平行线的性质与判定典型例题.docx
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平行线的性质与判定典型例题
1.如图,CD平分∠ECF,∠B=∠ACB,求证:
AB∥CE.
证明:
∵CD平分∠ECF,
∴∠ECD=∠DCF,
∵∠ACB=∠DCF,
∴∠ECD=∠ACB,
又∵∠B=∠ACB,
∴∠B=∠ECD,
∴AB∥CE.
2.如图,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=15°,∠2=15°,AE与BF平行吗?
为什么?
解:
AE∥BF.
理由如下:
因为AC⊥AE,BD⊥BF(已知),
所以∠EAC=∠FBD=90°(垂直的定义).
因为∠1=∠2(已知),
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2(等式的性质),
即∠EAB=∠FBG,
所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行).
3.如图,已知∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,F是BC延长线上一点,且∠DBC=∠F,求证:
EC∥DF.
证明:
∵∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠DBC=
∠ABC,∠ECB=
∠ACB,
∴∠DBC=∠ECB.
∵∠DBC=∠F,
∴∠ECB=∠F,
∴EC∥DF.
4.如图,∠ABC=∠ADC,BF,DE分别是∠ABC,∠ADC的角平分线,∠1=∠2,求证:
DC∥AB.
证明:
∵DE、BF分别是∠ABC,∠ADC的角平分线,
∴∠3=
∠ADC,∠2=
∠ABC,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠3=∠2,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DC∥AB.
5.如图所示,∠B=25°,∠D=42°,∠BCD=67°,试判断AB和ED的位置关系,并说明理由.
解:
AB∥ED,
理由:
如图,过C作CF∥AB,
∵∠B=25°,
∴∠BCF=∠B=25°,
∴∠DCF=∠BCD﹣∠BCF=42°,
又∵∠D=42°,
∴∠DCF=∠D,
∴CF∥ED,
∴AB∥ED.
6.如图,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°.试判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
解:
BC∥AD.理由如下:
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ADC=2∠1,∠BCD=2∠2,
∵∠1+∠2=90°,
∴∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°,
∴AD∥BC.
7.已知:
如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2.求证:
EF∥CD.
证明:
∵DG⊥BC,AC⊥BC,
∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义),
∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相等),
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCA,
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行).
8.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起,友情提示:
∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°.
(1)①若∠DCB=45°,则∠ACB的度数为135°.
②若∠ACB=140°,则∠DCE的度数为40°.
(2)由
(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)当∠ACE<90°且点E在直线AC的上方时,当这两块三角尺有一组边互相平行时,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由).
解:
(1)①∵∠DCE=45°,∠ACD=90°
∴∠ACE=45°
∵∠BCE=90°
∴∠ACB=90°+45°=135°
故答案为:
135°;
②∵∠ACB=140°,∠ECB=90°
∴∠ACE=140°﹣90°=50°
∴∠DCE=90°﹣∠ACE=90°﹣50°=40°
故答案为:
40°;
(2)猜想:
∠ACB+∠DCE=180°
理由如下:
∵∠ACE=90°﹣∠DCE
又∵∠ACB=∠ACE+90°
∴∠ACB=90°﹣∠DCE+90°=180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE=180°;
(3)30°、45°.
理由:
当CB∥AD时,∠ACE=30°;
当EB∥AC时,∠ACE=45°.
9.已知:
DE⊥AO于E,BO⊥AO,∠CFB=∠EDO,证明:
CF∥DO.
证明:
∵DE⊥AO,BO⊥AO,
∴∠AED=∠AOB=90°,
∴DE∥BO(同位角相等,两条直线平行),
∴∠EDO=∠BOD(两直线平行,内错角相等),
∵∠EDO=∠CFB,
∴∠BOD=∠CFB,
∴CF∥DO(同位角相等,两条直线平行).
10.如图,已知∠A=∠C,∠E=∠F,试说明:
AD∥BC.
证明:
∵∠E=∠F,
∴AE∥CF,
∴∠A=∠ADF,
∵∠A=∠C,
∴∠ADF=∠C,
∴AD∥BC.
11.已知:
如图,EG∥FH,∠1=∠2.求证:
∠BEF+∠DFE=180°.
解:
∵EG∥HF
∴∠OEG=∠OFH,
∵∠1=∠2
∴∠AEF=∠DFE
∴AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°.
12.如图,AB∥CD,∠B=70°,∠BCE=20°,∠CEF=130°,请判断AB与EF的位置关系,并说明理由.
解:
AB∥EF,理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠BCD,(两直线平行,内错角相等)
∵∠B=70°,
∴∠BCD=70°,(等量代换)
∵∠BCE=20°,
∴∠ECD=50°,
∵CEF=130°,
∴∠E+∠DCE=180°,
∴EF∥CD,(同旁内角互补,两直线平行)
∴AB∥EF.(平行于同一直线的两条直线互相平行)
13.如图,AD∥BC,∠DAC=120°,∠ACF=20°,∠EFC=140°.求证:
EF∥AD.
证明:
∵AD∥BC,
∴∠DAC+∠ACB=180°,
∵∠DAC=120°,
∴∠ACB=60°,
又∵∠ACF=20°,
∴∠BCF=∠ACB﹣∠ACF=40°,
又∵∠EFC=140°,
∴∠BCF+∠EFC=180°,
∴EF∥BC,
∵AD∥BC,
∴EF∥AD.
14.完成下列推理过程:
已知:
如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B
求证:
∠EDG+∠DGC=180°
证明:
∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1+∠DFE=180°( 邻补角定义)
∴∠2= ∠DFE( 同角的补角相等)
∴EF∥AB(内错角相等,两直线平行 )
∴∠3=∠ADE( 两直线平行,内错角相等 )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE(等量代换 )
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行 )
∴∠EDG+∠DGC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
15.已知:
如图,BE∥GF,∠1=∠3,∠DBC=70°,求∠EDB的大小.
阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式)
解:
∵BE∥GF(已知)
∴∠2=∠3( 两直线平行同位角相等)
∵∠1=∠3( 已知 )
∴∠1=( ∠2)( 等量代换)
∴DE∥(BC)(内错角相等两直线平行 )
∴∠EDB+∠DBC=180°( 两直线平行同旁内角互补)
∴∠EDB=180°﹣∠DBC(等式性质)
∵∠DBC=(70° )(已知)
∴∠EDB=180°﹣70°=110°
16.如图,已知:
E、F分别是AB和CD上的点,DE、AF分别交BC于点G、H,AB∥CD,∠A=∠D,试说明:
(1)AF∥ED;
(2)∠BED=∠A;
(3)∠1=∠2
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠A=∠AFC,
∵∠A=∠D,
∴∠AFC=∠D,
∴AF∥ED;
(2)证明:
∵AF∥ED,
∴∠BED=∠A;
(3)证明:
∵AF∥ED,
∴∠1=∠CGD,
又∵∠2=∠CGD,
∴∠1=∠2.
17.阅读理解,补全证明过程及推理依据.
已知:
如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证∠A=∠F
证明:
∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠DGF(对顶角相等)
∴∠1=∠DGF(等量代换)
∴BD ∥CE ( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠3+∠C =180°(两直线平行,同旁内角互补 )
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠4+∠C=180°(等量代换)
∴AC∥DF( 同旁内角互补,两直线平行)
∴∠A=∠F( 两直线平行,内错角相等 )
18.如图,∠α和∠β的度数满足方程组
且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)求∠α和∠β的度数.
(2)求∠C的度数.
解:
(1)解方程组
,
得
.
(2)∵∠α+∠β=55°+125°=180°,
∴AB∥CD,
∴∠C+∠CAB=180°,
∵AC⊥AE,
∴∠CAE=90°,
∴∠C=180°﹣90°﹣55°=35°.
19.如图,直线a∥b,∠1=45°,∠2=30°,求∠P的度数.
解:
过P作PM∥直线a,
∵直线a∥b,
∴直线a∥b∥PM,
∵∠1=45°,∠2=30°,
∴∠EPM=∠2=30°,∠FPM=∠1=45°,
∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°+45°=75°,
20.如图,AB∥CD,∠A=60°,∠C=∠E,求∠E.
解:
∵AB∥CD,∠A=60°,
∴∠DOE=∠A=60°,
又∵∠C=∠E,∠DOE=∠C+∠E,
∴∠E=
∠DOE=30°.
21.如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,∠BAC与∠DCA相等吗?
为什么?
解:
∠BAC=∠DCA,
理由:
∵∠CFE=∠2,∠2+∠1=180°,
∴∠CFE+∠1=180°,
∴DE∥BC,
∴∠AED=∠B,
∵∠B=∠3,
∴∠3=∠AEF,
∴AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
22.如图,已知EF⊥BC,∠1=∠C,∠2+∠3=180°.试说明直线AD与BC垂直.(请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由).
理由:
∵∠1=∠C,(已知)
∴ GD∥ AC ,( 同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠DAC .(两直线平行,内错角相等 )
又∵∠2+∠3=180°,(已知)
∴∠3+ ∠DAC=180°.(等量代换)
∴AD ∥EF,(同旁内角互补,两直线平行 )
∴∠ADC=∠EFC.( 两直线平行,同位角相等)
∵EF⊥BC,(已知)
∴∠EFC=90°,∴∠ADC=90°,
∴AD⊥ BC .
23.如图1,BC⊥AF于点C,∠A+∠1=90°.
(1)求证:
AB∥DE;
(2)如图2,点P从点A出发,沿线段AF运动到点F停止,连接PB,PE.则∠ABP,∠DEP,∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点P与点A,D,C重合的情况)?
并说明理由.
解:
(1)如图1,∵BC⊥AF于点C,
∴∠A+∠B=90°,
又∵∠A+∠1=90°,
∴∠B=∠1,
∴AB∥DE.
(2)如图2,当点P在A,D之间时,过P作PG∥AB,
∵AB∥DE,
∴PG∥DE,
∴∠ABP=∠GPB,∠DEP=∠GPE,
∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP;
如图所示,当点P在C,D之间时,过P作PG∥AB,
∵AB∥DE,
∴PG∥DE,
∴∠ABP=∠GPB,∠DEP=∠GPE,
∴∠BPE=∠BPG﹣∠EPG=∠ABP﹣∠DEP;
如图所示,当点P在C,F之间时,过P作PG∥AB,
∵AB∥DE,
∴PG∥DE,
∴∠ABP=∠GPB,∠DEP=∠GPE,
∴∠BPE=∠EPG﹣∠BPG=∠DEP﹣∠ABP.
24.已知:
如图,FE∥OC,AC和BD相交于点O,E是CD上一点,F是OD上一点,且∠1=∠A.
(1)求证:
AB∥DC;
(2)若∠B=30°,∠1=65°,求∠OFE的度数.
(1)证明:
∵FE∥OC,
∴∠1=∠C,
∵∠1=∠A,
∴∠A=∠C,
∴AB∥DC;
(2)解:
∵AB∥DC,
∴∠D=∠B,
∵∠B=30°
∴∠D=30°,
∵∠OFE是△DEF的外角,
∴∠OFE=∠D+∠1,
∵∠1=65°,
∴∠OFE=30°+65°=95°.
25.(2018秋•牡丹区期末)如图,AB∥DG,∠1+∠2=180°,
(1)求证:
AD∥EF;
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=150°,求∠B的度数.
证明:
(1)∵AB∥DG,
∴∠BAD=∠1,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠2+∠BAD=180°,
∴AD∥EF;
(2)∵∠1+∠2=180°,∠2=150°,
∴∠1=30°,
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠GDC=∠1=30°,
∵AB∥DG,
∴∠B=∠GDC=30°.
26.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:
AD平分∠BAC吗?
若平分,请说明理由.
平分.
证明:
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°,(垂直的定义)
∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠3,(两直线平行,内错角相等)
∠E=∠1,(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠3(已知)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
27.如图,EF∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°.
(1)问直线CD与AB有怎样的位置关系?
并说明理由;
(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.
解:
(1)CD和AB的关系为平行关系.理由如下:
∵EF∥AB,∠EFB=130°,
∴∠ABF=180°﹣130°=50°,
又∵∠CBF=20°,
∴∠ABC=70°,
∵∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC,
∴CD∥AB;
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,
∵∠CEF=70°,
∴∠ECD=110°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB,
∴∠ACB=40°.
28.如图,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,∠4=∠5,则EF也是∠AED的平分线.完成下列推理过程:
证明:
∵BD是∠ABC的平分线(已知)
∴∠1=∠2(角平分线定义)
∵ED∥BC(已知)
∴∠5=∠2( 两直线平行,内错角相等)
∴∠1=∠5(等量代换)
∵∠4=∠5(已知)
∴EF∥ BD ( 内错角相等,两直线平行)
∴∠3=∠1(两直线平行,同位角相等)
∴∠3=∠4(等量代换)
∴EF是∠AED的平分线(角平分线定义)