第6页，共8页
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（二）》试卷--------------------
22．[本题7分]设函数f（x）=x2-⎰f（x）dx，求f（x）在区间[0,2]上的最大0
值与最小值.
⎧
3.[本题8分]设f（x）=⎪⎨xαsin1
x,x≠0，
⎪⎩0,x=0
试问α在什么范围时,
（1）f（x）在点x=0连续；
（2）f（x）在点x=0可导.
第7页，共8页α为实数）（
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（二）》试卷--------------------
x
04．[本题8分]若函数f（x）=
⎰（x-t）f（t）dt+ex，求f（x）.
第8页，共8页
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（二）》试卷--------------------
2006年浙江省普通高校“专升本”联考
《高等数学
（二）》试卷（A）参考答案及评
分标准
考试说明：
1.考试时间为150分钟；
2.满分为150分
3.答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；
4.密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：
（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程。
本题共
有8小题，每小题5分，共40分。
）
⎧sin4x+e-3ax-1,x≠0⎪1.若f（x）=⎨在x=0连续，则x⎪ax=0⎩
a=⎧x=1+t2
2.曲线⎨在t=2处的切线方程为y=3x-7.3⎩y=t
3.设函数y=（2x+1）
2sinx，则其导数为y'=（2x+1）sinx[cosxln（2x+1）+2sinx].2x+14.⎰-2（1+xcosx）dx＝4.
5.设y=cos（sinx），则dy=-cosxsin（sinx）dx.
6.
曲线y=与直线x=1，x=3及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周，
所得旋转体体积为π（3ln3-2）.
7.微分方程y''-4y'+5y=0的通解为y=e（C1cosx+C2sinx）.
8.若级数2x∑nα
n=1∞13-1收敛，则α的取值范围是α>2.3
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（二）》试卷--------------------
二、选择题：
（本题5个小题，每小题4分，共20分.每小题给出的4个选项中，
只有一项符合要求.）
xarctanx=（B）.x→-∞x+1
ππ（A）（B）-（C）1（D）不存在221．lim
2.当x→0时，f（x）=x-sinx是比x的（A）.
（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低
阶无穷小
3.
级数2为（B）.n=∞
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法判
断
4.曲线y=x与直线y=1所围成的图形的面积是（C）.（A）2234（B）（C）343
（D）
5.广义积分1⎰+∞
0xdx为（D）.3（1+x）
（A）
-1（B）0（C）-11（D）22
三、计算题：
（计算题必须写出必要的解题过程，只写答案的不给分.本题
共10个小题，每小题6分，共60分）.
2.⎰计算极限limx→0
x
0x0tantdtx2.⎰解：
limx→0tantdtx2＝limtanx（5分）x→02x
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（二）》试卷--------------------＝
1（6分）2
2．计算函数
y=x的导数y'.解1：
两边取对数，得
lny=2lnx+
两边求导数
11ln（1+x）-ln（1-x）（1分）22y'211（4分）=+yx2（1+x）2-（1x）
1⎫⎛2+2⎪⎝x1-x⎭
21⎫+（6分）2⎪x1-x⎭
lnxy'=y
＝x解2：
由于y=e=e12lnx+[ln（1+x）-ln（1-x）]2，所以
y'=e12lnx++x）-ln（1-x）]21⎫⎤⎡21⎛1++⎢x21+x1-x⎪⎥（4分）⎝⎭⎦⎣
＝x21⎫+⎪（6分）x1-x2⎭
y3计算由隐函数e=xlny确定的函数y=f（x）的微分dy.
解：
方程两边关于x求导数，把y看成x的函数.
y'e=lny+yxy'（3分）y
解得y'=ylny（4分）yye-x
ylnydx（6分）yey-x所以函数y=f（x）的微分dy=
∞
5.
判别正项级数n=1+1）的敛散性.n2
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（二）》试卷--------------------解1：
由于ln（1+1111，所以（3分））<
a=+）<=n32222nnnnn2
∞
已知级数∑1
3（p=32>1）收敛（5分）
n=1n2
∞
由比较判别法知级数
+1
n=1n2）收敛.（6分）
+1
解2：
取bn=
13，lima2）ln（1+1）
n→∞b=lim=lim2
n2nn→∞1n→∞1＝1
n2n2
分）
∞
因为级数∑1
3收敛（5分）
n=1n2
∞
所以原级数+1
n=1n2）收敛。
（6分）
5.计算不定积分
解1：
⎰
2（4分）
＝+C（6分）
解2：
设
t=x=t2，dx=2tdt，于是
⎰2tdt
⎰t（1+t2）（4分）
=2⎰dt
1+t2
=2arctant+C（5分）
=+C（6分）
6.求幂级数∑∞
3nx2n的收敛半径与收敛区间.
n=0
解：
当x≠0时，limu+1n+1）
n+1
n→∞u=lim3nx2（
n2n=3x2（2分）
nn→∞3x
第12页，共8页4（
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（二）》试卷--------------------
所以当3x<
1，即|x|<时，幂级数2∑3
n=0∞nx2n收敛；当3x2>1，
即|x|>时，幂级数分）所以幂级数的收敛半径R=∑3nx2n发散，
n=0∞（3由于
x=时，级数∑3
n=0∞nx成为2nn=0∑1发散。
（5分）∞
因此幂级数收敛区间为
（（6分）11.计算定积分⎰π
0xsin2xdx
2解：
由于公式sinx=
π2＝xsinxdx1（1-cos2x），所以21πx（1-cos2x）dx（2分）⎰⎰002
1π1π1π＝⎰（x-xcos2x）dx=⎰xdx-⎰xcos2xdx202020
x21π-⎰xdsin2x（3分）＝4040
xsin2x1π-+sin2xdx（5分）＝04⎰044π2
＝π2π1-cos2x048
（6分）＝π2
4
dyx（1+y2）=12.计算微分方程满足初始条件y（0）=1的特解.dxy（1+x2）
解：
分离变量得ydyxdx=（2分）1+y21+x2
两边积分ydyxdx=⎰1+y2⎰1+x21d（1+y2）1d（1+x2）=⎰于是有⎰2221+y21+x
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（二）》试卷--------------------即111ln（1+y2）=ln（1+x2）+C（4分）222
22或ln（1+y）=ln（1+x）+C
将初始条件y（0）=1代入得C=ln2（5分）
所求特解是y=2x+1（6分）
13.计算函数y=sin（lnx）的二阶导数y''.22
cos（lnx）（3分）x
-sin（lnx）-cos（lnx）sin（lnx）+cos（lnx）y''=（6分）=-x2x2解：
y'=
14.将函数y=lnx展成（x-1）的幂级数并指出收敛区间.
解：
因为y=lnx=ln[1+（x-1）]（1分）
nx2x3
n-1x根据幂级数展开式ln（1+x）=x-+++（-1）+，23n
-1于是
n（x-1）2（x-1）3
n-1（x-1）lnx=（x-1）-+++（-1）+（5分）23n
收敛区间是x∈（0,2]（6分）
四、综合题（本题4个小题，共30分）
1.[本题7分]设0nn-1bn-an<设f（x）=x,n≥2，（2分）
则f（x）在闭区间[a,b]上满足Lagrange定理条件，
于是存在一点ξ∈（a,b），使f（b）-f（a）=f'（ξ）（3分）b-a
bn-an
=nξn-1（4分）即b-a
因为n≥2且a<ξ第14页，共8页
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（二）》试卷--------------------因此nan-1bn-anbn-an
n-1n-12．[本题7分]设函数f（x）=x2-
值与最小值.
解：
由于定积分⎰20f（x）dx，求f（x）在区间[0,2]上的最大2⎰2
0f（x）dx是一确定的实数，设⎰f（x）dx=k（1分）0
对f（x）的等式两边积分有
⎰2
0f（x）dx=⎰x2dx-⎰kdx0022
于是k=⎰2
0f（x）dx=
898-2k（2分）3由上式解得k=8f（x）=x2-（3分）9
令f'（x）=2x=0得驻点x=0（4分）
当x∈（0,2）时，恒有f'（x）>0，表明f（x）在区间（0,2）内严格增加，（5分）
8是函数f（x）在[0,2]的最小值（6分）9
28f
（2）=是函数f（x）在[0,2]的最大值.（7分）9所以f（0）=-
1⎧αxsin,x≠0⎪3．3.[本题8分]设f（x）=⎨，（α为实数）试问α在什么范x
⎪x=0⎩0,
围时
（1）f（x）在点x=0连续；
（2）f（x）在点x=0可导.
解：
（1）当α>0时，x是x→0时的无穷小量，而sin
分）
所以当α>0时，limf（x）=limxsinx→0x→0α1是有界变量，（2xα1=0=f（0）（3分）x
即当α>0时，f（x）在点x=0连续。
（4分）
（2）当α>1时，由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量，得第15页，共8页
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（二）》试卷--------------------
f（x）-f（0）=limx→0x→0xx
1＝limxα-1sin=0（7分）x→0xf'（0）=lim
所以当α>1时，f（x）在点x=0可导.（8分）
4．[本题8分]若函数f（x）=
解：
f（x）=xxαsin1（6分）⎰x0（x-t）f（t）dt+ex，求f（x）.⎰x
0f（t）dt-⎰tf（t）dt+ex0
xx上式两边关于x求导数f'（x）=⎰f（t）dt+xf（x）-xf（x）+e，f'（x）=⎰f（t）dt+ex（1分）0xx0
f''（x）=f（x）+ex（2分）
记y=f（x），则上式是二阶常系数非齐次微分方程，即y''-y=e（I）x
y''-y=0的通解是y*=C1ex+C2e-x，C1,C2为任意常数。
（3分）
2y=axe是方程由于λ=1是y''-y=0的特征方程r-1=0的单根，所以设x
（I）的一个特解，
y=aex+axex与y=2aex+axex于是有'''
1（4分）2
1xx-x于是方程（I）的通解为y=C1e+C2e+xe，（II）2将它们代入方程（I）得a=
这里C1,C2为任意常数.
从已知条件可求得，f（0）=1，f'（0）=1并代入方程（II）（5分）⎧f（0）=C1+C2=1⎪得⎨1'f（0）=C-C+=112⎪⎩2
解得C1=31,C2=（7分）44
3x1-x1x所求函数f（x）=e+e+xe（8分）442
第16页，共8页
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