奥数四年级行程问题之欧阳术创编.docx

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奥数四年级行程问题之欧阳术创编

第三部分行程问题

时间：

2021.02.02

创作：

欧阳术

第一讲行程基础

【专题知识点概述】

行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。

行程问题包括：

相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。

行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：

距离

速度

时间，时间

距离

速度，速度

距离

时间。

在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。

掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。

在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。

一、行程基本量

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：

（1）速度×时间=路程可简记为：

s=vt

（2）路程÷速度=时间可简记为：

t=s÷v

（3）路程÷时间=速度可简记为：

v=s÷t

显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

二、平均速度

平均速度的基本关系式为：

平均速度

总路程

总时间；

总时间

总路程

平均速度；

总路程

平均速度

总时间。

【重点难点解析】

1.行程三要素之间的关系

2．平均速度的概念

3．注意观察运动过程中的不变量

【竞赛考点挖掘】

1.注意观察运动过程中的不变量

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?

【分析与解】

法一：

先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。

①邮递员到达对面山里需时间：

12÷4+8÷5=4.6（小时）;②邮递员返回到邮局共用时间：

8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0（小时）③邮递员回到邮局时的时刻是：

7+10-12=5（时）.邮递员是下午5时回到邮局的。

法二：

从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：

（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10（小时），邮递员是下午7+10-12=5（时）回到邮局的。

．

【例2】（难度等级※）

甲、乙两地相距100千米。

下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？

.

【分析与解】

马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6（小时）。

依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25（千米）．

【例3】（难度等级※※）

小明每天早晨6：

50从家出发，7：

20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6：

50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：

小明家到学校多远？

（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）

【分析与解】

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。

这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。

总路程就是=100×30=3000米。

【例4】（难度等级※）

韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？

【分析与解】

原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：

480÷20=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为：

480÷40=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．

【例5】（难度等级※※）

王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【分析与解】

假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．

【例6】（难度等级※※）

刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

【分析与解】

这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.

假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是

20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为

60÷（12-7）=12（千米/时）．

【例7】（难度等级※※※）

小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

【分析与解】

上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.

【例8】（难度等级※※※）

老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？

【分析与解】

设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：

（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）．

【例9】（难度等级※※※）

汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。

求该车的平均速度。

【分析与解】

想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。

在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。

①把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：

1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时。

②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？

在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72，48]=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=144×2÷（144÷72+144÷48）=57.6千米/时。

【例10】（难度等级※※）

如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?

【分析与解】

从A到B的时间为：

12÷6=2（小时），从B到C的时间为：

8÷4=2（小时），从C到D的时间为：

4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：

2+2+2=6（小时），总路程为：

12+8+4=24（千米），那么从A到D的平均速度为：

24÷6=4（千米/时）．

【例11】（难度等级※※）

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。

某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为

米/秒、

米/秒和

米/秒，求他过桥的平均速度。

【分析与解】

假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：

24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的平均速度为（米/秒）．

【例12】（难度等级※※※）

汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？

【分析与解】

假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）．

【例13】（难度等级※※※）

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度..

【分析与解】

假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）

【例14】（难度等级※※※）

一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

【分析与解】

假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=

（厘米/分钟）.

【例15】（难度等级※※※）

甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【分析与解】

全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟．

第二讲相遇与追及

【专题知识点概述】

在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！

在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.

一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

=速度和×相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：

速度和×相遇时间=路程和，即

二、追及

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间

=（甲的速度-乙的速度）×追及时间

=速度差×追及时间.

一般地，追击问题有这样的数量关系：

追及路程=速度差×追及时间，即

【重点难点解析】

1．直线上的相遇与追及

2．环线上的相遇与追及

【竞赛考点挖掘】

1.多人多次相遇与追及

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。

3.5小时两车相遇。

甲、乙两个城市的路程是多少千米？

【分析与解】

（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

【例2】（难度等级※）

两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。

甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？

【分析与解】

255÷（45+40）=255÷85=3（小时）。

45×3=135（千米）。

40×3=120（千米）。

．

【例3】（难度等级※※）

两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

【分析与解】

[3300-（82+83）×15]÷（82+83）

=[3300-165×15]÷165

=[3300-2475]÷165

=825÷165

=5（分钟）

【例4】（难度等级※）

甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：

乙经过多长时间能追上甲？

【分析与解】

出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.

10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时）．

【例5】（难度等级※※）

]南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

．

【分析与解】

两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

【例6】（难度等级※※）

军事演习中，“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?

【分析与解】

“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰．

【例7】（难度等级※※※）

小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？

【分析与解】

小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：

小蓝的速度为：

20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：

6+4=10（米/秒）

【例8】（难度等级※※※）

小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？

【分析与解】

爸爸要追及的路程：

70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：

280-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：

840÷210=4（分钟）．

【例9】（难度等级※※※）

上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【分析与解】

画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.

这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.

少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.

8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

【例10】（难度等级※※）

甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。

两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。

求A，B两地的距离。

【分析与解】

相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．

【例11】（难度等级※※）

小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。

小红和小强的家相距多远?

【分析与解】

因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。

由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．

【例12】（难度等级※※※）

甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：

甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地?

【分析与解】

由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。

因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．

【例13】（难度等级※※※）

甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.

【分析与解】

若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：

（26-6）=20（分）。

同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。

50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）

（80+50）×6＝130×6=780（米）

【例14】（难度等级※※※）

小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？

【分析与解】

画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？

）

离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米

小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）＝2（小时）.

因此，甲、乙两地的距离是（5＋4）×2＝18（千米）.

【例15】（难度等级※※※）

甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【分析与解】

画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：

95×3-25=285-25=260（千米）．

第三讲行程之流水行船

【专题知识点概述】

通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。

但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响.

一、基本概念

顺水速度=船速+水速，

逆水速度=船速-水速.

（其中

为船在静水中的速度，

为水流的速度）

由上可得：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.

二、流水行船中的相遇与追及

（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.

这是因为：

甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.

这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.

（2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.

这是因为：

甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.

也有：

甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.

这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答

【重点难点解析】

1掌握流水行船的基本概念

2掌握流水行船中的相遇与追及

【竞赛考点挖掘】

1流水行船中的相遇与追及

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：

这两个港口之间的距离?

【分析与解】

（船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：

（22+6）×4=112千米．

【例2】（难度等级※）

两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。

【分析与解】

（352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）．

【例3】（难度等级※）

甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往