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论文1停车场车位分配问题1资料

停车场车位分配问题

摘要

本文基于SPSS软件模拟、正态总体、随机概率、线性规划等方法对停车场车位分配问题做了探讨。

根据已有的30天停车流量数据，模拟近100天对应时间段的停车流量数据，分析其规律。

最终达到合理分配车位，使得停车收益达到最大。

对于问题

（一）首先，根据附表中30天各时间段的车位流量数求对应空余泊位数时间段上的变化规律。

引入相似系数S,波动系数ξ。

得到了一些有用的结论与规律。

在件模此基础上基于SPSS软拟附表中的停车流量，利用正态总体、随机概率等方法分析停车量的统计规律。

对于问题

（二）根据附表中停车流量数据，以及对停车量的分析，得知在第四个时段早上9:

00—10:

00停车量最多，表明该段时间产生冲突的概率是最大的。

取该段时间停车流量进行分析，将四月份的数据进行整理，绘制高峰期停车量与次数的柱状图，近似服从正态分布，求均值后再用

原则，进而求出最多可以停车的数量，最后求出最大售卡量为233张。

对于问题（三）建立数学线性规划模型解决该问题，对停车位分配问题进行分析,提出将停车位分类定价,即将停车流量分为包年或者包月停车流量和临时停车流量两类。

采用车位分类控制超售的策略。

建立目标函数以及约束条件。

来改善停车场的收益.

关键字：

空余泊位数停车位分配正态总体泊松分布SPSS软件模拟数学规划超售策略

一．问题的重述

某写字楼拥有212个车位，主要供写字楼工作人员办卡包年或包月使用，车位不固定，只要有空闲车位就可以停。

现在的情况是，办卡客户虽然办了卡，但不一定都来停车，且很多车子是流动的，可能早上停进来，中午就走了。

这样，停车场空置率很大，造成了资源浪费，现计划扩大售卡数量和对象。

假定总车位固定不变，请依据附表1中

4月份每天各时段的停车流量数据，建立数学模型回答下列问题：

（1）模拟附表中停车流量，分析停车量统计规律；

（2）定义冲突概率α，求若冲突概率低于α=0.05情形下，计算最大售卡量；

（3）如果你是车位管理员，你如何设计最佳车位分配管理方法，使得收益最大。

二：

问题分析

㈠问题一具体分析

要分析停车量的统计规律。

首先分析该停车场在空余泊位数据时段变化之间的联系。

为探寻停车场空余泊位数时间变化上的规律，定义2个系数：

1）相似系数S以天为单位，将每天k个时间序列数据（若以1h作为时间间隔）作为一个列向量fi，选择欲加以分析的所有数据向量（假设n个），定义相似系数S为各向量两两之间相关系数的平均值，即：

（1）

式中，R（i，j）为两向量相关系数；Cov（fi,fj）为数据向量fi和fj之间的协方差系数．S值越大，表明n个时间段数据向量之间的相似程度越大．结合后面的数据分析设定：

当S>0．98时认为空余泊位数向量之间在时间变化趋势上具有相似性。

同时也说明停车流量数之间具有相似性。

S值的大小仅代表空余泊位数在时间轴上变化趋势的相似性，而要考虑空余泊位数绝对值因素的影响还需定义波动系数ξ．

2）波动系数ξ令向量M=[E（f1），E（f2），⋯，E（fn）]，M的每个元素代表第（1≤j≤30）天各时段空余泊位数的均值．定义波动系数ξ为

（2）

式中，D（M）为M的方差；E（M）为M的均值.ξ值越小，表明各天空余泊位总数间的变化程度越小．结合后面的数据分析设定：

当ξ<0．06时，认为每天各时间段空余泊位数之间在绝对数值上具有相似性。

即停车位流量数之间具有相对性。

根据表1.1知，满足上式关系。

于是，运用SPSS统计软件模拟数据，再对停车流量进行统计分析。

㈡问题二具体分析：

当冲突概率低于α（α=0.05）情形下，计算最大售卡量。

根据附表中停车流量数据，以及对停车量的分析，得知在第四个时段早上9:

00—10:

00停车量最多，表明该段时间产生冲突的概率是最大的。

为计算最大售卡量，需取这段时间停车流量进行分析。

㈢问题三的具体分析：

利用收益管理的方法，将停车位分类定价，并采用超售的策略，提高停车位的利用率，使收益最大化。

三：

符号说明及模型的基本假设

3.1.1符号说明

S相似系数

fi每天k个时间序列数据（以一小时为间隔则k=15）

n所有数据向量的个数

R（i,j）两向量相关系数

Cov（fi,fj）数据向量fi和fj之间的协方差系数

波动系数

M30天各时段空余泊位数的均值构成的向量

E（fj）第j天各时段空余泊位数的均值

D（M）M的方差

E（M）M的均值

sk偏度

ku峰度

3.2.1

α冲突概率；

N——最大售卡量；

M——包月或者包年的停车流量；

Z——表示每天停车场的收益；

（符号修改）

X——各个样本值；

X、0X——样本的平均值；

S、0S——样本的标准差

σ2——总体方差；

S2——样本方差；

E（X）——正态总体期望；

（α）n−1t——自由度为n−1的t分布上的α分位点；

iY——表示各时段临时停车流量；

V——表示车辆的停车时间；

EV——表示每辆车的平均停车时间；

2.1.2基本假设

1.每辆车停车事件是相互独立的。

2.只要有空车位就可以停车，每辆车严格停一个车位；如果没有车位，停车车主会选择立刻离开。

3.理想情况下，各时段停车流量的增长比例与有停车卡的车主的增长比例相同。

4.目前该停车场不提供临时车位，只允许包月或包年客户使用；

5.假设汽车来到停车场的时间服从均匀分布。

6.假设忽略工作日和休息日的区别。

7.该停车场不采取超售策略，即共售出包月或包年的卡212张；

三、问题的分析及模型的建立与求解

3.1问题一的求解

3.1.1首先利用Excel表格算出4月份每一天各时间段的空余泊位数（已知总停车位是212个），利用它根据上面列出的公式

（1）、

（2）分别求相似系数和波动系数。

求出（平均）相似系数S=0.9878>0.78，（平均）波动系数ξ=0.0108<0.06

相似系数

0.9878

波动系数

0.0108

（表1.1）

结果表明该写字楼停车空余泊位数具有相似性，即停车流量具有相似性。

那么，对各个时间段的停车流量做近似模拟。

3.1.2对各个时间段的停车流量做近似模拟。

考虑到题目中统计资料以及相关数据较少，建立一个准确的数据模型比较困难，因此我们使用SPSS软件进行数据模拟。

先根据附表中的统计数据算出其各个统计量。

（表1.2）

由表2可看出，其偏度sk与峰度ku都较小，说明该数据较真实可靠。

各时间段内停车流量概率分布应当服从同一种分布，因此我们以8：

00—9:

00这一时间段为例来说明我们的模拟。

首先，求出该时段停车流量的数目和其对应的频率。

（表1.3）

根据直方图单峰、对称的性质，我们采用SPSS软件中的正态分布函数来模拟它。

（表1.4）

（注：

可用相同的方法模拟出其他时间段的停车流量，详见附表）。

（表1.5）

我们将模拟的结果与实际结果做一下比较，如下表6示：

（表1.6）

由上表可知，大多数数据的频率都较接近，说明拟合较好。

3.1.3分析停车流量的统计规律

我们使用与3.1.2中相同方法求出其它各个时间段的30个模拟数据，详见附表

首先，我们针对原始数据对于出现最大停车量的时间段及其出现概率进行分析：

表1.7原始数据中最大停车流量出现时间段次数统计

表1.8模拟数据中最大停车流量出现时间段次数统计

从中比较后不难发现，模拟数据和原始数据非常接近，出现最大停车里流量的时间段及其出现概率也十分接近，并且，每一天各时间段进行对比，最大车流量都出现在9：

00—10:

00、11:

00—12:

00这两个时间段。

各由此可见，该停车场停车流量的峰值主要出现在9:

00——10:

00和11:

00——12:

00这两个时间段。

接下来我们应用如下公式计算各时段的均值、标准差、偏度、峰度。

样本均值：

样本标准差：

样本偏度：

样本峰度：

表1.9根据模拟值得到8:

00—9:

00时间段内各个统计量

据此我们可以得到各个时间段的统计量。

再根据附表中原数据制作下表1.10

根据以上图表、数据，我们得到如下规律：

1.停车量的高峰期出现在8:

00到18:

00的时间段里，值得注意的是9：

00到12:

00出现了停车量的最高峰。

2.标准差也和停车量一样出现两边低中间高的情形，并且也是在9:

00到13:

00出现了当日最大车流量，标准差亦很大，进而说明在这三个小时内停车量很大，同时汽车的流通量也很大，是一天当中最为繁忙的时间段。

3.偏度和峰度基本上比较接近，说明这些天之内出现停车流量忽高忽低的情况还是比较少的，停车流量比较平稳的。

问题

（二）模型的建立与求解

2.1.1符号定义与说明

2．1.2型建立与求解

◆定义冲突概率

：

停车场发生冲突也就是来到停车场的车的数量比停车场车位的数量多。

定义可以有两种可能：

①一天中有α（α=0.05）个时间段出现车位不够的现象

②当停车场的车辆数目大于车位数的

时为冲突

据题意，选用第二种方式定义冲突概率

，即：

◆求最大售卡量：

已知各时间段的停车流量

，目的是要求出各个时间段的停车量Ni。

停车流量是单位时间内来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的和，单位时间的停车量则是来到停车场的车辆数目与离开停车场的车辆数目的差值。

这两者的关系如下面两式所示：

（4）

（5）

由

（1）式，

（2）式可知：

（6）

因此，问题的关键就是要求出

。

由假设第三条即：

假设车辆在各个时间段离开的数量服从泊松分布:

再根据假设第一条即：

假设在第

个时间段初了最后一个时间段来到停车场停车的车辆不会在这个时间段离开，都是在第

之后的时间段离开，就可以列出以下式子：

第1个时间段：

；

；

第2个时间段：

；

；

；

第3个时间段：

；

；

；

第

个时间段：

；

；

；

用上述计算公式即可计算出单位时间内也就是每个时间段的进入停车场车辆的数目和离开停车场车辆的数目。

用折线图2.1来表示如下图所示：

图2.2停车场各时间段所停的车辆数

表2.3

从图2.1，图2.2和表2.3中可以看出，在9点以前停车量是不断上升的，在9点到10点之间有一个停车量最大值，然后就是稍稍下降和持平。

到了11点，出现一次明显的下降，在15点时有一个较小的峰值，等到16点之后，停车量迅速减小直至所有车都离开停车场。

由第一问可知，第四时间段即9:

00—10:

00停车量是最多的，所以这个时间段发生冲突的概率最大，若其他时间段发生了冲突，那么这个时间段必然也会发生冲突。

因此，想要得到最大售卡量，只要考虑这个时间段即可。

以9:

00—10:

00这个时间段来到停车场的车辆数目为横坐标，以达到相同来车数目的次数为纵坐标作柱状图得到这个时间段即最高峰来车数分布直方图如下图所示：

从上图可以看出，第四时间段来车分布近似服从正态分布。

整理第四个时间段数据得出：

第4个时间段来到停车场车辆数目的均值为：

χ（均值）=160.53

方差S=52.78

第4个时间段来到停车场车辆数目的中位数：

M=161

正态分布检验：

可认为样本大致呈正态分布

根据正态分布的

原则，在3倍

的区间内事情发生的概率为99%，也就是说有160+12=172辆车停在停车场的概率为99%。

由于该停车场有212各车位，允许发生冲突的概率为0.05，所以该时间段的停车上限为212*1.05=223，所以，加上冲突后可以多让223-172=51个人来停车。

假设持卡人来停车的概率为

，那么计算最大售卡量的公式为：

的得来：

根据可能来到停车场中的车和在停车场中的车与时间段作散点图，并连成折线图如下图所示：

实现代表可能到停车场的车，虚线代表已经在停车场中的车。

插折线统计图

从图中可以看出，还没到停车场中的车辆数目也就是有卡却遭遇冲突的车辆数目，因此：

J=1-0.4=0.6

综上所述：

当

时，最大售卡量L=212+21=233（张）。

㈢问题三的求解

★假设停车位的出售分为两类，一类是包年或包月的停车流量，称为第Ⅰ类。

另一类是临时请求停车的停车流量，称为第Ⅱ类。

所有的停车位的服务都是无差异的。

＊第Ⅰ类车位，包年或包月的总数为u，而顾客在包年或包月后可能会由于某些原因，没能到达停车场接受服务。

假设实际出现的客户数为Z1服从Bino（u,p），其中p为包年或包月顾客实际到达的概率。

＊第Ⅱ类实际到达的客户数Z2服从参数为λ的泊松流。

第Ⅰ类车位顾客的单位收益为r1，第Ⅱ类车位顾客的单位收益为r2，第Ⅰ类顾客请求包年或包月，但停车场拒绝其请求，则损失机会，机会损失为r1’,若实际到达但停车场不能为之提供服务，则赔偿金为r1’’，第二类客户实际到达但不能提供车位，机会损失为r2’.

由于采用超售策略，包年或包月的顾客到达时，可能出现不能提供车位的情况。

设x1为第Ⅰ类实际到达顾客Z1中能够提供服务的车位数，x1’为第Ⅰ类实际到达的车流量却不能提供服务的人数，即有x1+x1’=Z1，（u-x1）为超售的车位数。

x2为接受第二类顾客请求的数量，x2’为拒绝第二类顾客请求停车的数量。

则收益为r1u—r1’’x1’+r2’x2’,可建立以下模型：

（1）

（2）

（4）

则有：

（5）

将（5）式带入（3）式得

（6）

依次求当u=cl，Cl4-1，Cl4-2··时（c为最少供第1类顾

客使用的车位数），满足（6）式的μ即为最优预定数μ*。

四、模型分析

模型一：

本模型引进两种系数。

采用SPSS软件对各个时间段的停车流量进行了模拟，得出相应的模拟值，通过与原始数据相比较可知，模拟较好，数据也较真实可靠。

模型二：

本模型是基于正态总体的区间估计建立的，结合了正态分布的相关知识，将置信系数定位为0.95，可行度较高，而且最终结论最大售卡数233也比较符合实际。

模型三：

本数学规划模型的建立对停车位分配问题进行分析。

将停车流量分为包年或者包月停车流量和临时停车流量两类，这在实际中常常被使用。

六、模型的改进

模型一：

仅考虑停车流量，应将停车流量改进为入库车流量和出库车流量，当然要去除进入车库而没有停车就出库的车流量，这样将有利于从入库、出库两方面全面分析相关车流量数据，建立更好的模型，从而得出更准确的结论。

模型二：

通过数据的具体分析来重新确定初始的有停车卡的车辆数，当停车卡销售量增加时，各时段的停车数的变化规律可能需近一步分析，得到更准确的均值和标准差。

模型三：

可以借鉴现今社会当中的某些管理的比较成功的社区车辆管理模式来建立更实际的数学模型。

七参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊编《数学模型（第三版）》，高等教育出版社

[2]韩中庚，数学建模方法及其应用[M]，北京：

高等教育出版社，2009.

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浙江大学出版社，2009.

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