高中数学知识点完整结构图精编全面.docx
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高中数学知识点完整结构图精编全面
高中数学知识点1
集合
⎧（⎧1）元素与集合的关系：
属于（∈）和不属于（∉）
⎪⎪2
⎨
⎪集合与元素（⎪
）集合中元素的特性：
确定性、互异性、无序性
⎪
⎪（3）集合的分类：
按集合中元素的个数多少分为：
有限集、无限集、空集
⎪
⎩
⎪（⎪4）集合的表示方法：
列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法
⎪
⎪⎧⎧子集：
若x∈A
⎪⎪⎪
⇒x∈B，则A⊆B，即A是B的子集。
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎧1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有（2n-1）个。
⎪
注
⎪2、任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A
⎨
⎪⎪关系⎨⎪3、对于集合A,B,C,如果A⊆B，且B⊆C,那么A⊆C.
⎪⎪⎪⎪4、空集是任何集合的（真）子集。
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
集合⎨
⎪真子集：
若A⊆B且A≠B（即至少存在x∈B但x∉A），则A是B的真子集。
⎪⎪00
⎪⎪⎪⎩集合相等：
A⊆B且A⊇B
⎪⎪
⇔A=B
⎪集合与集合⎪⎧
⎧⎪定义：
A⋂B={x/x∈A且x∈B}
⎪⎨⎪交集⎨
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩⎪性质：
A⋂A=A，A⋂∅=∅，A⋂B=B⋂A，A⋂B⊆A,A⋂B⊆B，A⊆B⇔A⋂B=A
⎧⎪定义：
A⋃B={x/x∈A或x∈B}
⎪并集⎨
⎪⎪⎪
⎪⎩性质：
A⋃A=A，A⋃∅=A，A⋃B=B⋃A，A⋃B⊇A，A⋃B⊇B，A⊆B⇔A⋃B=B
⎪运算⎪
⎪
⎪⎨
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
Card（A⋃B）=Card（A）+Card（B）-Card（A⋂B）
⎧定义：
CUA={x/x∈U且x∉A}=A
⎪⎪⎪
⎪⎪补集⎨性质：
（CUA）⋂A=∅，（CUA）⋃A=U，CU（CUA）=A，CU（A⋂B）=（CUA）⋃（CUB），
⎪
⎩
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎩⎪⎩
CU（A⋃B）=（CUA）⋂（CUB）
函数
⎧映射定义：
设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，
⎪在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：
→
B为从集合A到集合B的一个映射
⎪⎧{传统定义：
如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，
⎪⎪定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。
那么y就是x的函数。
记作y=
f（x）.
⎪
⎪近代定义：
函数是从一个数集到另一个数集的映射。
⎪⎨⎨
⎪⎪⎧定义域
函数及其表示函数的三要素值域
⎪⎪⎩对应法则
⎪⎪⎧解析法
⎪
⎪函数的表示方法⎨列表法
⎩⎩图象法
⎪⎧
⎪⎧传统定义：
在区间[a,b]上，若a≤x1⎪
⎪单调性⎪
递增区间；如f（x1）>f（x2），则f（x）在[a,b]上递减,[a,b]是的递减区间。
⎪⎨导数定义：
在区间[a,b]上，若f（x）>0，则f（x）在[a,b]上递增,[a,b]是递增区间；如f（x）<0
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎩
则f（x）在[a,b]上递减,[a,b]是的递减区间。
⎪
⎪
⎨⎪⎧最大值：
设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；
函数函数的基本性质⎨最值⎪
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M。
则称M是函数y=f（x）的最大值
⎪
⎪⎨最小值：
设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥N；
⎪⎩
⎪⎪
（2）存在x0∈I，使得f（x0）=N。
则称N是函数y=f（x）的最小值
⎪⎧⎪
（1）f（-x）=-f（x）,x∈定义域D，则f（x）叫做奇函数，其图象关于原点对称。
⎪⎪奇偶性⎨
（2）f（-x）=f（x）,x∈定义域D，则f（x）叫做偶函数，其图象关于y轴对称。
⎪⎪⎩
奇偶函数的定义域关于原点对称
⎪⎪周期性：
在函数f（x）的定义域上恒有f（x+T）=f（x）（T≠0的常数）则f（x）叫做周期函数，T为周期；
⎩
⎪T的最小正值叫做f（x）的最小正周期，简称周期
⎪⎧
（⎪1）描点连线法：
列表、描点、连线
⎪⎪⎧
⎧向左平移α个单位：
y1=y,x1-a=x⇒y=f（x+a）
平移变换11
⎪⎪⎪向右平移a个单位：
y=y,x+a=x⇒y=f（x-a）
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨向上平移b个单位：
x1=x,y1+b=y⇒y-b=f（x）
⎪⎪⎩向下平移b个单位：
x1=x,y1-b=y⇒y+b=f（x）
⎪⎪⎪⎪
伸缩变换
到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1=wx⇒y=f（wx）
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎧横坐标变换：
把各点的横坐标x1缩短（当w>1时）或伸长（当0⎨纵坐标变换：
把各点的纵坐标y1伸长（A>1）或缩短（0⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
（横坐标不变），即y1=y/A⇒y=f（x）
⎪函数图象的画法（⎪2）变换法⎨⎧
：
{x+x1=2x0
{x1=2x0-x
⎪⎪⎪关于点（x0,y0）对称
⎪⎪⎪
y+y1=2y0⇒y1=2y0-y⇒2y0-y=f（2x0-x）
⎪⎪⎪⎪关于直线x=x0对称：
{x+x1=2x0⇒{x1=2x0-x⇒y=f（2x0-x）
⎪⎪对称变换⎪
y=y1
y1=y
⎪
⎪⎪⎨
⎪
0{y+1=2y
{1=2y-y20（
⎪⎪关于直线y=y对称：
x=x
⇒x=x
⇒y-y=fx）
⎪⎪⎪
1y0
y10
⎪⎪⎪⎪关于直线y=x对称：
{x=x1⇒y=f-1（x）
⎪
⎩⎪⎪⎩
⎪⎪⎩
⎩⎪
y=y1
附：
一、函数的定义域的常用求法：
1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函
数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π（k∈Z）；余切函
2
数y=cotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论：
1、若f（x）,g（x）均为某区间上的增（减）函数，则f（x）+g（x）在这个区间上也为增（减）函数
2、若f（x）为增（减）函数，则-f（x）为减（增）函数
3、若f（x）与g（x）的单调性相同，则y=f[g（x）]是增函数；若f（x）与g（x）的单调性不同，则
y=f[g（x）]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，如果一个函数y=f（x）既是奇函数又是偶函
数，则f（x）=0（反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就
是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数
f（x）
的定义域关于原点对称，则
f（x）
可以表示为
f（x）=1[f（x）+f（-x）]+1[f（x）-f（-x）]，该式的特点是：
右端为一个奇函数和一个偶函数的
22
和。
⎧
⎧
⎪⎪⎧零点：
对于函数y=
f（x）,我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=
f（x）的零点。
⎪⎪定理：
如果函数y=
f（x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）⋅f（b）<0,
⎪⎪零点与根的关系⎨
那么，函数y=
f（x）在区间[a,b]内有零点。
即存在c∈（a,b）,使得f（c）=0,这个c也是方
ïïï
程f（x）
=0的根。
（反之不成立）
⎪⎪⎩关系：
方程f（x）
=0有实数根⇔函数y=
f（x）有零点⇔
函数y=
f（x）的图象与x轴有交点
ïïì
函数与方程⎨⎪
（1）确定区间[a,b],验证f（a）⋅f（b）
<0,给定精确度ε；
⎪⎪
（2）求区间（a,b）的中点c;
函数的应用⎨⎪
⎪⎪（3）计算f（c）；
⎪
⎪二分法求方程的近似解①若f（c）
=0,则c就是函数的零点；
í
⎪⎪⎪
②若f（a）⋅f（c）<0,则令b
=c（此时零点x0∈（a,b））；
ïïï
③若f（c）⋅f（b）<0,则令a
=c（此时零点x0
∈（c,b））；
⎪⎩⎩⎪（4）判断是否达到精确度ε：
即若a-b
<ε,则得到零点的近似值a（或b）;否则重复2
~4。
⎪⎨
⎪⎧几类不同的增长函数模型
函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
⎪⎩⎩建立实际问题的函数模型
nam
⎧⎧⎧根式：
na,n为根指数，a为被开方数⎫⎪m
⎪⎪⎪⎬=an
⎪⎪⎪分数指数幂⎪⎭
⎨
⎪⎪
⎪⎪指数的运算
⎪⎧aras
=ar+s（a
>0,r,s∈Q）
⎪指数函数
⎪⎪性质
⎪
rs
（a）
=ars（a
>0,r,s∈Q）
⎪⎨⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎨
⎩
⎪（ab）r
=arbs（a
>0,b
>0,r∈Q）
⎪⎪⎧定义：
一般地把函数y=
ax（a
>0且a
≠1）叫做指数函数。
⎪⎪指数函数⎨
⎩
⎪⎪⎩性质：
见表1
⎪
⎪⎧⎧对数：
x=
⎪⎪⎪
loga
N,a为底数，N为真数
⎨
基本初等函数⎪
⎪⎪⎧loga（M
⎪⎪⎪
⋅N）=
logaM
+
logaN;
⎪⎪⎪
⎪logaM
=logaM
-
logaN;
⎪⎪对数的运算
⎨性质⎪N.
⎪对数函数⎪⎪
⎨logaMn
=nloga
M;（a
>0,a
≠1,M
>0,N
>0）
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
logb
⎪⎪⎪
⎪换底公式：
log
b=c（a,c>
0且a,c
≠1,b>0）
c
⎪⎪⎩⎩
⎪⎪
aloga
⎪⎪对数函数
⎪
⎪
⎪⎩
⎪
⎧定义：
一般地把函数y
⎨
⎩性质：
见表1
=loga
x（a
>0且a
≠1）叫做对数函数
⎪⎧定义：
一般地，函数y=
xα叫做幂函数，
x是自变量，α是常数。
⎪幂函数
⎪⎩
⎨
⎩性质：
见表2
表
1
y=ax（a>0,a≠1）
指数函数
对数数函数
y=logax（a>0,a≠1）
定
义域
x∈R
x∈（0,+∞）
值
域
y∈（0,+∞）
y∈R
图象
性质
过定点（0,1）
过定点（1,0）
减函数
增函数
减函数
增函数
x∈（-∞,0）时，y∈（1,
x∈（0,+∞）时，y∈（0,
x∈（-∞,0）时，y∈（0,1
x∈（0,+∞）时，y∈（1,+
x∈（0,1）时，y∈（0,+
x∈（1,+∞）时，y∈（-
∞x∈（0,1）时，y∈（-∞,
∞x∈（1,+∞）时，y∈（0,
aa>b
aa>b
表2
幂函数y=xα（α∈R）
α=p
q
α<0
0<α<1
α>1
α=1
p为奇数q为奇数
奇函数
p为奇数q为偶数
p为偶数q为奇数
偶函数
第一象限
性质
减函数
增函数
过定点
（0，1）
高中数学知识点2
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即
k=tanα。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当α∈[0,90）时，k≥0；当α∈（90,180）时，k<0；当α=90时，k不存在。
y2-y1
②过两点的直线的斜率公式：
k=
x2-x1
（x1≠x2）
注意下面四点：
（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
y-y1=k（x-x1）直线斜率k，且过点（x1,y1）
注意：
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
y-y1
=x-x1
（x≠x,y≠y
）直线两点（x,y），（x,y）
y2-y1
④截矩式：
x+y=1
ab
x2-x1
1212
1122
其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式：
Ax+By+C=0（A，B不全为0）注意：
○1各式的适用范围○2特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：
x=a（a为常数）；
（5）直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线A0x+B0y+C0=0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
A0x+B0y+C=0（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
y-y0=k（x-x0），直线过定点（x0,y0）；
（ⅱ）过两条直线l1:
A1x+B1y+C1=0，l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为
（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ为参数），其中直线l2不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当l1:
y=k1x+b1，l2:
y=k2x+b2时，
l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2=-1
注意：
利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
l1:
A1x+B1y+C1=0l2:
A2x+B2y+C2=0相交
⎧Ax+By+C=0
交点坐标即方程组⎨11
1的一组解。
⎩A2x+B2y+C2=0
方程组无解⇔l1//l2；方程组有无数解⇔l1与l2重合
（8）两点间距离公式：
设A（x1,y1），B（x2,y2）是平面直角坐标系中的两个点，
21
则
|AB|=
Ax0+By0+C
A2+B2
（9）点到直线距离公式：
一点P（x0,y0）到直线l1:
Ax+By+C=0的距离d=
（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心（a,b），半径为r；
（2）一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
ç-
当D2+E2-4F>0时，方程表示圆，此时圆心为⎛
⎝
D,-2
E⎫，半径为
D2+E2-4F
r=
⎪
2⎭2
当D2+E2-4F=0时，表示一个点；当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
Aa+Bb+C
A2+B2
（1）设直线l:
Ax+By+C=0，圆C:
（x-a）2+（y-b）2=r2，圆心C（a,b）到l的距离为d=，
则有d>r⇔l与C相离；d=r⇔l与C相切；d（2）设直线l:
Ax+By+C=0，圆C:
（x-a）2+（y-b）2=r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为∆，则有
0
∆<0⇔l与C相离；∆=0⇔l与C相切；∆>0⇔l与C相交
注：
如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0点坐标，r表示半径。
（3）过圆上一点的切线方程：
+
yy0
=r2去解直线与圆相切的问题，其中（x
y0
）表示切
①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为xx0
+
yy0
=r2
（课本命题）．
②圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2（课本命题的推广）．
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆C
:
（x-a）2+（y-b）2=r2，C
:
（x-a
）2+（y-b
）2=R2
111222
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当d>R+r时两圆外离，此时有公切线四条；
当d=R+r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R-r当d=
当d<
R-r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
R-r时，两圆内含；当d=0时，为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形
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