山东省必修一数学知识点总结.docx
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山东省必修一数学知识点总结
山东省必修一数学知识点总结
【一】:
高一数学必修一知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性如：
世界上最高的山
（2）元素的互异性如：
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:
如：
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：
{…}如：
{我校的篮球队员}，{太平洋,大西
洋,印度洋,北冰洋}
（1）用拉丁字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：
列举法与描述法。
注意：
常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1）列举法：
{a,b,c……}2）描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内
表示集合的方法。
{xR|x-32},{x|x-32}3）语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:
4、集合的分类：
（1）有限集含有有限个元素的集合
（2）无限集含有无限个元素的集合
2
（3）空集不含任何元素的集合例：
{x|x=－5｝
二、集合间的基本关系1.‚包含‛关系—子集
注意：
AB有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同
一集合。
B反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AA或B
2．‚相等‛关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
2
实例：
设A={x|x-1=0}B={-1,1}‚元素相同则两集合相等‛即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记
作AB（或BA）
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
nn-1
有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集三、集合的运算
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是.
2
4.设集合A=xx2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.
7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
2
2
2
2
二、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．注意：
1．定义域：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零，
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
值的字母无关）；②定义域一致（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）2．值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.
（2）画法A、描点法：
B、图象变换法
常用变换方法有三种1）平移变换2）伸缩变换3）对称变换4．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯
一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作‚f（对应关系）：
A（原象）B（象）‛对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况．
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：
复合函数
如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A）称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
（1）增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
注意：
函数的单调性是函数的局部性质；
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）.函数单调区间与单调性的判定方法（A）定义法：
1任取x，x∈D，且xx；○
2作差f（x）－f（x）；○
3变形（通常是因式分解和配方）；○
4定号（即判断差f（x）－f（x）的正负）；○
5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．○
1
2
1
2
1
2
1
2
（B）图象法（从图象上看升降）（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：
‚同增异减‛
注意：
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○
2确定f（－x）与f（x）的关系；○
3作出相应结论：
若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，○
则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．
注意：
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，
（1）再根据定义判定;
（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1）凑配法2）待定系数法3）换元法4）消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○
2利用图象求函数的最大（小）值○
3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴y
⑵
y
【二】:
高中数学必修一知识点总结（全）
第一章集合与函数概念
课时一：
集合有关概念
1.集合的含义：
集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东
西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：
集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：
属于或不属
于。
例：
世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的
人……
（2）元素的互异性：
一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
（3）元素的无序性:
集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合
例：
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：
{…}如：
{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
（1）用大写字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
（2）集合的表示方法：
列举法与描述法。
1）列举法：
将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
2）描述法：
将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{xR|x-32},{x|x-32}
①语言描述法：
例：
{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:
画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：
（1）有限集：
含有有限个元素的集合
（2）无限集：
含有无限个元素的集合
（3）空集：
不含任何元素的集合例：
{x|x2=－5｝
5、元素与集合的关系：
（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：
aA
（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：
aA
注意：
常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R_山东省必修一数学知识点总结。
课时二、集合间的基本关系
1.‚包含‛关系—子集
（1）定义：
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有
包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：
AB（或BＡ）
注意：
AB有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
B或BA反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
2．‚相等‛关系：
A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}‚元素相同则两集合相等‛
即：
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）或若集合AB，存在xB且xA，则称集合A是集合B的真子集。
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
课时三、集合的运算
课时四：
函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使
对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对
应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫
做函数的值域．
2．函数的三要素：
定义域、值域、对应法则
3．函数的表示方法：
（1）解析法：
明确函数的定义域
（2）图想像：
确定函数图像是否连线，函数的图像可
以是连续的曲线、直线、折线、离散的点
等等。
（3）列表法：
选取的自变量要有代表性，可以反应定
义域的特征。
4、函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，
函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈
A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过
来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），
均在C上.
（2）画法
A、描点法：
B、图象变换法：
平移变换；伸缩变换；对称变换。
（3）函数图像变换的特点：
1）函数y=f（x）关于X轴对称y=-f（x）
2）函数y=f（x）关于Y轴对称y=f（-x）
3）函数y=f（x）关于原点对称y=-f（-x）
课时五：
函数的解析表达式，及函数定义域的求法
1、函数解析式子的求法
（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系
时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）、求函数的解析式的主要方法有：
1）代入法：
2）待定系数法：
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