完整版概率论与数理统计知识点总结.docx

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完整版概率论与数理统计知识点总结

第1章随机事件及其概率

（1）随

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果

机试验

不止个，但在进行次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则

和随机

称这种试验为随机试验。

事件

试验的可能结果称为随机事件。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事

件，它具有如下性质：

①每进行次试验，必须发生且只能发生这组中的个事件；

（2）基

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

本事

这样组事件中的每个事件称为基本事件，用来表示。

件、样

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

本空间

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大

和事件

写字母A,B,C,…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，？

为不可能事件。

不可能事件（？

）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

（3）事

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B

件的关

发生）：

系与运

如果同时有AB,BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于

算

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者ab，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B冋时发生：

AB，或者AB。

AB=?

，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表示

A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分配率：

（AB）UC=（AUC）n（BUC）（AUB）AC=（AC）U（BC）

Ai入

德摩根率：

i1i1ABAB,ABAB

（4）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A）,若满足下列三个条件：

1°0WP（A）<1,

2°P（Q）=1

3。

对于两两互不相容的事件A1,A2，…有

PAiP（Ai）

i1i1

则称P（A）为事件A的概率。

（5）古

典概型

1°1,2n,

2°P

（1）P

（2）P（n）-o

设任一事件A，它是由1,2m组成的，则有

P（A）=

（1）

（2）（m）=P

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数

n基本事件总数

（6）几

何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

p（a）L（A）。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

L（）

（7）加

法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当AB不相容P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

当AB独立，P（AB）=P（A）P（B）,P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

（8）减

法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时，P（B）=1-P（B）

（9）条

件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称罟导为事件A发生

P（A）

条件下，事件B发生的条件概率，记为P（B/A）学字。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（10）

乘法公

式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A1,A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

P（A1A2…An）P（A1）P（A21A1）P（A3|A1A2）P（An|A1A2…An1）

（11）

独立性

①两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（AB）P（A）P（B）

P（B|A）二人、DAP（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和不可能事件？

与任何事件都相互独立。

与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（12）

全概公

式

设事件Bl，B2，，Bn满足

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P®）0（11,2,,n），

ABi

2°i1，

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：

将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全

概率公式；

（13）

贝叶斯

公式

设事件B1,B2，…，Bn及A满足

1°B1,B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）>0,i1,2，…，n,

ABi

2°i1P（A）0

J55

则

P（Bi/A）nP（Bi）P（A/Bi）,i=1,2，…n。

P（Bj）P（A/Bj）

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（i1,2,…，n）,通常叫先验概率。

P（Bi/A）,（i1,2，…，n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由

在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

（14）

伯努利

概型

每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用Pn（k）

表示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，

Pn（k）C：

Pkqnkk0,1,2,,n

第二章随机变量及其分布

（1）设离散型随机变量X的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，

即事件（X=Xk）的概率为P（X=xk）=pk,k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

X|x1,x2,,xk,

P（Xxk）p1,p2,,pk,。

显然分布律应满足下列条件：

pk1

（1）宀0,k1,2,,

（2）k1

（2）设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数

X，有

F（x）f（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（X）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

分布仁f（x）0

3、P（XiXX2）F（X2）F（xJf（x）dx

4、P（x=a）=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

（3）

设X

为随机变量，x是任意实数，则函数

分布

F（x）

P（Xx）

函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（a

Xb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布函

数F（x）表示随机变量落入区间（-^,X］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°

0F（x）1,x；

2°

F（x）是单调不减的函数，即刃X2时，有F（x1）F（x2）;

3°

F（）limF（x）0,F（）limF（x）1-

X7X7

4°

F（x0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°

P（Xx）F（x）F（x0）。

对于离散型随机变量，F（x）Pk；

XkX

对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。

（4）

0-1分

P（X=1）=p,P（X=0）=q

六大

布

分布

二项分

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生

布

的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,,n。

P（Xk）Pn（k）C：

pkqnk,其中q1p,0p1,k0,1,2,,n,

则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。

记为

X~B（n,p）。

当n1时，P（Xk）pkq1k,k0.1，这就是（0-1）分布，所

以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分

布

设随机变量X的分布律为

P（Xk）—e,0,k0,1,2,

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或者

P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nfg）。

均匀分

布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,

b］上为常数一，即

f（x）0：

其他,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,

b）o

分布函数为

0,x

F（x）f（x）dx'

1,x>bo

当aWX1VX2wb时，X落在区间（x1，x2）内的概率为

x2x1

P（X1XX2）———1o

指数分

布

4e,x0

f（x）门

L0,x0,

其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

正态分

布

设随机变量X的密度函数为

（x）2

f（x）

-^e2,x,

其中、

0为常数，则称随机变量X服从参数为、的

・、、…一八，、.―、夕M/2\

止态分布或咼斯（Gauss）分布，记为X~N（，丿。

f（x）具有如下性质：

1°f（x）的图形是关于X对称的；

2°当x

时，f（）为最大值；

若X~N（

）亠X的分布函数为

F（x）21

xe（吃2）2dt

参数

0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为

x~N（0，1）1，其x密度函数记为

（x）-

尹x

分布函数为x,2

（x）近

—e2dto

（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①（-X）=

1-①（x）且①（0）=-o

如果x~

N（,2）,则N（0,1）o

P（x1X

、X2X1

X2）o

（6）

下分位表：

P（x

）=；

分位

上分位表：

P（x

）=o

数

（7）

离散型

已知X的分布列为

X1,X2,,Xn,

函数

P（X

Xi）P1,P2,,Pn,'

Yg（X）

的分布列（yig（Xi）互不相等）如卜：

的分

g（x1）,g（x2）,,g（xn）,

布函

p（yyi）

若有某些

g（Xi）相等，则应将对应的Pi相加作为g（Xi）的概率。

数

连续型

先利用

X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=

P（g（x）=

Cv），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）o

第三章二维随机变量及其分布

（1）联离散型

合分布

如果二维随机向量（X,Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为（人『）（门1,2,），且事件｛=（Xi,yj）｝的概率为pij,,称

P｛（X,Y）（Xi,yj）｝Pj（i,j1,2,）

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

・・・

P11

P12

・・・

P1j

・・・

P21

P22

・・・

P2j

・・・

pi1

・・・

这里pij具有下面两个性质:

连续型

对于二维随机向量（X,Y）,如果存在非负函数

f（x,y）（x,y）,使对任意一个其邻边分别平

行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）>0;

（2）f（x,y）dxdy1.

2联合

设（X,Y）为一维随机变量，对于任意实数x,y,一元函数

分布函

F（x,y）P{Xx,Yy}

数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y

的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1,2）|X

（1）x,Y

（2）y}的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1；

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当X2>X1时，有F（X2,y）>F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）>F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）；

（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于花X2,y1y2,

P（x1

3边缘

离散型X的边缘分布为

分布

P（XXi）Pj（i,j1,2,）；

Y的边缘分布为

jP（Yyj）Pj（i,j1,2,）o

连续型

X的边缘分布密度为

fx（x）f（x,y）dy;

Y的边缘分布密度为

fy（y）f（x,y）dx.

4条件

分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

P（Yyj|Xxj_L；

Pi?

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

Pij

P（XXi|Yyj）」，

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f（x,y）f（x|y）「”；

fY（y），

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

f（x,y）f（y|x）''"

fx（x）

5独立

性

一般型

F（X,Y）=Fx（x）FY（y）

离散型

PijPi?

有零不独立

连续型

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

1可分离变量

2正概率密度区间为矩形

二维正

态分布

1X12（x!

）（y2）y2

12（1—1122

f（x,y）e,

212芒2

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1,X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，贝y：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与Y独立，贝V：

3X+1和5Y-2独立。

6二维

均匀分

布

设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

（x,y）D

f（x,y）

o,其他

其中Sd为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X,Y）〜U（D）。

图3.2

7正态

设随机向量（X,Y）的分布密度函数为

分布

1X12（xi）（y2）y2

12（12）1122

f（x,y）—

——e,

12屮

其中1，2,

10,20,||1是5个参数，则称（X,Y）服从二维正

态分布，

记为（X，

Y）〜N（1,2,12,2,）.

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍

为正态分布，

即X〜N

（1,2）,Y~N（2,；）.

但是若X〜

-N（1,12）,y~N（2,；）,（X,Y）未必是二维正态分布。

8函数

Z=X+Y

根据定义计算：

Fz（z）P（Zz）P（XYz）

的分布

对于连续型，fz（Z）=f（x,zx）dx

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,121）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Cii2c22

2ii'2ii

Z=max

若X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为

min（Xi

Fx。

），Fx2（x）Fxn（x）,贝yZ=max,min（X1,X2,…Xn）的分布

X2,…

函数为：

Xn）

Fmax（x）FxJx）?

Fx2（x）Fxn（x）

Fmin（X）1[1Fx1（X）]?

[1FxJx）][1F^X）]

第四章随机变量的数字特征

（1）一

离散型

连续型

维随机

期望

设X是离散型随机

设X是连续型随机变量，其概率密

变量的

期望就是

变量，其分布律为

度为f（x）,

数字特

平均值

P（XXk）=pk,

E（X）xf（x）dx

征

k=1,2,…,n,

E（X）XkPk

（要求绝对收敛）

函数的期

Y=g（x）

望

E（Y）g（Xk）Pk

E（Y）g（x）f（x）dx

方差

D（X）=E[

X-E（X）]2

标准差

D（X）[XkE（X）]pi

D（X）[xE（X）]2f（x）dx

（X）Jd（x）

（2）期

（1）E（C）=C

望的性

（2）E（CX）=CE（X）

质

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y）

E（CiXi）CiE（Xi）

i1i1

（4）E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

（3）方

（1）

D（C）=O;

E（C）=C

差的性

（2）

D（aX）=a2I

D（X）；

E（aX）=aE（X）

质

（3）

D（aX+b）=a

2D（X）

E（aX+b）=aE（X）+b

（4）

D（X）=E（X

2）-e2（X）

（5）

D（X土Y）=D（X）+D（Y）

，充分条件:

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）

±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件

成立。

而E（X+Y）

=E（X）+E（Y）

，无条件成立。

期望

方差

B（1,P）

P（1p）

B（n,P）

np（1P）

泊松

分布

P（）

（4）常

U（a,b）

（ba）2

见分布

指数

丄

的期望

分布

和方差

e（）

N（,）

（5）二

维随机

变量的

期望

E（X）Xi口？

E（Y）yjp?

E（X）xfx（x）dx

E（Y）yfY（y）dy

数字特

函数

E[G（X,Y）]=

征

的期

G（Xi,yj）Pj

G（x,y）f（x,y）dxdy

望

方差

D（X）[XiE（X）]Pi?

方

D（X）[xE（X）]2fx（x）dx

D（Y）[XjE（Y）]2p?

D（Y）[yE（Y）]2fY（y）dy

协方

对于随机变量X与Y

，称它们的二阶混合中心矩11为X与

差

Y的协方差或相关矩，记为xy或cov（x,Y），即

xyiiE[（XE（X））（YE（Y））].

>~i——hr~“、匚y、k>z.__/.“、r,__”.八\zx

与记号XY相对应，X

与Y的方差D（X）与D（Y）也可分

别记为XX与YY。