人教版七年级下册数学二元一次方程组教案.docx
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人教版七年级下册数学二元一次方程组教案
第八章二元一次方程组
单元备课
教学内容：
从实际问题动身，运用等式的性质解方程，归纳“加减消元”、“代入消元”、等法则，逐步呈现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，进步学生分析问题与解决问题的实力。
本教案对列方程解决实际问题的内容作了较集中的归类探讨。
1、理解二元一次方程组及有关概念与等式的根本性质；
2、娴熟驾驭二元一次方程组的解法（数字系数）并学会运用二元一次方程组解决简洁的实际问题。
〔过程与方法〕
初步树立数学建模思想与体会化归思想的运用。
〔情感、看法与价值观〕
在解决实际问题中，体会数学的应用价值，激发学习数学的欲望，进步分析问题与解决问题的实力。
课时安排
二元一次方程组…………………………………………2课时
消元…………………………4课时
实际问题与二元一次方程组…………………………8课时
三元一次方程组解法举例…………………………4课时
小测验…………………………………………4课时
合计…………………………………………22课时
单元教学反思：
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
教学目的：
1.相识二元一次方程与二元一次方程组.
2.理解二元一次方程与二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.
教学重点：
理解二元一次方程组的解的意义.
教学难点：
求二元一次方程的正整数解.
第一课时新授课
一、问题导入
篮球联赛中，每场竞赛都要分出输赢，每队胜一场得2分.负一场得1分，
某队为了争取较好的名次，想在全部22场竞赛中得到40分，那么这个队输赢场数
分别是多少？
思索：
这个问题中包含了哪些必需同时满意的条件？
设胜的场数是x，负的场
数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.
这两个条件可以用方程x＋y＝22
2x＋y＝40表示.
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x与y），并且未知数的指数都
是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
把两个方程合在一起，写成
x＋y＝22
2x＋y＝40
三、二元一次方程组的概念
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
四、典型例题：
例1
（1）方程（a＋2）x+（b-1）y=3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
（2）方程x∣a∣–1+（a-2）y=2是二元一次方程，试求a的值
例2 若方程x2m–1+5y3n–2=7是二元一次方程.求m、n的值
例3 已知下列三对值：
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（1）哪几对数值使方程
x－y＝6的左、右两边的值相等？
（2）哪几对数值是方程组 的解？
例4 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
第二课时练习课
1．写出一个解为
的二元一次方程组__________．
2．a－b=2，a－c=
，则（b－c）3－3（b－c）+
=________．
3．已知
都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______．
4．若2x5ayb+4与－x1－2by2a是同类项，则b=________．
5．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________．
6．方程组
=4的解为________．
7．已知方程组
的解一样．求（2a+b）2004的值．
8．已知x=1是关于x的一元一次方程ax－1=2（x－b）的解，y=1是关于y的一元一次方程
b（y－3）=2（1－a）的解．在y=ax2+bx－3中，求当x=－3时y值．
教学反思
8．2 消元
教学目的：
1．会用代入法解二元一次方程组.
2．初步体会解二元一次方程组的根本思想――“消元”.
4.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛
5.理解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
重点：
1、用代入消元法解二元一次方程组.2、用代入法、加减法解二元一次方程组.
难点：
1、探究如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
2、会用二元一次方程组解决实际问题
三、讲授新课
2、提出问题：
从上面的学习中体会到代入法的根本思路是什么？
主要步骤有哪些呢？
归纳:
根本思路：
“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：
将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式
表现出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一
次方程。
这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
3、把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
（1）2x－y＝3
（2）3x＋y－1＝0（3）5x-3y=x+y（4）-4x+y=-2
第二课时
教学过程
甲、乙、丙三位同学是好挚友，平常相互扶植。
甲借给乙10元钱，乙借给丙8
元钱，丙又给甲12元钱，假如允许转帐，最终甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，
欠多少？
（一）进步问题，引发探讨
①②
我们知道，对于方程组
可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发觉新的消
元方法吗？
①②
2.想一想：
联络上面的解法，想一想应怎样解方程组
分析：
这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，
从而求出未知数x的值。
解：
由①＋②得19x=11.6x=
，把x=
代入①得y=-
∴这个方程组的解为
3.加减消元法的概念
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法。
4.例题讲解
①②
用加减法解方程组
5.做一做
①②
解方程组
分析：
本题不能干脆运用加减法求解，要进展化简整理后再求解。
6.想一想
（1）加减消元法解二元一次方程组的根本思想是什么?
（2）用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
师生共析:
（1）用加减消元法解二元一次方程组的根本思路仍旧是“消元”.
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:
方程,假如某个未知数的系数互为相反数,相加,消去未知数;
未知数的系数相等,相减,消去未知数.
第二步:
不存在系数肯定值相等,选最小公倍数较小的一组系数,求出它们的最小公倍数,然后将原方程组变形,再回到第一步
第三步:
对于较困难的二元一次方程组,应先化简（去分母,去括号,合并同类项
等）,通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边
第三课时
一、创设情境,导入新课
七年级（3）班在上体育课时,进展投篮竞赛,体育老师做好记录,并统计了在规定时
间内投进n个球的人数分布状况,体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上
（如下表）.
进球数n
0
1
2
3
4
5
投进球的人数
1
2
7
●
●
2
同时,已知进球3个与3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个与4个以下
的人平均每人投进2.5个球,你能把表格中投进3个球与投进4个球对应的人数补
上吗?
用二元一次方程组,扶植体育委员把表格中的两个数字补上呢?
1.例题讲解（见P101）
分析:
假如1台大收割机与1台小收割机每小时各收割小麦x公顷与y公顷,那么
2台大收割机与5台小收割机1小时收割小麦______公顷,3台大收割机与2台小
收割机1小时收割小麦_______公顷.
解:
设1台大收割机与1台小收割机1小时各收割小麦x公顷与y公顷.根据两种
工作方式中的相等关系,得方程组
①②
去括号,得
②-①,得11x=4.4
解这个方程,得x=0.4
答:
1台大收割机与1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷与0.2公顷.
第四课时练习课
1．解方程组
（1）
2．甲、乙两人同解方程组
时，甲看错了方程①中的a，解得
，乙
看错了②中的b，
的值．
3.某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、定价各是多少元？
4．一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，假如1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？
能配成多少张方桌．
5．甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，二人接着前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的间隔．
8.3实际问题与二元一次方程组
教学目的：
1.使学生会借助二元一次方程组解决简洁的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联络与作用
重点：
1、能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；
第一，二课时新授课
一、复习
列方程解应用题的步骤是什么？
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答
4.教材106页：
探究3：
如图，长青化工厂与A、B两地有马路、铁路相连，这家工厂
从A地购置一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。
公
路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公
路运费15000元，铁路运费97200元。
这批产品的销售款比原料费与运输费的与多多
少元？
5、例：
甲运输公司确定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但如今仅有12
吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B
两市的运费分别为50元与30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费
分别为80元与40元，要求总运费为840元，问如何进展调运？
第三四课时练习课
1、某山区有23名中、小学生因贫困失学要捐助。
资助一名中学生的学习费用需
要a元，一名小学生的学习费用须要b元。
某校学生主动捐款，初中各年级学生捐款
数额与用其捐助贫困中学生与小学生的局部状况如下表：
捐款数额
（元）
捐助贫困中学生人数（名）
捐助贫困小学生人数（名）
初一年级
4000
2
4
初二年级
4200
3
3
初三年级
7400
（1）求a、b的值。
（2）初三学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将初三年级学生可捐
助的贫困中、小学生人数干脆填入上表中（不必写出计算过程）。
2、某公园的门票价格如下表所示：
购票人数
1人～50人
51～100人
100人以上
票价
10元/人
8元/人
5元/人
某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园实行游园联欢活动，其中甲班有50
多人，乙班缺乏50人。
假如以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；假如两个
班结合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。
问：
甲、乙两个班分别有多少人？
3、某所中学如今有学生4200人，支配一年后初中在样生增加8%，高中在校生增加
11%，这样全校学生将增加10%，这所学校如今的初中在校生与高中在校生人数各是
多少人？
4、有大小两辆货车，两辆大车与3辆小车一次可以支货15。
50吨，5辆大车与6辆
小车一次可以支货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
5、某工厂第一车间比第二车间人数的
少30人，假如从第二车间调出10人到第
一车间，则第一车间的人数是第二车间的
，问这两车间原有多少人？
6、某运输队送一批货物，支配20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提早
2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？
原支配每天运输多少吨？
7、某农场300名职工耕种51公顷土地，支配种植水稻、棉花、与蔬菜，已知种植
植物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备奖金如下表：
农作物品种
每公顷需劳动力
每公顷需投入奖金
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场支配在设备投入67万元，应当怎样支配这三种作物的种植面积，才能
使全部职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
问题：
题中有几个已知量？
题中求什么？
分别支配多少公顷种水稻、棉花、与蔬菜？
8.4三元一次方程组解法举例
教学目的：
1.理解三元一次方程组的概念.2.会解某个方程只有两元的简洁的三元一次方程组．
3.驾驭解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路．
教学重点：
（1）使学生会解简洁的三元一次方程组．
（2）通过本节学习，进一步体会“消元”的根本思想．
教学难点：
针对方程组的特点，敏捷运用代入法、加减法等重要方法．
教学方法指导探究，合作沟通
教学资源ppt课件
教学课时2课时
教学过程：
第一课时新授课
一、创设情景，导入新课
前面我们学习了二元一次方程组的解法，有些实际问题可以设出两个未知数，
列出二元一次方程组来求解。
事实上，有不少问题中会含有更多的未知数，
对于这样的问题，我们将如何来解决呢？
【引例】小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，
其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
提出问题：
1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关
系你能列出方程组吗？
【列表分析】（师生共同完成）
（三个量关系）每张面值×张数=钱数
1元
x
x
2元
y
2y
5元
z
5z
合计
12
22
注
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
解：
（学生叙述个人想法，老师板书）
设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张.
根据题意列方程组为：
【得出定义】（师生共同总结概括）
这个方程组有三个一样的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并
且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
二、探究三元一次方程组的解法
【解法探究】怎样解这个方程组呢？
能不能类比二元一次方程组的解法，设
法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
（绽开思路，畅所欲言）
例1.解方程组
分析1：
发觉三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.
分析2：
方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目的.
【方法归纳】根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：
有表达式，用代入法.
针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可到达消
元构成二元一次方程组的目的.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组
类型二：
缺某元，消某元.
老师提示：
当然我们还可以通过消掉未知项y来到达将“三元”转化为“二元”
目的，同学可以课下自行尝试一下.
三、课堂小结
1.解三元一次方程组的根本思路：
通过“代入”或“加减”进展消元，把“三元”
化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一
元一次方程．
即三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
2.解题要有策略，今日我们学到的策略是：
有表达式，用代入法；缺某元，
消某元.
四、布置作业
1.解方程组
你能有多少种方法求解它？
本题方法敏捷多样，有利于学生广开思路进展解法探究。
2.教材114页练习1
（1），2；习题8.4—1.
第二课时练习课
1.甲,乙两人分别从甲,乙两地同时相向动身,在甲超过中点50米处甲,乙两人第一次相遇,甲,乙到达乙,甲两地后马上返身往回走,结果甲,乙两人在距甲地100米处第二次相遇,求甲,乙两地的路程.
2.两列火车同时从相距910千米的两地相向动身,10小时后相遇,假如第一列车比第1二列车早动身4小时20分,那么在第二列火车动身8小时后相遇,求两列火车的速度.
3.某班同学去18千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最终两组同时到达北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的间隔.
4.一级学生去饭堂开会,假如每4人共坐一张长凳,则有28人没有位置坐,假如6人共坐一张长凳,求初一级学生人数及长凳数.
5.运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢与20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢与6辆汽车正好装完，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？
二元一次方程组单元学问总结
【根底学问导引】
一、二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程
2．二元一次方程的一个解
合适一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
3．方程组与方程组的解
（1）方程组由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组与二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
二、二元一次方程组的解法
1．代入法将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
2．加减法通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
【重点难点解析】
本章的重点是二元一次方程组的解法：
代入法、加减法，以及列二元一次方程组解简洁的应用题。
本章难点是列方程组解应用题。
要驾驭重点、难点，必需留意以下问题：
一、敏捷选择消元方法，到达化繁为简的目的
在解方程组之前，首先看选择哪种方法较为恰当，其次再看消去哪个未知数较为简便，采纳适当的方法与步骤是特别重要的。
用代入法的关键是将一个未知数用另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程消去这个未知数；当上述变换与代入计算量不大时，选用代入法。
假如两个方程中某一个未知数的系数成倍数关系或化为肯定值一样的系数，各自乘以的数不大，若符号一样就用减法；若符号相异就用加法。
特殊留意用减法时，减去一个数等于加上这个数的相反数。
一般来说，用代入法解二元一次方程组的步骤如下：
（1）求表示式从方程组中选一个系数比拟简洁的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如y，用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；
（2）代入消元将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
（3）解一元一次方程求出x的值；
（4）回代得解将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。
用加减法解二元一次方程组的步骤如下：
（1）变换系数即把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其肯定值相等；
（2）加减消元即把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）回代得解将求出的未知数的值代入原方程组的随意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
二、二元一次方程组解的三种状况
1．方程组无解即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，此类方程组亦称为冲突方程组。
2．方程组有惟一一组解即方程组中的两个二元一次方程有惟一公共解。
3．方程组有多数组解即方程组中的两个二元一次方程有多数个解。
三、列二元一次方程组解应用题
对于含有两个未知数的问题
利用列方程组来解，一般要比列一元一次方程解题简洁。
列方程组解应用题步骤如下：
（1）选定两个未知数；
（2）根据已知条件列出与未知数的个数数量相等的独立的方程，组成方程组；
（3）解方程组，得到方程组的解；
（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解。
【发散思维分析】
解二元一次方程组的根本思路是通过消元方法将含有两个未知数，两个方程的二元一次方程组转化为含有一个未知数的一元一次方程。
转化的方法要先把一个方程转化为用含这个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数。
而用加减法消元应留意把两个方程中的某一个未知数的系数变成一样的数（用减法），或互为相反的数（用加法），消去一个未知数，转化为一元一次方程。
因为我们已经驾驭一元一次方程的解法，故而逆向运算可求得二元一次方程组的解。
这里，消元是促进由二元（或多元）向一元转化的桥梁。
本章支配肯定数量的变形发散题，变形发散借助于有关公式、定理，法则使得原题形态不断改变，使困难的问题简洁化，隐藏的问题明朗化，抽象的问题直观化，到达化未知为已知的目的。
第八章二元一次方程组单元学问检测题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．方程2x－
=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y－2x=0，x2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．二元一次方程组
的解是（）
A．
3．关于x，y的二元一次方程组
的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值是（）
A．k=－
B．k=
C．k=
D．k=－
4．假如方程组
有唯一的一组解，那么a，b，c的值应当满意（）
A．a=1，c=1B．a≠bC．a=b=1，c≠1D．a=1，c≠1
5．方程3x+y=7的正整数解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知x，y满意方程组
，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（）
A．x+y=1B．x+y=－1C．x+y=9D．x+y=9
7．假如│x+y－1│与2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（）
A．
8．若
的解，则（a+b）·（a－b）的值为（）
A．－
B．
C．－16D．16
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．若2x2a－5b+ya－3b=0是二元一次方程，则a=______，b=______．
10．若
是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1的值是_________．
11．写出一个解为
的二元一次方程组__________．
12．a－b=2，a－c=
，则（b－c）3－3（b－c）+
=________．
13．已知
都是ax+by=7的解，则a=_______，b=______．
14．若2x5ayb+4与－x1－2by2a是同类项，则b=________．
15．方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，则m________．
16．方程组
=4的解为________．
三、解答题
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