圆柱和圆锥知识点和题型doc资料.docx

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圆柱和圆锥知识点和题型doc资料

圆柱和圆锥知识点和题型

圆柱、圆锥基本知识点

1、圆的周长：

C=πd=2πr

2、圆的面积：

S=πr2

3、圆柱的侧面积：

把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形（或正方形），长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。

S侧=Ch=πdh=2πrh

逆推公式有：

C=S侧÷hh=S侧÷C4、圆柱的表面积：

S表=S侧+2S底

4、圆柱的体积：

V柱=Sh=πr2h逆推公式有：

S=V柱÷hh=V柱÷S5、圆锥的体积：

V锥=31Sh

逆推公式有：

S=V锥×3÷hh=V锥×3÷S

6、等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的3倍。

等底等高的情况下，圆锥体积是圆柱体积的1/3等底等高的情况下，圆锥体积比圆柱体积少2/3等底等高的情况下，圆柱体积比圆锥体积多2倍

7、等体积等高的圆柱和圆锥，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍；

等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍。

8、圆柱的横切：

切成n段，需要n-1次，增加2×（n-1）个底面积

9、圆柱的纵切：

切1次，增加2个长方形，长方形的长是底面的直径，宽是圆柱的高

10、圆锥的纵切：

切1次，增加2个三角形，三角形的底是圆锥的直径，三角形的高是圆锥的高

11、把一个正方体削成一个最大的圆柱（或圆锥），正方体的棱长就是圆柱（或圆锥）的底面直径和高。

12、①熔铸（或铸成），体积不变。

②注水问题：

上升的（或下降）的水的体积等于放入的的物体的体积。

（完全浸没）

13、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明底面周长和高的比是1∶1，半径和高的比是1∶2π，直径和高的比是1∶π

14、当侧面积一定时，越是细、长的圆柱体积越小，越是粗、矮的圆柱体积越大。

15、特殊的π值1.52π=7.0652.52π=19.625

16、圆柱：

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。

2其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。

17、圆柱的体积：

圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。

设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：

V=πr2h；如S为底面积，高为h，体积为V：

V=Sh圆柱的体积跟长方体、正方体一样，都是底面积×高圆柱体积=底面积×高V柱＝Sh=πr2h

圆柱的高=体积÷底面积h=V柱÷S=V柱÷（πr2）圆柱的底面积=体积÷高S=V柱÷h圆柱的侧面积：

圆柱的侧面积=底面的周长*高，S侧=Ch（注：

c为πd）圆柱的两个圆面叫做底面（又分上底和下底）；圆柱有一个曲面，叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高（高有无数条）。

特征：

圆柱的底面都是圆，并且大小一样。

18、圆柱的切割：

a.横切：

切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr2b.竖切（过直径）：

切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh注：

圆柱高增加减少，圆柱表面积增加减少的只是侧面积。

19、考试常见题型：

a.已知圆柱的底面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长

b.已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积

c.已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积

d.已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，

e.已知圆柱的侧面积和高，求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

20、常见的圆柱解决问题：

①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积）；

②、压路机压过路面长度（求底面周长）；

③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；

④鱼缸、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；

5、求钢管的体积：

V钢管=（πR2﹣πr2）×h

20、圆锥立体几何定义：

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

该直角边叫圆锥的轴。

1、圆锥的体积：

一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。

根据圆柱体积公式V=Sh（V=πr2h），得出圆锥体积公式：

V=1/3ShS是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

圆锥的高=圆锥体积×3÷底面积h=3V锥÷S=3V锥÷（πr2）

圆锥的底面积=圆锥体积×3÷高S=3V锥÷h

圆锥体展开图的绘制：

圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。

（如右图）在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a（母线长）和d（底面直径）

圆锥的切割：

a.横切：

切面是圆

b.竖切（过顶点和直径直径）：

切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，表面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2Rh

考试常见题型：

a已知圆锥的底面积和高，求体积

b已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积

c已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积

以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计算。

生活中的圆锥：

生活中经常出现的圆锥有：

沙堆、漏斗、帽子。

圆锥在日常生活中也是不可或缺的。

圆柱和圆锥的关系:

1．圆柱的特征：

一个侧面、两个底面、无数条高且侧面沿高展开图是长形或正方形。

2．圆锥的特征：

一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高且侧面展开图是扇形。

3、圆柱与圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥的3倍。

4、圆柱与圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

5、圆柱与圆锥等高等体积时，圆锥的底面积（注意：

是底面积而不是底面半径）是圆柱的3倍。

6、圆柱体积比等底等高圆锥体积多2倍圆锥体积比等底等高圆柱体积少2/3

（1）等底等高：

V锥:

V柱＝1:

3

（2）等底等体积：

h锥:

h柱＝3:

1

（3）等高等体积：

S锥:

S柱＝3:

1

题型总结:

1.高不变半径扩大缩小n倍，直径、底面周长、侧面积扩大缩小n倍，底面积、体积扩大缩小n2倍。

2.半径不变高扩大缩小n倍，侧面积、体积扩大缩小n倍

3.削成最大体积的问题：

正方体里削出最大的圆柱圆锥圆柱圆锥的高和底面直径等于正方体棱长

长方体里削出最大的圆柱圆锥圆柱圆锥底面直径等于宽（宽﹥高）圆柱圆锥高等于长方体高；圆柱圆锥底面直径等于高（高﹥宽）圆柱圆锥高等于长方体宽

4.浸水体积问题：

水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升的高度。

5.等体积转换问题：

一圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的问题，注意不要乘以1/3。

一、圆柱、圆锥常考知识点一

圆柱的表面积

1、切割、拼接表面积增加、减少问题。

例：

一个圆柱高15分米，底面积是3.14平方分米，把它截成两个同样的小圆柱后，表面积比原来增加了（  ）平方分米。

注：

这是切割表面积增加问题，而且是切成两个小圆柱，切一次（两个小圆柱），表面积增加两个底面圆的面积。

1、沿直径切，增加的是（长是圆柱的高，宽是圆柱的直径）这样的长方形。

  例：

一个圆柱沿底面的一条直径纵切后，可以得到一个边长6厘米的正方形截面，这个圆柱的体积是（  ）

2、切的次数变化，切一次增加两个面

例：

一个长是120厘米的圆柱，把它截成9个小圆柱所得的表面积总和，比截成6个小圆柱所得的表面积总和多180平方厘米，原来的圆柱的体积是多少？

 3、扩展到正方体、长方体。

  例1：

把一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木块锯成两个小长方体，表面积至少增加（  ）平方厘米，至多增加（  ）平方厘米。

例2：

一个长2米的长方体钢材截成三段，表面积比原来增加2.4平方分米，这根钢材原来的体积是（    ）

2、高增加减少，表面积增加减少问题。

有一个圆柱体，如果把高增加2厘米后，表面积增加了50.24平方厘米，原圆柱体的底面积是（  ）

注：

高增加，圆柱表面积增加的只是侧面积。

解析：

根据题目条件可先求出底面周长，然后再求半径，最后可以求出底面积。

变形题目：

一个长方体，如果长减少2厘米，就成为一个正方体，这时，正方体的表面积是96平方厘米，原来长方体的体积是（  ）

3、把一个直径是2分米的圆柱体的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆柱切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面比原来圆柱体表面积增加7平方分米，这个长方体的体积是（  ）立方分米。

注：

表面积增加的是两个（长为圆柱半径，宽为圆柱高）这样的长方形。

4、实际问题求表面积

  例：

一根2米长的通风管，横截面是直径为2分米的圆，制作这个通风管至少需要铁皮多少平方分米？

注：

没有底面

归纳：

无底面：

通风管、烟囱、教学楼里的支撑柱、出水管有一个底面：

鱼缸、厨师帽

提高题：

一个钢管，长30厘米，内直径8厘米，外直径10厘米，求它的表面积。

5、难点题：

表面积最大，做一个圆柱省料问题

  例1、用一个长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米的长方体做一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积最大是多少？

如果让圆柱的表面积最大，那么最大是多少？

  例2、用宽4米，长8.28米的厚铁皮做一个带盖的油桶，要求尽量少浪费材料又要把油桶做大些并把油桶涂上漆，计算油桶油漆

二、圆柱、圆锥常考知识点二

圆柱、圆锥的体积

1、比例关系

例：

一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等，它们的高的比是5：

6，它们的体积比是（）

注：

列表法，圆锥的体积不要忘乘1/3

2、圆柱、圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；

  圆柱、圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍；

  圆柱、圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

例：

1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米，圆柱的体积是（）立方厘米；圆锥的体积是（  ）立方厘米。

  2、一个圆柱形容器与一个圆锥形的容器底面积相等，将圆锥形容器装满水后全部倒入空圆柱形容器内，这时水深6厘米，圆锥形容器的高是（）厘米。

3、等体积变换

  例：

一个底面半径8厘米，高20厘米的圆柱形铁块，现在要把它铸成一个底面与圆柱相同的圆锥。

这个圆锥的高是（）厘米  注：

不要忘乘3

4、上升（下降）的水的体积=浸没物体的体积

  例：

在一个圆柱体容器中，放入一个半径是10cm的圆钢，若把它全部浸没在水里，水面就上升0.8cm，若让它露出水面3cm，水面就下降0.3cm，求这段圆钢的体积。

一、常见直接运用公式解题的题型：

1、一根圆木底面的直径和高都是3分米，这个圆柱体的体积是_______。

2、量得一个圆柱体饮料罐底面半径是3厘米，高是半径的4倍，这个饮料罐的底面积是_____，侧面积是_______，表面积是_________，体积是________。

3、用铁皮做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是12.56分米，高6分米。

（1）做这个水桶至少需要多少平方分米铁皮？

（得数保留整数）

（2）这个水桶最多可以盛水多少千克？

（每升水重1千克）

4、一根长2米的圆柱形木材，把它锯成2个小圆柱后，表面积比原来增加25.12平方厘米。

这根木材原来的体积是_______立方厘米。

二、通过变化一些条件，增加解题难度的题型：

1、一个圆柱的体积是75.36立方厘米。

它的底面直径是4厘米，这个圆柱的高是_______。

2、有两个高相等的圆柱，第一个圆柱的底面半径和第二个底面半径的比是2：

3。

第一个圆柱的体积是16立方厘米，第二个圆柱的体积是（）立方厘米。

3、如果圆柱体的侧面展开是一个边长为3.14分米的正方形，圆柱的高是______，底面积是_______。

4．一个圆柱形油桶装了半桶汽油，把油桶里的汽油倒出40％，还剩270升．油桶中原有汽油（）；如果油桶底面积有45平方分米，则油桶的高是（）

难点突破：

现实中的实际问题

1、某建筑物有几根大圆柱要油漆。

圆柱的底面周长2.5米，高5.2米。

按1千克油漆可漆5平方米计算，漆一根大圆柱要用多少千克油漆？

2、将一个底面直径是20厘米，高为10厘米的金属圆柱体，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？

3、一根圆柱形钢材，截下1米，量得它的横截面的半径是10厘米，截下的体积占这根钢材的

，这根钢材原来的体积是多少立方分米？