.
（1）长方形的长为2，长方形面积S与宽x之间的关系S=2x；
（2）一批香蕉每千克6元，则总金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系
式为y=6x.2.一名运动员以8米/秒的速度奔跑，写出他奔跑的路程s（米）与时间t（秒）之间的关系式，并指出其中的变量和常量.
四、我在自学过程中产生的疑惑
【构建新知】
一、新知梳理
知识点1：
常量与变量
问题1：
一辆汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米．行驶时间为t小时．
（1）请同学们根据题意填写下表：
t/小时
1
2
3
4
5
S/千米
（2）试用含t的式子表示s,则s=；
（3）在以上这个过程中，变化的量有，不变化的量有__________．
问题2：
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？
设一场电影售票x张，票房收入y元．
（1）请同学们根据题意填写：
早场电影的票房收入为元；
日场电影的票房收入为元；
晚场电影的票房收入为 元；
（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
（3）试用含x的式子表示y,则y=；这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程．
问题3：
你见过水中涟漪吗?
如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别为多少?
（1）填空：
当圆的半径为10cm时，圆的面积为cm2；
当圆的半径为20cm时，圆的面积为cm2；
当圆的半径为30cm时，圆的面积为cm2；
当圆的半径为r时，圆的面积S=；
（2）在以上这个过程中，变化的量是_____________，不变化的量是__________．
要点归纳：
在一个变化过程中，数值发生变化的量为，数值始终不变的量为.
【典例探究】
例1指出下列事件过程中的常量与变量
（1）某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是________，变量是________；
（2）周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝
，其中常量是________，变量是________；
（3）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式
中，其中常量是________，变量是________.
变式题
阅读并完成下面一段叙述：
（1）某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是________,变量是________.
（2）s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是________,变量是________.
（3）根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：
_________________________.
方法总结：
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
要点归纳：
平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．
知识点2：
确定两个变量之间的关系
例2弹簧的长度与所挂重物有关．如果弹簧原长为10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，试填下表：
重物的质量（kg）
1
2
3
4
5
弹簧长度（cm）
怎样用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度L（cm）?
变式题：
如果弹簧原长为12cm，每1kg重物使弹簧压缩0.5cm，则用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长度L（cm）________.
【跟踪练习】
写出下列问题中的关系式，并指出变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/吨.现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x吨，月应交水费为y元.
（2）某地手机通话费为0.2元/分.李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t分钟，话费卡中的余额为w元.
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与直径的比）为π.
（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本.
三、归纳总结
常量与变量的概念
常量
在一个变化过程中，数值________的量为变量
变量
在一个变化过程中，数值________的量为变量
易错提醒
在不同的条件下，常量与变量是相对的
【学习检测】
1.甲、乙两地相距s千米,某人行完全程所用的时间t（小时）与他的速度v（千米/时）满足vt=s,在这个变化过程中,下列判断中错误的是（）
A.s是变量 B.t是变量C.v是变量 D.s是常量
A（解析:
某人行完全程,甲、乙两地距离不变,故s是常量,因此A不正确.）
2.王丽用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系式是（）
A.Q=8x B.Q=8x-50C.Q=50-8x D.Q=8x+50
C（解析:
单价是8元的笔记本,买这种笔记本x本用了8x元,故Q=50-8x.故选C.）
3.若球体体积为V，半径为R，则
，其中变量是________、________，常量是________.
4.计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式是________，其中变量是________，常量是________.
5.汽车开始行驶时油箱内有油40升,如果每小时耗油5升,那么油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系式是 ，其中的常量是________，变量是________.
Q=40－5t40，5Q，t
（解析:
根据剩余油量=总油量－已用油量进行求解.）
6.长方形相邻两边长分别为x,y,面积为30,则用含x的式子表示y为 ,则这个问题中, 是常量; 是变量.
y=
； 30；x,y（解析:
由长方形的面积=长×宽进行求解.）
7.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x（单位：
m）落下时弹跳高度y（单位：
m）与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 ．
x
50
80
100
150
y
25
40
50
75
8.现有笔记本500本,学生x人,若每人5本,则余下y本笔记本,用含x的式子表示y为y= ,其中常量是 ,y和x都是 量.
500-5x 500,-5 变（解析:
根据剩余笔记本数=总的笔记本数-已发的笔记本数进行求解.）
9.夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0.7℃,已知山脚下的温度是23℃,则温度y（℃）与上升高度x（米）之间的关系式为 .
y=23－x
10.根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量与常量.
（1）多边形的内角和W与边数n的关系;
（2）甲、乙两地相距y千米,一自行车以每小时10千米的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t（小时）表示自行车离乙地的距离s（千米）.
解:
（1）W=（n-2）×180°,变量为W,n;常量为-2,180°.
（2）s=y-10t,变量为s,t;常量为-10,y.
11.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y.
份数/份
1
2
3
4
…
价钱/元
…
x与y之间的关系式是 .
0.4 0.8 1.2 1.6 y=0.4x（解析:
根据总金额=单价×数量进行求解.）
12.瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放，试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式.
x
1
2
3
4
5
y
完成上表，并写出瓶子总数y与层数x之间的关系式.
13.圆柱形物体如下图（横截面）那样堆放.试确定圆柱形物体的总数y与层数x之间的关系式.
解析:
要求变量间的关系式,需首先知道两个变量间存在的规律是什么.不妨尝试堆放,找出规律,再寻求确定关系式的办法.解:
由题意可知:
堆放1层,总数y=1,堆放2层,总数y=1+2,堆放3层,总数y=1+2+3,…,堆放x层,总数y=1+2+3+…+x,即y=x（x+1）.
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