（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
2007年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．A 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．x（x＋5）（x－5） 10．2，4 11．AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO
12．（6
＋1）m 13．50
14．如图
15．y＝2x2 16．6
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．解：
原式＝1－3＋
＋9－
…………………………………………………4分
＝7 ……………………………………………………………………6分
18．解：
解不等式2x－5≤3（x－1）得x≥－2 ……………………………………2分
解不等式
＞4x得x<1 ……………………………………………………………4分
∴不等式组的解集为－2≤x＜1 ……………………………………………………6分
在数轴上表示为：
………………………………………………8分
19．证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠GBE＝∠HDF …………………………………………………………………2分
又∵AG＝CH
∴BG＝DH
又∵BE＝DF
∴△GBE≌△HDF …………………………………………………………………5分
∴GE＝HF，∠GEB＝∠HFD
∴∠GEF＝∠HFE
∴GE∥HF
∴四边形GEHF是平行四边形． ……………………………………………………8分
20．解：
设甲施工队单独完成此项工程需x天，
则乙施工队单独完成此项工程需
x天， …………………………………………1分
根据题意，得
＋
＝1 …………………………………………………………4分
解这个方程，得x＝25 ………………………………………………………………6分
经检验，x＝25是所列方程的根 ……………………………………………………7分
当x＝25时，
x＝20 …………………………………………………………………9分
答：
甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天． ……………10分
四．（每小题10分，共20分）
21．解：
（1）2003，45% ……………………………………………………………4分
第21题
（2）图
（2）由图①，得
162＋204＋295＋301＋317＋321＝1600
301÷1600≈0.19＝19%
321÷1600≈0.20＝20% …………………7分
∴2004年19%，2006年20%
正确补全统计图． ………………………8分
（3）建议积极向上即可． ………………10分
22．
（1）证明：
∵AB＝BC
………………………………2分
∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC ……………………………………………4分
（2）解：
由
（1）可知
，∴∠BAC＝∠ADB
∵∠ABE＝∠ABD
∴△ABE∽△DBA ……………………………………………………………………6分
∴
＝
∵BE＝3，ED＝6
∴BD＝9 ……………………………………………………………………………8分
∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27
∴AB＝3
…………………………………………………………………………10分
五、（本题12分）
23．解：
（1）由已知可得A1、A2是矩形，A3是圆；B1、B2、B3都是矩形；
C1是三角形，C2、C3是矩形． ………………………………………………………3分
（2）①补全树状图如下：
……………………………………………………………………………………………7分
由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都
相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是
＝
…………9分
②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形
名称相同的概率是
＝
，即P（小刚获胜）＝
三张卡片上的图形名称完全不同的概率是
＝
，即P（小亮获胜）＝
∵
＞
∴这个游戏对双方不公平． ……………………………………………12分
六、（本题12分）
24．解：
（1）符合条件的等腰△OMP只有1个．点P的坐标为（
，4） ……2分
（2）符合条件的等腰△OMP有4个． …………………………………………3分
如图①，在△OP1M中，OP1＝OM＝4，
在Rt△OBP1中，BO＝
，
BP1＝
＝
＝
∴P1（－
，
） ……………………………………………………………………5分
在Rt△OMP2中，OP2＝OM＝4，∴P2（0，4）
在△OMP3中，MP3＝OP3，
∴点P3在OM的垂直平分线上，∵OM＝4，∴P3（2，4）
在Rt△OMP4中，OM＝MP4＝4，∴P4（4，4） …………………………………9分
（3）若M（5，0），则符合条件的等腰三角形有7个． …………………………12分
点P的位置如图②所示
七、（本题12分）
25．解：
（1）依题意，每千克原料的进货价为160×75%＝120（元）……………2分
设化工商店调整价格后的标价为x元，
则 0.8x－120＝0.8x×20% 解得 x＝187.5
187.5×0.8＝150（元） ………………………………………………………………4分
∴调整价格后的标价是187.5元，打折后的实际售价是150元．…………………5分
（2）①描点画图，观察图象，可知这些点的发展趋势近似是一条直线，
所以猜想y与x之间存在着一次函数关系．
………………………………………………………………………………………7分
②根据①中的猜想，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
将点（150，500）和（160，480）代入表达式，得
解得
∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋800 ……………………………………………9分
将点（168，464）和（180，440）代入y＝－2x＋800均成立，
即这些点都符合y＝－2x＋800的发展趋势．
∴①中猜想y与x之间存在着一次函数关系是正确的． …………………………10分
③设化工商店这个月销售这种原料的利润为w元，
当y＝450时，x＝175
∴w＝（175－120）×450＝24750（元）
答：
化工商店这个月销售这种原料的利润为24750元． …………………………12分
八、（本题14分）
26．解：
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ………………………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………………………4分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上
∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝－
x2－
x＋8 ………………………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，
∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴
＝
即
＝
∴EF＝
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝
∴
＝
∴FG＝
·
＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝
（8－m）×8－
（8－m）（8－m）
＝
（8－m）（8－8＋m）＝
（8－m）m＝－
m2＋4m ……………………………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………………………………11分
（4）存在．
理由：
∵S＝－
m2＋4m＝－
（m－4）2＋8 且－
＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ……………………………………………12分
∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． …………………………………………………………14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
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