北京昌平区高三二模理科数学试题.doc
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昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数学试卷（理科）
（满分150分，考试时间120分钟）2013.4
考生须知：
1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷（选择题）必须用2B铅笔作答，第II卷（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
（1）已知集合，，则
A.B.C.D.
（2）已知命题，，那么下列结论正确的是
A.命题B．命题
C．命题D．命题
（3）圆的圆心到直线（为参数）的距离为
A.B.1C.D.
（4）设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为
A.B.C.D.
（5）在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为
A.B.C.D.
（6）已知四棱锥的三视图如图所示，
则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是
A．
B．
C．
D．
（7）如图，在边长为2的菱形
中，，为的中点，
则的值为
A．1B．C．D．
（8）设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，.给出下列结论：
①；②；
③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198.
其中正确的结论是
A.①③B.①④C.②③D.②④
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）二项式的展开式中的系数为___________.
（10）双曲线的一条渐近线方程为，则.
（11）如图，切圆于点,为圆的直径，
交圆于点，为的中点，且
则__________；
__________.
开始
①
输出
结束
图1
是
否
（12）执行如图所示的程序框图，
若①是时，输出的值为；
若①是时，输出的值为.
（13）已知函数
若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是.
（14）曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线过点；
②曲线关于点对称；
③若点在曲线上，点分别在直线上，则不小于
④设为曲线上任意一点，则点关于直线、点及直线对称的点分别为、、，则四边形的面积为定值.
其中，所有正确结论的序号是.
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间.
（16）（本小题满分14分）
如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,
侧面底面，且,
、分别为、的中点．
（Ⅰ）求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
面平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在点使得
二面角的余弦值为？
说明理由.
（17）（本小题满分13分）
某市为了提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，对市民进行了“生活满意”度的调查．现随机抽取40位市民，对他们的生活满意指数进行统计分析，得到如下分布表：
满意级别
非常满意
满意
一般
不满意
满意指数（分）
90
60
30
0
人数（个）
15
17
6
2
（I）求这40位市民满意指数的平均值；
（II）以这40人为样本的满意指数来估计全市市民的总体满意指数，若从全市市民（人数很多）中任选3人，记表示抽到满意级别为“非常满意或满意”的市民人数．求的分布列；
（III）从这40位市民中，先随机选一个人，记他的满意指数为，然后再随机选另一个人，记他的满意指数为，求的概率．
（18）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）若求在处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值；
（III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.
（19）（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的长轴为，过点的直线与轴垂直，椭圆的离心率，为椭圆的左焦点，且.
（I）求此椭圆的方程；
（II）设是此椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得.连接并延长交直线于点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系．
（20）（本小题满分14分）
设数列对任意都有（其中、、是常数）．
（I）当，，时，求；
（II）当，，时，若，，求数列的通项公式；
（III）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，，时，设是数列的前项和，，试问：
是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由．
昌平区2012－2013学年第二学期高三年级期第二次质量抽测
数学试卷参考答案（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
C
B
A
D
C
C
A
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
（9）（10）
（11）；（12）；
（13）（14）②③④
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）..4分
..6分
（Ⅱ）的最小正周期.…………………………8分
又由可得
函数的单调递增区间为.………13分
（16）（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
连结，
为正方形，为中点，
为中点.
∴在中，// ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且平面，平面∴．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅱ）证明：
因为平面平面， 平面面
为正方形，，平面
所以平面.
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又，所以是等腰直角三角形，
且 即
，且、面
面
又面，
∴面面.…………..9分
（Ⅲ）如图,取的中点,连结,.
∵,∴.
∵侧面底面,
∴,
而分别为的中点,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则有,,,.
若在上存在点使得二面角的余弦值为，连结
设.
由（Ⅱ）知平面的法向量为.
设平面的法向量为.∵,
∴由可得,令,则,
故∴,
解得，.
所以，在线段上存在点,使得二面角的余弦值为.
.．．．．．．．．．．．．．14分
（17）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）记表示这40位市民满意指数的平均值，则
（分）…………………2分
（Ⅱ）的可能取值为0、1、2、3.
的分布列为
1
2
……………8分
（Ⅲ）设所有满足条件的事件为
①满足的事件数为：
②满足的事件数为：
③满足的事件数为：
所以满足条件的事件的概率为.……………………13分
（18）（本小题满分13分）
解：
（I）
在处的切线方程为………………………..3分
（Ⅱ）由
由及定义域为，令
①若在上，，在上单调递增，
因此,在区间的最小值为.
②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为
③若在上，，在上单调递减，
因此,在区间上的最小值为.
综上，当时，；当时，；
当时，.……………………………….9分
（III）由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.
当时，要使在区间上恰有两个零点，则
∴即，此时，.
所以，的取值范围为…………………………………………………………..13分
（19）（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由题意可知，,，，
又，，解得
所求椭圆方程为…………………………5分
（Ⅱ）设，则
由
所以直线方程
由得直线
由
又点的坐标满足椭圆方程得到：
，
所以
直线的方程：
化简整理得到：
即
所以点到直线的距离
直线与为直径的圆相切.…………………………………….13分
（20）（本小题满分14分）
解：
（I）当，，时，
，①
用去代得，，②
②—①得，，，……………………………2分
在①中令得，，则0，∴，
∴数列是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴=………………………………………………….4分
（II）当，，时，，③
用去代得，，④
④—③得，，⑤.
用去代得，，⑥
⑥—⑤得，，即，.
∴数列是等差数列.∵，，
∴公差，∴…………………………………………9分
（III）由（II）知数列是等差数列，∵，∴.
又是“封闭数列”，得：
对任意，必存在使
，
得，故是偶数， 10分
又由已知，，故.一方面，当时，，对任意，都有.
另一方面，当时，，，
则，
取，则，不合题意.
当时，，，则
，
当时，，，
，
又，∴或或或……………………….14分
第13页
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