届高考数学考点突破直线平面垂直的判定及其性质.docx

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届高考数学考点突破直线平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质

【考点梳理】

1．直线与平面垂直

（1）定义：

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

（2）判定定理：

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

（3）推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

（4）直线和平面垂直的性质：

①垂直于同一个平面的两条直线平行．

②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

2．直线和平面所成的角

（1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

3．二面角的有关概念

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

（2）二面角的平面角：

以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

4．平面与平面垂直

（1）定义：

如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

【考点突破】

考点一、线面垂直的判定与性质

【例1】如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

（1）求证：

CD⊥平面ABD；

（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．

[解析]

（1）证明：

因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD.

又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，

所以CD⊥平面ABD.

（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.

又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝

×12＝

.

因为M是AD的中点，所以S△ABM＝

S△ABD＝

.

根据

（1）知，CD⊥平面ABD，

则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，

故VAMBC＝VCABM＝

S△ABM·h＝

.

【类题通法】

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

（1）判定定理；

（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

（4）面面垂直的性质．

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

【对点训练】

如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝

DB，点C为圆O上一点，且BC＝

AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.

求证：

PA⊥CD.

[解析]证明：

因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由

AC＝BC，得∠ABC＝30°.

设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2

，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，

所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.

因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，

所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.

考点二、面面垂直的判定与性质

【例2】如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：

平面BCD⊥平面EGH.

[解析]证明：

（1）如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，

连接MH.

在三棱台DEFABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形.

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，

由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

故BD∥平面FGH.

（2）连接HE，GE，CD，

因为G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB.

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

又H为BC的中点，

所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，

所以CF∥HE.

由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.

所以BC⊥平面EGH.

又BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH.

【类题通法】

1.面面垂直的证明的两种思路：

（1）用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；

（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．

2．垂直问题的转化关系：

【对点训练】

如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

（1）求证：

PB∥平面MNC；

（2）若AC＝BC，求证：

PA⊥平面MNC.

[解析]证明：

（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，

又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，

所以PB∥平面MNC.

（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABC，

CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.

所以CM⊥平面PAB.

因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.

又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.

考点三、平行与垂直的综合问题

【例3】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

[解析]证明：

（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.

又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

【例4】如图

（1）所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图

（2）所示．

（1）　　　　　　　　　

（2）

（1）求证：

A1F⊥BE；

（2）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

并说明理由.

[解析]证明：

（1）由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，

因为DC∩DA1＝D，

所以DE⊥平面A1DC.

由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又BE⊂平面BCDE，

所以A1F⊥BE.

（2）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，则DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEQP.

由

（1）知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.

又DP∩DE＝D，

所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

【类题通法】

1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．

3.对命题条件探索性的主要途径：

（1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

4．平行（垂直）中点的位置探索性问题：

一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

【对点训练】

1．在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝

，O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥VABC的体积．

[解析]

（1）证明：

因为O，M分别为AB，VA的中点，

所以OM∥VB.

又因为VB

平面MOC，所以VB∥平面MOC.

（2）证明：

因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.

又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，

所以OC⊥平面VAB.

所以平面MOC⊥平面VAB.

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝

，

所以AB＝2，OC＝1.

所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝

.

又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥CVAB的体积等于

OC·S△VAB＝

.

又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为

.

2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝

AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

[解析]

（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．

理由如下：

连接CM，

因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，

所以CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）证明：

由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分

因为AD∥BC，BC＝

AD，M为AD的中点，连接BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.

考点四、线面角的求法与应用

【例5】如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.

（1）求证：

BF⊥平面ACFD；

（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

[解析]

（1）证明：

延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.

因为平面BCFE⊥平面ABC，

且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCK，

因此，BF⊥AC.

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.

所以BF⊥平面ACFD.

（2）因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.

在Rt△BFD中，BF＝

，DF＝

，得cos∠BDF＝

，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为

.

【类题通法】

1.利用综合法求空间角的步骤：

（1）找：

根据图形找出相关的线面角或二面角．

（2）证：

证明找出的角即为所求的角．

（3）算：

根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．

2．线面角的求法：

找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．

【对点训练】

如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明：

AE⊥平面PCD.

[解析]

（1）在四棱锥PABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.

∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

（2）证明：

在四棱锥PABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

故CD⊥PA.

由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，

∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，

∴AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，

故AE⊥平面PCD.