大地测量坐标系统及其转换精.docx
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大地测量坐标系统及其转换精
大地测量坐标系统及其转换
基本坐标系
1、大地坐标系
坐标表示形式:
（,
LBH
大地经度L:
地面一点P地的大地子午面NPS与起始大地子午面所构成的二面角;大地纬度B:
P地点对椭球面的法线PPK地与赤道面所夹的锐角;大地高H:
P地点沿法线到椭球面的距离。
赤道面
S
W
2、空间直角坐标系
坐标表示形式:
（,,X
YZ
以椭球中心O为坐标原点,起始子午面NGS与赤道面的交线为X轴,椭球的短轴为Z轴（向北为正,在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴,构成右手直角坐标系OXYZ。
YW
3、子午平面坐标系
坐标表示形式:
（,,
Lxy
设P点的大地经度为L,在过P点的子午面上,以椭圆的中心为原点,建立x、y平
面直角坐标系。
则点P的位置用（,,
Lxy表示。
x
坐标表示形式:
（,,LuH
设椭球面上的点P的大地经度为L。
在此子午面,以椭球中心O为圆心,以椭球长半径a为半径,做一个辅助圆。
过P点做一纵轴的平行线,交横轴于1P点,交辅助圆于2P点,连结2P、O点,则21POP称为P点的归化纬度,用u来表示。
P点的位置用（,Lu表示。
当P点不在椭球面上时,则应将P沿法线投影到椭球面上,得到点0P,0PP即为P点的大地高,0P点的归化纬度,就是P点的归化纬度。
P点的位置用（,,LuH表示。
x
y
Pu
点在椭球面上时的
Pu
点不在椭球面上时的x
坐标表示形式:
（,,
Lφρ
设P点的大地经度为L,连结OP,则POxφ∠=,称为球心纬度,OPρ=,称为P点的向径。
P点的位置用（,,Lφρ表示。
x
6、大地极坐标系
坐标表示形式:
（,SA
以椭球面上某点0P为极点,以0P的子午线为极轴,从0P出发,作一族A=常数的大地线和S=常数的大地圆。
它们构成相互正交的坐标系曲线,即椭球面上的大地极坐标系,简称地极坐标系。
在大地极坐标系中,点的位置用（,SA来表示。
PA=常数
S=常数
坐标表示形式:
1（,,PXYZ-
以地面测站1P为原点,建立1PXYZ-坐标系,它的三个坐标轴与空间大地直角坐标系
OXYZ-的三个坐标轴平行。
两个坐标系之间是一种简单的平移关系。
X
Y
8、站心赤道极坐标系
坐标表示形式:
1
（,,PDL-Φ
D:
距离;L:
经方向角;
Φ:
纬方向角;
X
坐标表示形式:
1（,,Pxyz-
站心地平直角坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系。
通常有三种不同的定义形式:
1、站心左手地平直角坐标系
以测站1P为坐标原点,以1P点的法线方向为z轴（指向天顶为正,以子午线方向为x轴（向北为正,y轴与x、z轴垂直构成左手系（东向为正。
2、站心右手地平直角坐标系（z轴向上
3、站心右手地平直角坐标系（z轴向下
天顶
东
x（北
z（天底
（东
东
站心左手地平直角坐标系
站心右手地平直角坐标系
站心右手地平直角坐标系
（z轴向上
（z轴向下
10、站心地平极坐标系坐标表示形式:
（,,PDAZ-
在站心地平直角坐标系（左手系（,,PXYZ-中,任意点2P的位置可以用距离D、大地方位角A（从测站北方向顺时针量取、大地天顶距Z来表示。
则1PDAZ-就构成了站心地平极坐标系。
东
X（P
坐标系基本转换
一、坐标系转换的基本形式:
平移变换
newoldrrr=+
newoldXnew
new
old
old
Y
new
old
Z
XXTrYrYrTZZT⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
newoldXnewoldYnew
oldZ
XXTYYTZZT⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（
newoldXX（
newoldY（
newoldZZ
尺度比例因子
newold
old
SSmS-=
（1newoldnewoldnewold
XXYmYZZ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
二维坐标系
sincoscossinsincoscossinTTSSSSxoBoEEBoEPFyoDEFECCFoCPCoCPCyxyxαααααα
αα
==+=+===-=+=-=+=-
cossincossinsincossincosTSSTSSTS
xxyxxyxyyyαααααααα=+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⎨
⎪
⎪⎪=-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩当旋转方向相反时（逆时针旋转时
cos（sin（sin（cos（cos（sin（sin（
cos（TSSTSSTS
xxyyxyxxyyαααααααα=-+-⎧⎨
=--+-⎩--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⎪⎪⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三维坐标系
new
Xold
Xnew
new
Z
旋转矩阵:
对右手系逆时针旋转,对左手系顺时针旋转,
否则需要改变旋转角度的符号。
123100
（0
cossin0sincoscos0sin（0
10
sin0
coscossin0（sincos000
1XXX
X
XY
YYYYZ
ZZZ
Z
RRRωωωωωωωωω
ωωωωωω⎛⎫
⎪
=⎪
⎪-⎝
⎭-⎛⎫
⎪=
⎪
⎪⎝⎭⎛⎫
⎪=-⎪⎪⎝
⎭
321（（（new
oldnewZYXoldnew
old
XXYRRRYZZωωω⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪=⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎝⎭
当XYZωωω、、均为小角度时,将cosω、sinω分别展开成泰勒级数,仅保留其一阶项,则有:
cos1
sinωωω≈≈,舍弃二阶小量,则有:
3211（（（11Z
YZYXZ
X
Y
X
RRRωωωωωωωωω-⎛⎫
⎪=-⎪⎪-⎝⎭
当XYZωωω、、均为小角度时,不论三个旋转矩阵的次序如何交换,都能够得到上面的结果。
反向矩阵:
为了使用上的方便,有一些坐标系统定义为左手空间直角坐标系。
为此,在右手空间直角坐标系和左手空间直角坐标系的变换中,需要改变坐标轴的指向,这个可以通过反向矩阵
来完成。
1231001
001
000
100
100
1000
100
100
1PPP-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪==-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
利用123PPP、、三个反向矩阵,可以分别改变XYZ、、轴的指向。
旋转矩阵1
23
RRR和反向矩阵123
PPP均为正交矩阵
有下列性质:
1
1111
2221
333（（（（（（（（（
T
XXXT
YYYT
ZZZRRRRRRRRRωωωωωωωωω---==-==-==-
1
111
123321321321[（（（]
（（（
（（（（（（
XYZZYXT
T
T
ZYXZYXRRRRRRRRRRRRωωωωωωωωωωωω----===---
1
1
122
3
3
PPPPPP-==-1
-1
=
基本坐标系间的转换
1、子午平面坐标系与大地坐标系之间的关系:
（（（
（
（2222
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
tan90cot1
1tan1tan1
coscos1sin1sincos（1sinsindyBB
dx
xydybxa
b
dx
a
y
yxeB
x
eB
xa
b
aBaBxWaeBayeBWPnN
xNBaNyNeBW
yPQB
PQ=+=-+
==-
=--+=⎧
==⎪⎪
⎨-⎪==-⎪⎩
===
=-==
由图可得故而有
即有
可得
如果令则由图可得又由图可得故而
2
2
（1
NeQnNe
-=
2、空间直角坐标系与子午平面坐标系的关系:
由图易知:
cossinXxLYxLZy=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
3、空间直角坐标系与大地坐标系之间的关系:
点位描述参见上述两个图（以子午平面坐标系作为二者之间的过渡坐标系当P点位于椭球面上的时候,易得:
2coscoscossincossin（1sinXxLNBLYxLNBLZyNeB==⎧⎪
==⎨⎪==-⎩
当P点不在椭球面上时,设其大地高为H,图示如下
（（0022coscoscoscoscossincossin（1sinsincoscoscossin（1sinHn
NBLBLNBL
nBL
NeBBXNHBLY
NHBLZNeHBρρρρ=+⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪-⎝
⎭
⎝⎭
⎛⎫
+⎛⎫⎪⎪==+⎪⎪
⎪⎪⎪⎡⎤-+⎝
⎭⎣
⎦⎝⎭
由上图可知考虑矢量有
==故而有
4、子午平面坐标系与归化纬度坐标系的关系:
x
y
Pu
点在椭球面上时的
由上图可以看出:
cosxau=
带入椭圆方程
222
2
1x
ya
b
+
=
得到
sinybu
=
故而:
cossinxau
ybu
=⎧⎨=⎩
归化纬度坐标系也是作为一种过渡坐标系而出现的
5、子午平面坐标系与球心纬度坐标系之间的关系:
x
易知:
cossinxyρφρφ
=⎧⎨=⎩,带入椭圆方程22
221xya
b+=
则有:
ρ=
故而:
xyφ
φ⎧=
⎪⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎪⎩
6、大地纬度B、归化纬度u、球心纬度φ之间的关系:
6.1、B与u的关系
sinsincoscostanBVu
BWuuB
=⎧⎨
=⎩=
6.2、u与φ的关系
tantanuφ=
6.3、B与φ的关系
2
tan（1taneB
φ=-
易知,一般情况下,有:
Buφ
>>
7、站心地平直角坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系:
7.1、左手系坐标系:
整体旋转示意图
局部旋转示意图一
Z
z
首先,将y轴反向,得'y;绕'y轴旋转（90B-,将z轴绕至Z轴处,x轴绕至'x轴处;然后,再绕Z轴旋转（180L-,即可将Pxyz-化为PXYZ-。
'（180（90ZyyXxYRLRBPy
Zz⎛⎫⎛⎫⎪⎪=--⎪⎪⎪⎪⎝
⎭
⎝⎭
带入数值化简后得到下式:
sincossincoscossinsincoscossincos0
sinXBLLBLxxYBLLBLyAy
ZBBzz--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎪⎪
=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
因为A为正交矩阵,故而由PXYZ-化为Pxyz-,则为:
1sincossinsincossincos0coscoscossinsinTxX
XBL
BL
BX
yAYAYLLY
zZZBLBL
BZ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪===-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭
因站心赤道直角坐标系与空间直角坐标系之间仅存在一个简单的平移关系,故而,由站心地平之间坐标系至空间直角坐标系的转换关系为:
局部旋转示意图二
2sincossincoscossinsincoscossincos0
sin（coscossincos（cossin[（1]sinXYZXY
Z
XTXYTYZTZTBLLBLxTBLLBLy
TBBzNHBLBL
NHBLNeHB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎪
=+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
+--⎛⎫⎪=++⎪⎪-+⎝⎭sincoscossinsincoscossincos0
sinLBLxBLLBLy
BBz⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
-
⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
7.2、右手系坐标系:
8、站心赤道极坐标系与站心赤道直角坐标系之间的关系:
由图易知:
coscoscossinsinXDLYDLZDΦ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=Φ⎪⎪⎪⎪Φ⎝⎭⎝⎭
9、站心地平极坐标系与站心地平直角坐标系之间的关系:
（东
（X
sincossinsincosX
DZAYDZAZDZ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
几种坐标系间的转换
1、空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换
由前面的讨论可知:
（（（
2
2sinarctancoscoscossinarctan
1sincosZNeBBX
NHBLYYNHBLLXZ
NeHBHNB⎧+=⎪⎡⎤
⎪
+⎡⎤⎢⎥⎪⎪
⎢⎥⎢
⎥=+=⎨⎢⎥⎢⎥
⎪
⎢⎥⎡⎤⎣⎦-+⎢⎥
⎪⎣⎦⎣⎦
=
-⎪⎪⎩
2、不同二维平面直角坐标系之间的转换
不同二维平面直角坐标系之间的变换方式主要有:
仿射变换、相似变换、多项式变换某点在原始坐标系（即源坐标系中的坐标记为（S
Sxy;
某点在转换后坐标系（即目标坐标系中的坐标记为（T
Txy。
2.1、仿射变换
1
2
3
1
2
3
1231232312
31TSSTSSTS
aaa
bbbxaaxayybbxbyaaaxxbbbyy=++⎧⎨
=++⎩⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为转换系数
2.2、相似变换
当两个平面直角坐标系原点不同、坐标轴指向不同、尺度定义不同时,存在四个转换参数:
两个平移参数x
y∆∆、一个旋转参数α、一个尺度参数m;
两种转换过程:
先旋转、再平移、最后统一尺度;先平移、再旋转、最后统一尺度;
转换过程不同,四个转换参数也不相同,但是它们最终的转换结果都是一致的。
2.2.1、先旋转、再平移、最后统一尺度
（（（（（（（（（（（10
cossin01sincos11cos1sin11sin1cos111cos1sin1sin1xSTySTxxxSSyyyxyxxy
mxxxmyyymxmmxymymmmxamybmcmdmeααα
αα
α
ααααα
+⎡⎤
∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪⎢⎥
⎪⎪⎪
⎪+∆-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+∆++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪
⎪⎪⎪⎪+∆-++⎝⎭
⎝⎭⎝⎭+∆=+∆=+=+=-+=若令
（cosSTSTSTSTyxxac
dyybe
fxxac
dyybd
cmf
α
⎧⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪
=+⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪
⎪⎨
⎪
⎪⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪
=+
⎪⎪⎪⎪-⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+=⎩
则有
当两个坐标轴尺度因子相同时,上式简化为:
2.2.2、先平移、再旋转、最后统一尺度
（（（（（（（（10
cossin0
1sincos1cos1sin1sin1cos1cos1sin1sin1cosxSTySTxxyyxxSSyymxxxmyyymxmymxmymmxymmααααααααα
α
αα+⎡⎤
∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪⎢⎥
⎪⎪
⎪⎪+-∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
+∆++∆⎛⎫=⎪⎪
-+∆++∆⎝⎭++⎛⎫⎛⎫
+
⎪⎪⎪-++⎝⎭
⎝
⎭
同理,可以将上式简化为
STSTxxac
dyybe
f⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当两个坐标轴尺度因子相同时,上式可简化为
STSTxxacdyybd
c⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
简要综合分析:
231231TSSTSTSTSTaaaxxbbbyyxxacdyybefxxacdyybd
c⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
仿射变换
相似变换尺度不等
相似变换尺度相等
对比以上三式我们可以发现:
当平面直角坐标系横轴和纵轴上的尺度因子不相等时,相似变换完全等价于仿射变换;
当二者尺度因子相等时,相似变换就是仿射变换在2332abcabd
===-=时的一个特例。
2.3、多项式变换
仿射变换和相似变换实质上都是线性变换,当原有平面坐标系的局部性系统误差或局部形变较为明显时,采用仿射变换或相似变换不可避免的会带有模型误差,降低转换结果的精度,此时,我们可以采用多项式逼近法。
多项式逼近法核心在于选取多项式逼近待求的新旧坐标系统间的变换函数。
由多项式逼近任意连续函数时,从理论上讲,只要选择适当的多项式阶数和系数,就可以逼近到任意的程度,并且保证点与点之间一一对应的可逆连续变换的特性。
多项式逼近法的数学模型如下:
2
01020302
405002
0102030240500（（（（（（
（（（（（（
iTiSiSSiSSiSSiSSiSSiSSiTiSiSSiSSiSSiSSiSSiSSxxaaxxayyaxxayyaxxyyyybbxxbyybxxbyybxxyy⎧=++-+-+-⎪+-+--⎪⎨=++-+-+-⎪⎪+-+--⎩
3、不同三维空间直角坐标系之间的转换
定义空间之间坐标的三个要素:
原点、尺度、坐标轴指向。
故当两个不同空间直角坐标系变换时,则共有七个变换参数（三个平移参数、一个尺度参数、三个旋转参数。
一般有下面三种转换模型:
3.1、Bursa-Wolf模型:
new
old
321（1（（（newZYXold
rrmRRRrωωω=++
321（1（（（newXoldnewYZYXoldnewZold
XTXYTmRRRYZTZωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
当:
XYZωωω、、均为小角度时:
1（111newXZ
Yold
newYZXoldnew
ZY
X
old
XTXYTmY
ZTZωωωωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪⎪=++-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.2、Molodensky-Badekas模型
new
T
Y321（1（（（newoldZYXTPold
rrrmRRRrωωω-=+++
设
321（（（
ZYXRRRRωωω=
000Z
YZ
X
Y
X
Qωωωωωω-⎛⎫
⎪=-⎪⎪-⎝⎭
故而
RIQ
=+
舍去TPold
mQr-
则得到:
newoldTPoldTPoldTPold
rrrrQrmr---=++++
即:
00XTPTYTPT
ZTP
Tnewoldold
Z
YPT
PTZXP
T
PT
Y
X
P
TP
Toldold
XTXXXYTYYYZTZZZ
XXXXYYmYYZZZZ
ωωωωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
⎪=++-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪
⎪+--+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
也即为:
000XPYP
ZPnewold
Z
YPT
PT
ZXP
T
PT
Y
X
PTP
Toldold
XTXYTYZTZXXXXYYmYYZZZZ
ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪
=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪+--+-⎪⎪⎪⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.3、Veis模型
new
XT
YZ
转换过程中涉及到了站心坐标系和参心坐标系之间的转换。
1
321（1（（（newoldoldToldTTPold
rrrmRRdARdRdRrξη----=+++其中:
23（90（oldTRRBRL-=-
4、不同大地坐标系之间的转换
4.1:
由空间直角坐标系和大地坐标系之间的转换关系可得:
2（c
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