北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题纯word版含答案.doc
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学(文科)2013.1
本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上
作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.复数化简的结果为
A.B.C.D.
2.向量,若,则实数的值为
A.B.C.D.
3.在等边的边上任取一点,则的概率是
A.B.C.D.
4.点是抛物线上一点,到该抛物线焦点的距离为,则点的横坐标为
A.2B.3C.4D.5
5.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的为,则输出
的的值分别为
A. B.
C. D.
6.已知点,且,则直线的方程为
A.或B.或
C.或D.或
7.已知函数则下面结论中正确的是
A.是奇函数B.的值域是
C.是偶函数D.的值域是
8.如图,在棱长为1的正方体中,点分别是
棱的中点,是侧面内一点,若平面
则线段长度的取值范围是
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.的值为________.
10.双曲线的渐近线方程为_____;离心率为______.
11.数列是公差不为0的等差数列,且,则
12.不等式组表示的平面区域为,直线与区域有公共点,则实数的取值范围为_________.
13.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如
图所示,则棱的长为______.
14.任給实数定义设函数,
则=______;若是公比大于的等比数列,且,
则
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数,三个内角的对边分别为且.
(I)求角的大小;
(Ⅱ)若,,求的值.
16.(本小题满分13分)
某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表:
A型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
3
30
5
7
5
B型车
出租天数
3
4
5
6
7
车辆数
10
10
15
10
5
(I)试根据上面的统计数据,判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只
需写出结果);
(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽
车是A型车的概率;
(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据
所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.
17.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,
,且是中点.
(I)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面.
18.(本小题满分13分)
已知函数与函数在点处有公共的切线,设
.
(I)求的值;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆:
的一个焦点为,左右顶点分别为,.
经过点的直线与椭圆交于,两点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)当直线的倾斜角为时,求线段的长;
(Ⅲ)记与的面积分别为和,求的最大值.
20.(本小题满分13分)
已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称为
“一阶比增函数”.
(Ⅰ)若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若是“一阶比增函数”,求证:
,;
(Ⅲ)若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:
有解.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学(文)
参考答案及评分标准2013.1
说明:
合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
B
C
B
D
B
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)
9.1
10.
11.
12.
13.
14.0;
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(I)因为
………………6分
又,,………………7分
所以,………………9分
(Ⅱ)由余弦定理
得到,所以………………11分
解得(舍)或………………13分
所以
16.(本小题满分13分)
解:
(I)由数据的离散程度可以看出,B型车在本星期内出租天数的方差较大
………………3分
(Ⅱ)这辆汽车是A类型车的概率约为
这辆汽车是A类型车的概率为………………7分
(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数为
………………9分
50辆B类型车出租的天数的平均数为
………………11分
答案一:
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车
………………13分
答案二:
一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,而B型车出租天数的方差较大,所以选择A型车………………13分
17.(本小题满分14分)
解:
(I)连接交于点,连接
因为为正方形,所以为中点
又为中点,所以为的中位线,
所以………………3分
又平面,平面
所以平面………………6分
(Ⅱ)因为,又为中点,所以………………8分
又因为在直三棱柱中,底面,
又底面,所以,
又因为,所以平面,
又平面,所以………………10分
在矩形中,,所以,
所以,即………………12分
又,所以平面………………14分
18.(本小题满分13分)
解:
(I)因为所以在函数的图象上
又,所以
所以………………3分
(Ⅱ)因为,其定义域为
………………5分
当时,,
所以在上单调递增,
所以在上最小值为………………7分
当时,令,得到(舍)
当时,即时,对恒成立,
所以在上单调递增,其最小值为………………9分
当时,即时,对成立,
所以在上单调递减,
其最小值为………………11分
当,即时,对成立,对成立
所以在单调递减,在上单调递增
其最小值为………13分
综上,当时,在上的最小值为
当时,在上的最小值为
当时,在上的最小值为.
19.(本小题满分14分)
解:
(I)因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为………………3分
(Ⅱ)因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
消掉,得到………………5分
所以
所以………………7分
(Ⅲ)当直线无斜率时,直线方程为,
此时,面积相等,………………8分
当直线斜率存在(显然)时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然,方程有根,且………………10分
此时
………………12分
因为,上式,(时等号成立)
所以的最大值为………………14分
20.(本小题满分13分)
解:
(I)由题在是增函数,
由一次函数性质知
当时,在上是增函数,
所以………………3分
(Ⅱ)因为是“一阶比增函数”,即在上是增函数,
又,有,
所以,………………5分
所以,
所以
所以………………8分
(Ⅲ)设,其中.
因为是“一阶比增函数”,所以当时,
法一:
取,满足,记
由(Ⅱ)知,同理,
所以一定存在,使得,
所以一定有解………………13分
法二:
取,满足,记
因为当时,,所以对成立
只要,则有,
所以一定有解………………13分
高三数学(文科)试题第9页(共4页)