勾股定理单元测试解析版.docx

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勾股定理单元测试解析版

勾股定理单元测试卷解析版

数　　学

本试卷满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1．在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以下式子成立的是（　B　）

A．a2＋b2＝c2B．a2＋c2＝b2

C．b2＋c2＝a2D．（a＋c）2＝b2

2．在△ABC中，三边长a，b，c满足b2－a2＝c2，则互余的一对角是（　B　）

A．∠A与∠B　B．∠C与∠A　

C．∠B与∠CD．以上都不正确

3．下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　C　）

A．3，5，9B．4，6，8

C．1，

，2　D．

，

，

4．将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（　C　）

A．钝角三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形

5．在△ABC中，三边a，b，c满足（a－b）2＋

＋（c2－8）2＝0，那么此三角形为（　C　）

A．等边三角形　　B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

6．如图所示，已知三个正方形的面积分别为225，289和S，则面积为S的正方形的边长为（　B　）

A．4　B．8　

C．16　　D．64

7．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　C　）

A．48B．60　　　

C．76　　　　D．80

8．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　C　）

A．90°　　B．60°　

C．45°　D．30°

9．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B.若A，B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　C　）

A．北偏西30°B．南偏西30°

C．南偏东60°D．南偏西30°

10．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　D　）

A．1　　　B．2　

C．3　　D．4

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝41，AC＝9，则BC＝40．

12．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）．

13．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为10．

14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过点P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是1.6．

16．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：

“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？

”翻译成数学问题是：

如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为x2＋9＝（10－x）2．

17．为了比较

＋1与

的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得

＋1＞

.（填“＞”“＜”或“＝”）

18．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2020的值为（

）2018．

三、解答题（本大题共7小题，满分66分）

19．（8分）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

解：

设AD＝x米，则AB为（10＋x）米，AC为（15－x）米，BC为5米，∴（x＋10）2＋52＝（15－x）2，解得x＝2，∴树高AB＝10＋x＝12米．

20．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的值．

解：

∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝3，BD＝2，∴AD2＝AB2－BD2＝5，∵DC＝1，∴AC＝

＝

＝

.

21．（9分）洋洋想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

解：

设旗杆的高为x米，则绳子的长为（x＋2）米，由勾股定理得，x2＋52＝（x＋2）2，解得x＝

，∴旗杆高

米．

22．（9分）如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：

AD＝3cm，BC＝12cm，CD＝13cm，AB＝4cm，东东由此认为这个四边形中∠A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？

如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A是直角？

解：

东东的判断不正确，可添加DB⊥BC或DB＝5cm.理由如下：

∵四边形具有不稳定性，∴∠A可以是锐角，可以是直角，也可以是钝角，∴判断不正确．如果添加DB⊥BC或DB＝5cm，那么∠A恰好是直角．当BD⊥BC时，∵BC＝12cm，CD＝13cm，∴BD＝

＝5cm，在△ABD中，AB＝4cm，AD＝3cm，BD＝5cm，∴42＋32＝52，∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°；当DB＝5cm时，在△ABD中，AB＝4cm，AD＝3cm，BD＝5cm，∴AB2＋AD2＝BD2，即42＋32＝52，∴△ABD是直角三角形，即∠A＝90°.

23．（10分）如图，甲船以16nmile/h的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行．已知两船离开码头1.5h后相距30nmile，乙船的航行速度是多少？

解：

设码头所在的位置为C，1.5h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则AC与正北方向的夹角为45°，BC与正北方向的夹角为45°，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，AC＝16×

＝24（nmile），AB＝30（nmile），由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，∴BC2＝AB2－AC2＝302－242＝324，∴BC＝18（nmile），∴乙船的航行速度为18÷

＝12（nmile/h）．

24．（10分）一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．

（1）这个梯子的顶端离地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

解：

（1）AB＝

＝24（米），故这个梯子的顶端距地面有24米．　

（2）OB′＝20（米），∴OA′＝

＝15（米），∴AA′＝15－7＝8（米），故滑动了8米．

25．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°.

（1）请你猜想∠A与∠C关系；

（2）求出四边形ABCD的面积．

解：

（1）∠A＋∠C＝180°.理由如下：

连接AC.∵AB＝20cm，BC＝15cm，∠ABC＝90°，∴由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝625.又∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2＋AD2＝625＝AC2，∴∠D＝90°.∴∠DAB＋∠DCB＝360°－180°＝180°.　

（2）由

（1）知，∠D＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

×20×15＋

×7×24＝234（cm2）．即四边形ABCD的面积是234cm2.