北京市东城区高三数学一模文科试题及答案.doc
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北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习
（一）数学 （文科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，集合，那么集合为
（A） （B）（C）（D）
（2）“”是“直线与直线平行”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）已知为平行四边形，若向量，，则向量为
（A）（B）（C）（D）
（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，
则判断框内应填入的条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：
cm），那么这个几何体的侧面积是
（A）（B）（C）（D）
（6）已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为（A） （B） （C） （D）
（7）对于函数，部分与的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为
（A）9394（B）9380（C）9396（D）9400
（8）已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，.若函数在区间（）上有零点，则的值为（A）或（B）或（C）或（D）或
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知是虚数单位，那么等于．
（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩
的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是，乙次测试成
绩的平均数与中位数之差是．
（11）不等式组表示的平面区域为，则区域的面积为，的最大值为．
（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为．
（13）函数的图象为，有如下结论：
①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数，其中正确的结论序号是．（写出所有正确结论的序号）
（14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一
行增加两项，若，则位于第10行的第8列的项
等于，在图中位于．（填第几行的第几列）
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
A
B
C
D
E
F
（15）（本小题共13分）在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的最大值．
（16）（本小题共14分）如图，已知平面，平面，
为的中点，若．
（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）求证：
平面平面．
（17）（本小题共13分）
为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：
优秀
良好
合格
男生人数
380
373
女生人数
370
377
（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？
（Ⅱ）若，，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．
（18）（本小题共14分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（III）若存在最大值，且，求的取值范围．
（19）（本小题共13分）已知椭圆：
的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：
为定值.
（20）（本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：
.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.
（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；
（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.
北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习
（一）数学参考答案（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B
（2）C（3）C（4）A
（5）C（6）D（7）A（8）A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）（11），
（12）（13）①②③（14）第行的第列
注：
两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，
因为在△中，，所以.又，所以.
A
B
C
D
E
F
G
（Ⅱ）由余弦定理，
因为，，所以.
因为，所以.
当且仅当时，取得最大值.
（16）（共14分）
证明：
（Ⅰ）取的中点，连结，.
因为是的中点，则为△的中位线．所以，．
因为平面，平面，所以．
又因为，所以．所以四边形为平行四边形．所以．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为，为的中点，所以．
因为，平面，所以平面．
又平面，所以．因为，所以平面．
因为，所以平面．又平面，所以平面平面．
（17）（共13分）
解：
（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：
．
因为，故在优秀等级的学生中应抽取份．
（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件．
因为，，，且，为正整数，所以数组的可能取值为：
，，，…，，共个．
其中满足的数组的所有可能取值为：
，，，，共5个，即事件包含的基本事件数为．所以．故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为．
（18）（共14分）
解：
（Ⅰ）当时，．
．所以．
又，所以曲线在点处的切线方程是，即．
（Ⅱ）函数的定义域为，．
当时，由知恒成立，此时在区间上单调递减．
当时，由知恒成立，此时在区间上单调递增．
当时，由，得，由，得，
此时在区间内单调递增，在区间内单调递减．
（III）由（Ⅱ）知函数的定义域为，
当或时，在区间上单调，此时函数无最大值．
当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时函数有最大值．最大值．
因为，所以有，解之得．所以的取值范围是．
（19）（共13分）
（Ⅰ）解：
由已知，所以.所以.
所以：
，即.
因为椭圆过点，得，.所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.
根据题意，可设直线的方程为，
由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.
设，.由方程组消得.
则.所以=.
同理可得.所以.
（20）（共13分）
解：
（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．
（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．
由，得．
当且仅当，且时，达到最大值，于是．
②当不是中的“元”时，计算的最大值，
由于，所以，
当且仅当时，等号成立．
即当时，取得最大值，此时．
综上所述，的最大值为1．
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