北京市西城区初三数学一模试题及答案.doc
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北京市西城区2013年初三一模试卷
数学2013.5
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1.的相反数是
A. B. C.3 D.
2.上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心,该项目营业面积约130000平方米,130000用科学记数法表示应为
A.1.3×105B.1.3×104C.13×104D.0.13×106
3.如图,AF是∠BAC的平分线,EF∥AC交AB于点E.
若∠1=25°,则的度数为
A.15°B.50°
C.25°D.12.5°
4.在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球,这些球除颜色外,没有任何其他区别,现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到黄球的概率为
A. B. C. D.1
5.若菱形的对角线长分别为6和8,则该菱形的边长为
A.5 B.6 C.8 D.10
6.某中学篮球队12名队员的年龄情况如下:
年龄(单位:
岁)
14
15
16
17
18
人数
1
4
2
3
2
则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A.16,15 B.15,15.5C.15,17D.15,16
7.由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示,则构成这个几何体
的小正方体共有
A.6个
B.7个
C.8个
D.9个
8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4.将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后,得到矩形FGCE(点A、B、D的对应点分别为点F、G、E).动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止,动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止,这两点的运动速度均为每秒1个单位.若点P和点Q同时开始运动,运动时间为x(秒),△APQ的面积为y,则能够正确反映y与x之
间的函数关系的图象大致是
ABCD
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9.函数中,自变量x的取值范围是.
10.分解因式:
=.
11.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,∠C=45°.
若AD=2,BC=8,则AB的长为.
12.在平面直角坐标系xOy中,有一只电子青蛙在点A(1,0)处.
第一次,它从点A先向右跳跃1个单位,再向上跳跃1个单位到达点A1;
第二次,它从点A1先向左跳跃2个单位,再向下跳跃2个单位到达点A2;
第三次,它从点A2先向右跳跃3个单位,再向上跳跃3个单位到达点A3;
第四次,它从点A3先向左跳跃4个单位,再向下跳跃4个单位到达点A4;
……
依此规律进行,点A6的坐标为;若点An的坐标为(2013,2012),
则n=.
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.计算:
.
14.解不等式组并求它的所有整数解.
15.如图,点C在线段AB上,△DAC和△DBE都是等边三角形.
(1)求证:
△DAB≌△DCE;
(2)求证:
DA∥EC.
16.已知,求的值.
-2
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数Error!
Nobookmarknamegiven.与反比例函数的图象在
第二象限交于点A,且点A的横坐标为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)点B的坐标为(-3,0),若点P在y轴上,
且△AOB的面积与△AOP的面积相等,
直接写出点P的坐标.
18.列方程(组)解应用题:
某工厂原计划生产2400台空气净化器,由于天气的影响,空气净化器的需求量呈上升趋势,生产任务的数量增加了1200台.工厂在实际生产中,提高了生产效率,每天比原计划多生产10台,实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍.求原计划每天生产多少台空气净化器.
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
AC⊥AB,AB=2,且AC︰BD=2︰3.
(1)求AC的长;
(2)求△AOD的面积.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于
点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:
EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=,求EB的长.
21.近年来,北京郊区依托丰富的自然和人文资源,大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目,京郊旅游业迅速崛起,农民的收入逐步提高.以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分.
北京市2009-2012年农业观光园
经营年收入增长率统计表
北京市2008-2012年农业观光园
经营年收入统计图
年份
年增长率(精确到1%)
2009年
12%
2010年
2011年
22%
2012年
24%
请根据以上信息解答下列问题:
(1)北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是;(结果精确到1%)
(2)请补全条形统计图并在图中标明相应数据;(结果精确到0.1)
(3)如果从2012年以后,北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长,请
你估算,若经营年收入要不低于2008年的4倍,至少要到年.(填写年份)
22.先阅读材料,再解答问题:
小明同学在学习与圆有关的角时了解到:
在同圆或等圆中,
同弧(或等弧)所对的圆周角相等.如图,点A、B、C、D均
为⊙O上的点,则有∠C=∠D.
小明还发现,若点E在⊙O外,且与点D在直线AB同侧,
则有∠D>∠E.
请你参考小明得出的结论,解答下列问题:
(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,7),点B的坐标为(0,3),
点C的坐标为(3,0).
①在图1中作出△ABC的外接圆(保留必要的作图痕迹,不写作法);
②若在轴的正半轴上有一点D,且∠ACB=∠ADB,则点D的坐标为;
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),
其中m>n>0.点P为轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:
无论为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)抛物线与轴的一个交点的横坐标为,其中,将抛物线向右平移个单位,再向上平移个单位,得到抛物线.求抛物
线的解析式;
(3)点A(m,n)和B(n,m)都在
(2)中抛物线C2上,且A、B两点不重合,求代数式
的值.
24.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=,点P在△ABC的内部.
(1)如图1,AB=2AC,PB=3,点M、N分别在AB、BC边上,则cos=_______,
△PMN周长的最小值为_______;
(2)如图2,若条件AB=2AC不变,而PA=,PB=,PC=1,求△ABC的面积;
(3)若PA=,PB=,PC=,且,直接写出∠APB的度数.
25.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:
与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.
图1 图2
北京市西城区2013年初三一模试卷
数学答案及评分参考2013.5
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
B
A
D
C
A
二、填空题(本题共16分,每小题4分)
9
10
11
12
x≥3
(-2,-3),4023(各2分)
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.解:
原式=.………………………………………………4分
=.…………………………………………………5分
①
②
14.解:
由①得.…………………………………………………………1分
由②得.…………………………………………………………3分
∴原不等式组的解集是.…………………………………4分
∴它的整数解为4,5,6.…………………………………………5分
图1
15.证明:
(1)如图1.
∵△DAC和△DBE都是等边三角形,
∴DA=DC,DB=DE,…………1分
∠ADC=∠BDE=60º.
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,
即∠ADB=∠CDE.……………2分
在△DAB和△DCE中,
∴△DAB≌△DCE.…………………………………………3分
(2)∵△DAB≌△DCE,
∴∠A=∠DCE=60°.………………………………………4分
∵∠ADC=60°,
∴∠DCE=∠ADC.
∴DA∥EC.…………………………………………………5分
16.解:
原式=..….….….….…..…………..……………………2分
=.…………………………………………………………3分
∵,
∴.
∴原式=.………………………………………………5分
17.解:
(1)∵正比例函数的图象经过点A,且点A的横坐标为,
∴点A的纵坐标为3.……………………………………………1分
∵反比例函数的图象经过点A(),
∴.
∴.………………………………………………………2分
∴.………………………………………………………3分
(2)点P的坐标为或.………………………………5分
18.解:
设原计划每天生产空气净化器台.……………………………………1分
依题意得.……………………………………2分
解得.……………………………………………………………3分
经检验,是原方程的解,并且符合题意.………………………4分
答:
原计划每天生产空气净化器40台.……………………………………………5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.解:
(1)如图2.
图2
∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴OA=AC,OB=BD.……………1分
∵AC︰BD=2︰3,
∴OA︰OB=2︰3.
设OA=2x(x>0),则OB=3x.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°.
在Rt△OAB中,OA2+AB2=OB2.……………………………………2分
∵AB=2,
∴(2x)2+22=(3x)2.
解得x=±(舍负).
∴AC=2OA=.……………………………………………………3分
(2)∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD.
∴S△AOD=S△AOB=AO·AB=××2=.………………………5分
图3
20.
(1)证明:
连接OD.(如图3)
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠B.
∴∠ODC=∠B.
∴OD∥AB.……………………………………………………………1分
∴∠ODF=∠AEF.
∵EF⊥AB,
∴∠ODF=∠AEF=90°.
∴OD⊥EF.
∵OD为⊙O的半径,
∴EF与⊙O相切.………………………………………………2分
(2)解:
由
(1)知:
OD∥AB,OD⊥EF.
在Rt△AEF中,sin∠CFD==,AE=6.
∴AF=10.………………………………………………………………3分
∵OD∥AB,
∴△ODF∽△AEF.
∴.
设⊙O的半径为r,
∴=.
解得r=.………………………………………………………………4分
图4
∴AB=AC=2r=.
∴EB=AB-AE=-6=.…………5分
21.解:
(1)17%;……………………………2分
(2)所补数据为21.7;……………………3分
补全统计图如图4;…………………4分
图5
(3)2015.…………………………5分
22.解:
(1)①如图5;…………………………1分
②点D的坐标为;…………………3分
(2)点P的坐标为.………………5分
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.
(1)证明:
∵,…………………………………1分
而,
∴,即.
∴无论为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.…………2分
(2)解:
∵当时,,
∴.
∴,即.
∵,
∴.…………………………………………………………3分
∴抛物线的解析式为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的解析式为.…………………………4分
(3)解:
∵点A(,)和B(,)都在抛物线上,
∴,且.
∴.
∴.
∴.
∵A、B两点不重合,即,
∴.
∴.………………………………………………………5分
∵,,
∴
………………………………………………………………6分
.………………………………………………………………7分
24.解:
(1)=,△PMN周长的最小值为3;………………………2分
图6
(2)分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折,点P的对称点分别是点D、E、F,连接DE、DF,(如图6)
则△PAB≌△DAB,△PCB≌△ECB,△PAC≌△FAC.
∴AD=AP=AF,BD=BP=BE,CE=CP=CF.
∵由
(1)知∠ABC=30°,∠BAC=60°,∠ACB=90°,
∴∠DBE=2∠ABC=60°,∠DAF=2∠BAC=120°,
∠FCE=2∠ACB=180°.
∴△DBE是等边三角形,点F、C、E共线.
∴DE=BD=BP=,EF=CE+CF=2CP=2.
∵△ADF中,AD=AF=,∠DAF=120°,
∴∠ADF=∠AFD=30°.
∴DF=AD=.
∴.
∴∠DFE=90°.………………………………………………………4分
∵,
∴.
∴.……………………………………………5分
(3)∠APB=150°.…………………………………………………………7分
说明:
作BM⊥DE于M,AN⊥DF于N.(如图7)
由
(2)知∠DBE=,∠DAF=.
图7
∵BD=BE=,AD=AF=,
∴∠DBM=,∠DAN=.
∴∠1=,∠3=.
∴DM=,DN=.
∴DE=DF=EF.
∴∠2=60°.
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.
25.解:
(1)∵直线l:
经过点B(0,),
∴.
∴直线l的解析式为.
∵直线l:
经过点C(4,n),
∴.………………………………………………1分
∵抛物线经过点C(4,2)和点B(0,),
∴
解得
∴抛物线的解析式为.…………………………2分
(2)∵直线l:
与x轴交于点A,
图8
∴点A的坐标为(,0).
∴OA=.
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB==.
∵DE∥轴,
∴∠OBA=∠FED.
∵矩形DFEG中,∠DFE=90°,
∴∠DFE=∠AOB=90°.
∴△OAB∽△FDE.
∴.
∴,
.…………………………………………4分
∴=2(FD+FE)=.
∵D(,),E(,),且,
∴.
∴.……………………………5分
∵,且,
∴当时,有最大值.……………………………………6分
(3)点A1的横坐标为或.……………………………………………8分
说明:
两种情况参看图9和图10,其中O1B1与轴平行,O1A1与轴平行.
图9
图10
B
1
O
1
A
1
l
C
A
B
O
x
y
y
x
O
B
A
C
l
A
1
O
1
B
1
初三一模数学试卷第16页(共6页)