高考数学二轮复习 专题3 三角函数 第1讲 三角函数的图象与性质三角恒等变换.docx

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高考数学二轮复习专题3三角函数第1讲三角函数的图象与性质三角恒等变换

2021年高考数学二轮复习专题3三角函数第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换理

三角函数的概念、诱导公式及恒等变换

1.（xx贵阳高三适应性监测）已知α∈（0,2π）,且α的终边上一点的坐标为（sin,cos）,则α等于（　B　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

由已知可得,α的终边上一点的坐标为（,-）,

且α∈（0,2π）,故α∈（,2π）,

根据三角函数的定义可得tanα=-,所以α=.故选B.

2.（xx太原市模拟）已知sinα+cosα=,α∈（-,）,则tanα等于（　D　）

（A）-1（B）-（C）（D）1

解析:

因为sinα+cosα=,α∈（-,）,

所以sin（α+）=,

所以sin（α+）=1,

所以α+=,

所以α=,

所以tanα=tan=1,选D.

3.（xx呼伦贝尔一模）已知sinα+cosα=,则sin2（-α）等于（　B　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

因为sinα+cosα=,

则1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-,

sin2（-α）=（cosα-sinα）2

=（1-2sinαcosα）

=（1+）=,故选B.

4.（xx衢州一模）若cos（α+）=-,则sin（α-）=　　　　. 

解析:

sin（α-）=sin[（α+）-]=-sin[-（α+）]=-cos（α+）=.

答案:

函数y=Asin（ωx+）+B的解析式

5.（xx许昌一模）函数f（x）=Asin（ωx+）（其中A>0,||<）的图象如图所示,为了得到g（x）=sin2x的图象,则只需将f（x）的图象（　A　）

（A）向右平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位

（D）向左平移个长度单位

解析:

由已知中函数f（x）=Asin（ωx+）（其中A>0,||<）的图象,过（,0）点,（,-1）点,

易得,A=1,T=4（-）=π,即ω=2,

即f（x）=sin（2x+）,将（,-1）点代入得

+=+2kπ,k∈Z又||<,

所以=,

所以f（x）=sin（2x+）,

故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象,故选A.

6.（xx沈阳校级模拟）将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（　A　）

（A）y=2cos2x（B）y=2sin2x

（C）y=1+sin（2x+）（D）y=cos2x

解析:

将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位得到

y=sin[2（x+）+],即y=cos2x,再向上平移1个单位得到函数y=

cos2x+1=2cos2x,故选A.

7.（xx郑州第一次质量预测）如图,函数f（x）=Asin（ωx+）（其中A>0,ω>0,||≤）与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P（1,0）,∠PQR

=,M（2,-2）为线段QR的中点,则A的值为（　C　）

（A）2（B）（C）（D）4

解析:

因为M（2,-2）为QR的中点,

所以可知R（0,-4）,Q（0,4）

所以函数的周期T=6,所以ω==,

所以f（x）=Asin（x+）,把P（1,0）代入f（x）可得,

sin（+）=0,又||≤,所以=-,

所以f（x）=Asin（x-）,

把R（0,-4）代入f（x）可得Asin（-）=-4,

所以A=,故选C.

8.（xx株洲一模）如图为函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0）的部分图象,B,C分别为图象的最高点和最低点,若·=||2,则ω等于（　C　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

由题意知||=2||,由·=||2知

-||·||cos∠ABC=||2,

得cos∠ABC=-,则∠ABC=120°,

过B作BD垂直于x轴于D,则||=3,

所以=3,则T=12,ω==,故选C.

三角函数的图象和性质

9.（xx开封二模）若函数f（x）=（1+tanx）cosx,0≤x<,则f（x）的最大值是（　B　）

（A）1（B）2（C）+1（D）+2

解析:

f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+）,

因为0≤x<,所以≤x+<,

所以f（x）∈[1,2],故选B.

10.若函数f（x）=sinωx（ω>0）在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于（　C　）

（A）3（B）2（C）（D）

解析:

因为y=sinωx（ω>0）过原点,

所以当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sinωx是增函数;

当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sinωx是减函数.

由y=sinωx（ω>0）在[0,]上单调递增,在[,]上单调递减知,=,所以ω=.

11.（xx衢州二模）设函数f（x）=2cos（x+）,则该函数的最小正周期为　　　　,值域为　　　　,单调递增区间为　　　　. 

解析:

函数的最小正周期为T==4π,值域为[-2,2],由2kπ-π≤x+≤2kπ（k∈Z）,可得其单调递增区间为4kπ-≤x≤4kπ-

（k∈Z）.

答案:

4π　[-2,2]　[4kπ-,4kπ-]（k∈Z）.

12.（xx洛阳一模）将函数y=sin（x）sin（x+）的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则正数ω的最小值为　　　　. 

解析:

因为y=sin（ωx）sin（ωx+）=sin2ωx+sinωx=

=sin（ωx-）+,所以将函数的图象向右平移个单位,

所得解析式为y=sin[ω（x-）-]+

=sin（ωx-ω-）+,

因为所得图象关于y轴对称,

所以-ω-=kπ+,k∈Z,

可解得ω=-6k-4,k∈Z,

所以k=-1时,正数ω的最小值为2,

答案:

2

一、选择题

1.设P（x,2）为角α终边上的一点,且sinα=,则tanα等于（　A　）

（A）1（B）-1（C）±1（D）±2

解析:

因为角α终边上一点P（x,2）,所以|OP|=（O为坐标原点）,

由sinα==,

得x=2,所以tanα==1,故选A.

2.（xx江南二模）若3sinθ=cosθ,则cos2θ+sin2θ的值等于（　B　）

（A）-（B）（C）-（D）

解析:

因为3sinθ=cosθ,所以tanθ=,

所以cos2θ+sin2θ====,

故选B.

3.在下面给出的函数中,既是区间（0,）上的增函数又是以π为周期的偶函数的是（　B　）

（A）y=x2（x∈R）（B）y=|sinx|（x∈R）

（C）y=cos2x（x∈R）（D）y=esin2x（x∈R）

解析:

y=x2（x∈R）不是周期函数,故排除A.

因为y=|sinx|（x∈R）周期为π,且根据正弦图象知在区间（0,）上是增函数.

故选B.

4.（xx桐城市一模）函数y=sin（2x-）在区间[-,π]的简图是（　B　）

解析:

当x=-时,y=sin[2×（-）-]=-sin（π+）=sin=>0,排除A,D;当x=时,y=sin（2×-）=sin0=0,排除C.故选B.

5.（xx惠州模拟）函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R,ω>0,||<）的部分图象如图所示,则ω,的值分别是（　A　）

（A）2,-（B）2,-

（C）4,-（D）4,

解析:

由题图知T=-（-）=π,

所以T=π,即=π,解得ω=2.

由图象过（,）可知,

2×+=+2kπ,k∈Z,

即=-+2kπ,k∈Z,

因为||<,得=-,

所以ω,的值分别是2,-.

故选A.

6.（xx威宁校级模拟）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象,只需把函数y=sin2x-cos2x的图象（　A　）

（A）向左平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位

（D）向右平移个长度单位

解析:

分别把两个函数解析式简化为y=sin2x+cos2x=

sin（2x+）.

函数y=sin2x-cos2x=sin（2x-）,

又y=sin[2（x+）-]=sin（2x+）,

可知只需把函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个长度单位,得到函数y=sin2x+cos2x的图象.故选A.

7.（xx唐山一模）已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于（　A　）

（A）或0（B）-或0

（C）（D）-

解析:

把2sin2α=1+cos2α两边平方得

4sin22α=（1+cos2α）2,

整理得4-4cos22α=1+2cos2α+cos22α,

即5cos22α+2cos2α-3=0,

得（5cos2α-3）（cos2α+1）=0,

解得cos2α=或cos2α=-1,

当cos2α=时,sin2α==;tan2α=,

当cos2α=-1时,sin2α==0,tan2α=0,

则tan2α=或0.故选A.

8.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0,||<）的最小正周期是π,若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f（x）的图象（　D　）

（A）关于点（,0）对称（B）关于直线x=对称

（C）关于点（,0）对称（D）关于直线x=对称

解析:

由题意可得=π,解得ω=2,

故函数f（x）=sin（2x+）,其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x-）+]=sin（2x-+）是奇函数,

又||<,故=-,

故函数f（x）=sin（2x-）,

当x=时,函数f（x）=sin=1,

故函数f（x）=sin（2x-）关于直线x=对称,

故选D.

9.（xx丽水一模）设函数f（x）=sin（ωx+）+cos（ωx+）（ω>0,

||<）的最小正周期为π,且f（-x）=f（x）,则（　A　）

（A）f（x）在（0,）上单调递减

（B）f（x）在（,）上单调递减

（C）f（x）在（0,）上单调递增

（D）f（x）在（,）上单调递增

解析:

由于f（x）=sin（ωx+）+cos（ωx+）

=sin（ωx++）,

由于该函数的最小正周期为π=,得出ω=2,

又f（-x）=f（x）,得+=+kπ（k∈Z）,

以及||<,得出=.

因此,f（x）=sin（2x+）=cos2x,

若x∈（0,）,则2x∈（0,π）,

从而f（x）在（0,）上单调递减,

若x∈（,）,则2x∈（,）,

该区间不为单调区间,故B,C,D都错,A正确.

故选A.

10.（xx广西南宁二模）已知函数f（x）=sin（2x+α）在x=时有极大值,且f（x-β）为奇函数,则α,β的一组可能值依次为（　D　）

（A）,-（B）,

（C）,-（D）,

解析:

依题意知,f（）=1,即sin（2×+α）=1,

所以+α=+2kπ（k∈Z）,

所以α=+2kπ（k∈Z）,k=0时,α=;

又f（x-β）=sin（2x+α-2β）,

因为f（x-β）为奇函数,所以α-2β=nπ（n∈Z）,

即β=-=-（k∈Z）,

当n=0时,β=,故选D.

二、填空题

11.若α∈（0,π）,且3cos2α=sin（-α）,则sin2α的值为　　　　. 

解析:

因为3cos2α=sin（-α）,

所以3（cos2α-sin2α）=（cosα-sinα）,

所以（cosα-sinα）[3（cosα+sinα）-]=0,

所以cosα-sinα=0或3（cosα+sinα）-=0,

当cosα-sinα=0时,tanα=1,

又α∈（0,π）,所以α=,

所以sin2α=sin=1.

当3（cosα+sinα）-=0时,

sinα+cosα=,两边平方得sin2α=-.

答案:

1或-

12.（xx张家港市校级模拟）函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0,ω>0,||<）的部分图象如图所示,则将y=f（x）的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为　　　　. 

解析:

由题图知,A=1,T=π,所以T=π,ω==2,

又×2+=+2kπ（k∈Z）,

所以=2kπ+（k∈Z）,又||<,所以=;

所以f（x）=sin（2x+）,

所以将y=f（x）的图象向右平移个单位后得y=sin[2（x-）+]=sin（2x-）.

答案:

y=sin（2x-）

13.（xx北京卷）设函数f（x）=Asin（ωx+）（A,ω,是常数,A>0,ω>0）.若f（x）在区间[,]上具有单调性,且f（）=f（）=-f（）,则f（x）的最小正周期为　　　　. 

解析:

因为f（x）在[,]上具有单调性,

所以≥-,

所以T≥.

因为f（）=f（）,

所以f（x）的一条对称轴为x==.

又因为f（）=-f（）,

所以f（x）的一个对称中心的横坐标为=.

所以T=-=,所以T=π.

答案:

π

三、解答题

14.（xx淄博模拟）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx

-（ω>0）的最小正周期是π.

（1）求函数f（x）的单调递增区间;

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g（x）的图象,求y=g（x）的解析式及其在[0,]上的值域.

解:

（1）由题意,得函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx-=sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-）,

因为f（x）的最小正周期是π,

所以=π,所以ω=1.

所以f（x）=2sin（2x-）.

由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

所以函数f（x）的单调递增区间:

[kπ-,kπ+],k∈Z.

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1.

因为x∈[0,],

所以2x+∈[,],

当2x+=时,

即x=时,函数取得最大值3.

当2x+=时,

即x=时,函数取得最小值:

1-.

所以y=g（x）在[0,]上的值域为[1-,3].