热传导方程求解.docx
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热传导方程求解
应用物理软件训练
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括
MATLA和Simulink两大部分。
MATLA是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，和Mathematica、Maple
并称为三大数学软件。
它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。
MATLA可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现可视化。
本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLA数值实现
可视化。
题目：
热传导方程的求解
一、参数说明..1
二、基本原理..1
三、MATLAB程序流程图3
四、源程序.3
五、程序调试情况6
六、仿真中遇到的问题9
七、结束语9
八、参考文献10
、参数说明
U=zeros（21,101）返回一个21*101的零矩阵
x=linspace（0,1,100）;将变量设成列向量
meshz（u）绘制矩阵打的三维图axis（[02101]）;横坐标从0到21，纵坐标从0到1
eps是MATLA默认的最小浮点数精度
[X,Y]=pol2cart（R,TH）;效果和上一句相同
waterfall（RR,TT,wn）瀑布图
二、基本原理
1、一维热传导问题
（1）无限长细杆的热传导定解问题
IUf=Cl^urx
（p[X
利用傅里叶变换求得问题的解是:
/■+OC
冰）
』—（X）
取得初始温度分布如下
2a\f7d
£4a
0.
U（X.t\=J.—
Jo2avtfF
（2）有限长细杆的热传导定解问题
（0<^<1）
（a?
<0?
rr>1）
这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得
1計2
4佝（]£
其中
2
（02
—Cl^xx
其中0冬x冬20，即L=20,取a=10且
2、二维热传导问题定解问题
Ut=kA2（Uxx+Uyy）（0解析解是
U（x,y,t=O）=0
3、三维热传导问题
球体内的热传导
令u=w+Uo则w的定解问题是
Wt=ww
W（r=ro）=0
W（t=to）=uo-Uo
解为
QUO-UO）J.：
（-1）ne』2冷/r2o
_e■
rn丄n
r为空间变量，并用x,y表示。
三、MATLA程序流程图
四、源程序
1、一维有限长细杆的热传导
x=0:
20;t=0:
0.01:
1;a2=10;
r=a2*0.01;
u=zeros（21,101）;
u（10:
11,1）=1;是把上述矩阵中的第10行，11行的第一列全部设成1
forj=1:
100
u（2:
20,j+1）=（1-2*r）*u（2:
20,j）+r*（u（1:
19,j）+u（3:
21,j））;
Plot（u（:
j））;
axis（[02101]）;横坐标0到21,纵坐标0到1
pause（0.1）暂停0.1秒
end
meshz（u）
2、非齐次方程的定解问题
a2=50;b=5;L=1;
[x,t]=meshgrid（0:
0.01:
1,0:
0.000001:
0.0005）;
Anfun=inline（'2/L*（x-L/2）.A2.*exp（-b*x/2/a2）.*sin（n*pi*x/L）','x
','n','L','b','a2'）;%定义内联函数
u=0;
forn=1:
30
An=quad（Anfun,0,1,[],[],n,L,b,a2）;%inline函数中定义x为向量，其它
为标量
un=An*exp（-（n*n*pi*pi*a2/L/L+b*b/4/a2/a2）.*t）.*exp（b/2/a2.*x）.*
sin（n*pi*x/L）;
u=u+un;
size（u）;
mesh（x,t,u）;%x,t，u都为501行101列的矩阵
figure
subplot（2,1,1）
plot（u（1,:
））
subplot（2,1,2）
plot（u（end,:
））
end
差分法
dx=0.01;dt=0.000001;a2=50;b=5;c=a2*dt/dx/dx;
x=linspace（0,1,100）;%将变量设成列向量
uu（1:
100,1）=（x-0.5）A2;%初温度为零
figure
subplot（1,2,1）%初始状态
plot（x,uu（:
1）,'linewidth',1）;
axis（[0,1,0,0.25]）;
subplot（1,2,2）%演化图
h=plot（x,uu（:
1）,'linewidth',1）;
set（h,'EraseMode','xor'）
forj=2:
200
uu（2:
99,2）=（1-2*c）*uu（2:
99,1）+c*（uu（1:
98,1）+uu（3:
100,1））-...b*dt/dx*（uu（3:
100,1）-uu（2:
99,1））;
uu（1,2）==0;uu（100,2）==0;%边界条件
uu（:
1）=uu（:
2）;
uu（:
1）
set（h,'YData',uu（:
1））;
drawnow;
pause（0.01）
end
三维热传导问题
U0=2;u0=0;a2=2;N=10;
r=eps:
0.05:
1;theta=linspace（0,2*pi,100）;
t=0.1:
0.001:
0.2;
[RR,TT]=meshgrid（r,t）;
figure
（1）
[R,TH]=meshgrid（theta,r）;
[X,Y]=pol2cart（R,TH）;
fortt=1:
100
un=O;
fork=1:
N
unn=2*（U0-u0）*（-1Fk.*sin（k.*pi.*（X.A2+Y.A2）.A0.5）.*...
exp（-kA2*piA2*a2*t（tt））./（pi.*（X.A2+Y.A2）.A0.5）;
un=unn+un;
end
mesh（X,Y,un）;
axis（[-11-11-0.40]）;
pause（0.1）
end
figure
（2）
wn=0;
fork=1:
N
wnn=2*（U0-u0）*（-1）Ak.*sin（k.*pi.*RR）.*..
exp（-kA2*piA2*a2*TT）./（pi*k.*RR）;
wn=wnn+wn;
end
waterfall（RR,TT,wn）
xlabel（'r'）
ylabel（'t'）
五、程序调试情况
1、有限长细杆的热传导
开始时
一段时间后
2、
（1）非齐次方程的解析解
（讨整体图（b）初始状态（c）最后状态
（2）非齐次方程的数值解（差分法）
（町初始状态，（b）最后状态.
3、二维热传导问题
4、三维热传导问题
解析解的动画图
解析解的瀑布图
六、仿真中遇到的问题
几乎所有的工程问题都能转化成数学模型来解，而且借助MATLAB大多数
的模型的数值解的精确度均能满足要求。
但是，存在的问题也不少。
首先，数值解法存在许多局限性，一个解只能适用于一个或几个模型，或者一个或几个方程。
而解析解的得到能使我们得出所有同类问题的通解，并且精确度高于数值解。
这是由于数学的发展程度还不足以满足自然科学的发展要求，数值解法只是一个权
宜之计。
其次，MATLAB!
然能处理大量的数学问题，但其命令繁多，再加上各种工具箱，要完全学会和很好的使用MATLA不是一件容易的事情，在编辑和阅读程序时通常要借助工具书查询相关命令，这样就增加了使用难度，使得MATLAB不能广泛的普及。
再者，要合理的使用MATLAB^解决数学问题，必需是建立在良好的数学基础之上的，这就势必要求MATLAB勺使用者有扎实的数学功底，这又给MATLAB勺普及带来了挑战。
最后，由于工程中的导热问题的数学模型并不一都能很顺利的建立，这就给使用MATLA解决导热问题增加了难度。
七、结束语
在这短短的一周内从开始的一头雾水，到自己看书学习，到同学讨论，再进行整个题目的理论分析和计算，参考课程上的代码，写出自己的代码。
我们也明白了学无止尽的道理，在我们所查的很多参考书中，很多知识是我们从没有接触过的，我们对它的了解还仅限于皮毛，对它的很多功能以及函数还不是很了解，所以在这个学习的过程中我们穿越在知识的海洋中，一点一点吸取
着它的知识。
在MATLA编程中需要很多的参考书，要尽量多的熟悉matlab自带的函数及其作用，因为matlab的自带函数特别多，基本上能够满足一般的数据和矩阵的计算，所以基本上不用你自己编函数。
这一点对程序非常有帮助，可以使程序简单，运行效率高，可以节省很多时间。
本次课设中用了很多MATLAB!
带的函数，使程序变得很简单。
把基本的知识看过之后，就需要找一个实际的程序来动手编一下，不要等所有的知识都学好之后再去编程，你要在编程的过程中学习，程序需要什么知识再去补充，编程是一点一点积累的，所以你要需做一些随手笔记什么的。
在编写程序代码时，需要什么函数，需要什么模块就应该去着重看那个知识点，不要一步登天，一步一步学，如果太急于把所有东西都学到，也是不好的，
更是实现不了的。
所以那时一天一天积累的，慢慢地学通这个软件
八、参考文献
清华大学出版社
蒿凤有编著哈尔滨工业
《数学物理方程的MATLAB军法与可视化》彭芳麟著
《量子物理学中的常用算法与程序》井孝功赵永芳
大学出版社
《计算物理基础》彭芳麟著高等教育出版社
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