北京市石景山区高三统一测试(一模)数学(理科)Word可编辑.doc
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2013年石景山区高三统一测试
数学（理科）4.1
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合,，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n．向量=（m,n）,=（3,6），则向量与共线的概率为[（ ）
A．
B．
C．
D．
4．执行右面的框图，输出的结果的值为（）
A．
B．
C．
D．
5．如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE是圆的两条割线，且,连接
MD、EC.则下面结论中，错误的结论是（ ）
A
C
M
B
D
E
A.B.
C.D.
6．在的二项展开式中，的系数为（）
A．
B．
C．
D．
7．对于直线与抛物线，是直线与抛物线有唯一交点的（）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要
8．若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称.
则称点对[P,Q]是函数的一对“友好点对”（注：
点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.
已知函数，则此函数的“友好点对”有（）对
A.0 B.1 C.2 D.3
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．直线与圆相交弦的长度为．
10．在△中，若，则．
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
3
2
2
2
3
2
11.在等差数列中，=-2013，其前n项和为，若=2，则的值等于．
12．某四棱锥的三视图如图所示，
则最长的一条侧棱长度是．
D
E
F
C
B
A
13．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是．
14．对于各数互不相等的整数数组（n是不小于3的正整数），若对任意的p，，当时有，则称是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2．则数组（5,2,4,3,1）的逆序数等于_________；若数组的逆序数为n，则数组的逆序数为_________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知,，，求△ABC的面积．
16．（本小题满分13分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;
（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
PM2.5日均值（微克/立方米）
2
16
3
7
5
9
6
03
8
56
10
47
（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望.
17．（本小题满分14分）
如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，，，．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）设点在棱上，，若
∥平面，求的值.
18．（本小题满分13分）
已知函数,.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.
19．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；
x
y
A
O
B
F1
F2
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围．
20．（本小题满分13分）
给定有限单调递增数列且，定义集合且.若对任意点，存在点使得（为坐标原点），则称数列具有性质.
（Ⅰ）判断数列：
和数列：
是否具有性质，简述理由.
（Ⅱ）若数列具有性质，求证：
①数列中一定存在两项使得；
②若，且，则.
（Ⅲ）若数列只有2013项且具有性质，，，求的所有项和.
2013年石景山区高三统一测试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题：
本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
D
C
A
C
二、填空题：
本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
三、解答题：
本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）
…………1分
…………3分
令
…………5分
函数的单调递增区间.…………6分
（Ⅱ）由，，
因为为内角，由题意知，所以
因此，解得．…………8分
由正弦定理，得，…………10分
由，由，可得，…………12分
∴．…………13分
16．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,
.…………2分
（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B,.…………5分
（Ⅲ）的可能值为，
；；
…………9分
其分布列为：
…………13分
17．（本小题满分14分）
证明：
（I）在直角梯形ABCD中，
所以，所以.…………2分
又因为，所以
由，所以
所以…………4分
（II）如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，
分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知A（1，0，0），B（1，，0），
设，则，…………5分
由（I）知.
.
设，
则…………7分
即直线为.…………8分
（III）由
（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则
，，，，
而，所以，
=
…………10分
设为平面PAB的法向量，则，即，即.
进而，…………12分
由,得
∴…………14分
18．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）在区间上,.……………………1分
①若,则,是区间上的减函数；……………3分
②若,令得.
在区间上,,函数是减函数;
在区间上,,函数是增函数;
综上所述，①当时,的递减区间是，无递增区间；
②当时，的递增区间是，递减区间是.…………6分
（II）因为函数在处取得极值，所以
解得，经检验满足题意.…………7分
由已知则…………………8分
令，则…………………10分
易得在上递减，在上递增，…………………12分
所以，即．…………13分
19．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）连接，因为，，所以，
即，故椭圆的离心率．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得于是,，
的外接圆圆心为），半径．．．．．．．．．．．．4分
由已知圆心到直线的距离为，所以，解得
所求椭圆方程为.．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设直线的方程为：
消去得．．．．．7分
因为过点，所以恒成立
设，
则，
中点．．．．．．．．．．．．．．．9分当时，为长轴，中点为原点，则．．．．．．．．．．．．．．10分
当时中垂线方程．
令，．．．．．．．．．12分
，，可得
综上可知实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．14分
20．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质.
对于数列，若则；若则；所以具有性质.对于数列，当若存在满足,即,即，数列中不存在这样的数，因此不具有性质.………………3分
（Ⅱ）
（1）取，又数列具有性质，所以存在点使得，即，又，所以.………………5分
（2）由
（1）知，数列中一定存在两项使得；又数列是单调递增数列且，所以1为数列中的一项.
假设，则存在有，所以
此时取，数列具有性质，所以存在点使得，所以；只有，所以当时，矛盾；
当时，矛盾.所以.…………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，.若数列只有2013项且具有性质，可得，猜想数列从第二项起是公比为2的等比数列.（用数学归纳法证明）.
所以…………13分
【注：
若有其它解法，请酌情给分】
高三数学试卷（理科）第13页（共13页）
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