完整版固体物理第3章晶格振动参考答案.docx
《完整版固体物理第3章晶格振动参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版固体物理第3章晶格振动参考答案.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整版固体物理第3章晶格振动参考答案
第二章晶格振动参考答案2011
3.1在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，^且12。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频
证明：
第2n个原子所受的力
F2n2（u2n1U2n）1（U2n1U2n）
（12）u2n2u2n11U2n1
第2n+1个原子所受的力
这两个原子的运动方程:
方程的解
ait（2n与qu2nAe
ait（2n1）^q
U2n1Be
代入到运动方程，可以得到
m
2A
.a
i2q1e2
.a
i2q2e2
B
（1
2）A
m
2b
.a
i2q1e2
.a
i2q2e2
A
（1
2）B
经整理，
有
（1
2
m2）A
iaq
1e2
2
i-q
e2
B
0
1e
a
中
2e2A
（1
2
2m
）B
0
根据上式，有
2sin2（qa2）
3.2具有两维正方点阵的某简单晶格，设原子质量为
M,晶格常量为a,最近邻原子间相互作用的恢复力常数为，假定原子垂直于点阵平面作横振动，试证明此二维系统的格波色散关系为
M2（2cosqxacosqya）。
解：
（hm+1）
O
0
0O0
o
0
0
O
O
（1仆）（Im）（l+13m）
OOO
o
o
o
0
0
（I小1）
000
0
0
0
如图所示，只考虑最近邻原子的作用，第l,m原子受到（l+1,m），（l-1,m），（l,m+1），（l,m-1）四个原子的作用力为：
（l+1,m）对它的作用力=（U|i,mU|,m），
（l-1,m）对它的作用力=（U|,mU|1,m），
（l,m+1）对它的作用力=（UhmiUl,m），
（l,m-1）对它的作用力=（Ul,mUl,m1）o
由于（l+1,m）和（l-1,m）对它的作用力以及（l,m+1）和（l,m-1）对它的作用力的方向都是相反的，于是运动方程式可以写为：
设解的形式为
U|,mUoexpilqxamqyat
代入运动方程后，得到色散关系
2Meiqxaeiqxaeiqyaeiqya4
22cosqxacosqya
3.3（a）
解：
对于一维单原子链，简正振动格波的色散关系表述为
2需|sinaqmsinaq|
（1）
式中，,a,m和q分别代表恢复力常数，晶格常数，原子质量和格波波矢。
上面表明，是q的偶函数
设g（q）表示q空间中单位间隔内振动方式数，g（）表
示单位频率间隔内的振动方式数，于是有
m
0g（）d
i
jg（q）dq=2
2a
1
；ag（q）dq
从
（1）式知道，
当q=0时，
0:
当q=1/2a时，
（2）
m
（2）式左边可以写成为
g（
）d
1
02ag（
）T-dq
dq
（3）
（3）
）dq
波矢空间的态密度g（q）
从
（2）
式可以得到
g（
2g（q）
即g（）
2g（q）-dqd
式中N为晶格原子总数。
d
am
dq
g（q）
又从
cosaq
1/2
=a（m0）
代入（4）既得
g（）2g（q尸
T
Na
Na
1）
式得到
21/2
am（1sinaq）
2N1
2）1/2
3.5（a）
证明：
在振动能级很密集，振动频率可以认为是准连续
的情况下，晶格振动的总能量表达为
因此比热利用写成
把频率分布
则比热表示为
在低温
因为
T
——x
D
Thhm
kB
kBT
-pi
m
因而
[1（工
D
21/2
x）]
f）
D
2x23宀4/LL
在低温极限下，
则有
C2NKb
（工）
D
因为
2x
xe
x2
（e1）
x2
x#/x\2e（1e）
x（12e
3e2x
=x2（e
x2e2x
3e3x）
x2
nx
nx
x
xe
0（ex1）2
dx
nx
nx2
xdx2
n
所以
CV
2NkB（T）
D）3
2
3.9格林艾森常数。
（a）证明频率为的声子模式的自由能为
kBTIn2sinh
2kBT；
（b）如果是体积的相对变化量，则晶体的自由能
密度可以写为
B口2（q）coth莎乎时，F对于为极小。
禾【J用内能密度的定义，证明可近似表达为U（T）：
B。
解:
（a）
双曲函数基本定义
sinhx=（ex-e-x）/2coshx=（ex+e-x）/2tanhx=sinhx/coshxcothx=1/tanhx
考虑频率为的声子模，配分函数为
kBT
2sinh
2kBT
故自由能为
（b）晶体的自由能为
E（V）为OK时晶体的内能，第二项为所有声子模的贡献。
若晶体体积改为V，则
由能为
其中
q
4n^为格林艾森常数
假定q与模式q无关，即q，则由F（,T）对的
极小条件
（VV）
kBT——In2sinh—
q2kBT
B1coth匕』（6）
2q2kpT
U（T）F
1
coth
q22kpT
这里假设与T无关。
将（8）式代入（7）式得
U（T）/B
3.10假定作用在n平面上总的力为
。
（1）利用此式
ko为常数，p取所有整数。
这种形式的力常数主要出现在电子一声子相互作用很强的金属中和晶格振动方程证明，声子色散关系为
2（q）tp（1cosqpa）
Mpo
⑵计算2（qVq的表达式。
证明当qko时，
2（q）Jq为无穷大，并讨论2（q）的变化情况。
解:
（1）
设第n个原子面对平衡位置的位移为Xn，第n+p和n-p个原
子面位移为xnp和xnp，则第n+p和第n-p个原子面对第n
个原子面的作用力可以写成
n个原子面的运动方程为
试探解为
代入到运动方程中得到
故格波的色散关系为
中得到
2（q）
2sink0pa
兀0八"（1C0SqPa）
当qk0时，
2（q）或（q）曲线在qk°处的斜率出现了垂直的正
切变化，即声子色散关系曲线在ko处有扭折（kink）。
这种情况称为Kohn反常。
有关的效应W.Kohn在文献
Phys.Rev.Letters2（1959）393中曾作过预言。
在某些金属（如Pb,AI等）中已经观察到这种效应。
（q）的精确的中子测量实验中清楚地看到奇异点的存在。
补充习题
1.考虑一维单原子链，原子的质量为m,原子的间距为a。
计及所有原子间的长程作用，且最近邻原子间的恢复常数为1，次近邻以下各原子间的恢复力常数依次为2，3，LL，求原子链格波的色散关系。
解设第n个原子对平衡位置的位移为xn，第n+p和n-p个原子位移为xnp和xnp，则第n+p和第n-p个原子对第n个原子的作用力可以写成
pp（XnpXn）p（XnXnp）p（Xnp2XnpXn）
链上每个原子对第n个原子都有相互作用力，所以第n个原子的运动方程为
试探解为
xnAei（t2naq）
代入到运动方程中得到
故格波的色散关系为
2.已知金刚石的弹性摸量为1012N/m2,密度为
3.5g/cm2，试求金刚石的德拜温度d。
引入德拜温度D亍由下列积分（德拜假定，格波的总
kB
个数等于晶体的自由度数3N，N为晶体包含的原子数）
D
g（
）d
3N
求得
kBD
hv
）3
62N
hvQ2N
订（盯
）1/3
在长波极限下，波速
V等于弹性波速度
式中，E为弹性摸量;
于是
D
代入下列数据:
h1.051034JskB1.381023J/K
E1.01012N/m2
3.5103kg/m3
m121.661027kg得到D2780K
升级会员 