高中数学必修五全套课件ppt讲义幻灯片.ppt
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1.1.1正弦定理,复习三角形中的边角关系,1、角的关系2、边的关系3、边角关系,大角对大边，小边对小角,
（一）三角形中的边角关系,
（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）,1、角的关系2、边的关系3、边角关系,探索：
直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
正弦定理及其应用,1、正弦定理形式的提出,正弦定理的推导：
证明：
如图，圆O为ABC的外接圆，BD为直径,则A=D,证明：
类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立,2、正弦定理的向量证明,想一想：
如何用向量法证明正弦定理？
BA在Y轴上的投影为,CA在Y轴上的投影为,公式变形式：
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC,利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下,两类问题：
1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。
AAS,2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
SSA,（从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题）,例1.在ABC中，已知c=10，A=45o，C=30o，求a,b和B.,例2.在ABC中，已知c=1,求a,A,C.,例3.在ABC中，已知a=2,求b和B,C.,随堂练习,D,C,A,解：
由正弦定理：
为什么有两解的情况？
A是锐角时,知识归纳,已知两角及一边解三角形一定只有一解。
已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、,absinA时无解。
a=bsinA时一解,absinA时,若ba时两解，ba时一解,A为直角或钝角时,ab时有一解，,一解或两解。
ab时无解。
4、在ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的_条件。
A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分也不必要,C,5、在ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是A、0B、1C、2D、无数个,A,B,例4在三角形ABC中已知试判断三角形ABC的形状,C,3或6,课堂小结：
作用：
1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。
2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角,3）可以进行边角之间的互化。
注意：
已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。
又A=30o,B=45o,所以C=105o,例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？
有解的作出解答。
本题无解。
本题有两解。
B=60o或120o,当B=60o时，C=90o.,当B=120o时，C=30o.,ba,BA=45o,有两解B=60o或120o,1）当B=60o时，C=75o,2）当B=120o时，C=15o,（例2变式）,所以此三角形为等腰直角三角形,形状。
所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。
练习：
（1）在中，一定成立的等式是（）,C,
（2）在中，若，则是（）A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D等边三有形,D,正弦定理,练习：
（3）在任一中，求证：
证明：
由于正弦定理：
令,等式成立,=右边,正弦定理,课后作业,
（2）在中，若，则的形状,余弦定理,复习回顾,正弦定理：
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
AAS,
（2）已知两边和一边的对角。
SSA,变形：
千岛湖,3.4km,6km,120,）,情景问题,?
千岛湖,千岛湖,情景问题,3.4km,6km,120,）,?
3.4km,6km,120,A,B,C,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求AC,用正弦定理能否直接求出AC？
）,余弦定理,C,B,A,a,b,c,c2a2+b2,c2a2+b2,看一看想一想,直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动,勾股定理仍成立吗？
c2=a2+b2,是寻找解题思路的最佳途径,c=,?
c2=,=,?
?
?
算一算试试！
联想,C,B,A,c,a,b,探究：
若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.,C,B,A,c,a,b,余弦定理,探究：
若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.,对余弦定理，还有其他证明方法吗?
证明：
以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
解析法,证明,当角C为锐角时,几何法,当角C为钝角时,余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
证明,证明：
在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CDAB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA,同理有：
当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。
余弦定理,a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC,你能用文字说明吗？
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
归纳,变一变乐在其中,a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC,变形,归纳,想一想：
余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？
a2+b2=c2,问题1：
勾股定理与余弦定理有何关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.,问题2：
公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美;,剖析定理,
（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）,剖析,思考：
已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？
如：
已知b=4,c=,C=60求边a.,（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？
剖析定理,剖析,在ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，B=120o，求AC,解决实际问题,解：
由余弦定理得,答：
岛屿A与岛屿C的距离为8.24km.,剖析定理,（4）能否把式子转化为角的关系式？
分析：
剖析,
（1）已知三边求三个角SSS,问题3：
余弦定理在解三角形中的作用是什么？
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.SAS,剖析定理,剖析,例题解析,例题解析,课堂提高,练习1.,C,课堂提高,练习2.,课堂提高,练习3.,C,会用才是真的掌握了,余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？
角边角角角边边边角边角边边边边,正弦定理,余弦定理,运用,2、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判断ABC的形状.,A,D,C,B,）300,）450,3、如图所示，已知BD=3，DC=5，B=300，ADC=450，求AC的长。
例题讲解,1、在ABC中,若a10，b12，c9，解这个三角形。
练一练：
1、已知ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。
变一变：
若已知三边的比是:
2:
1,又怎么求？
再练：
2、已知ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。
解：
由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=4+9-223=7BC=,3、以2、3、X为三条边，构成一个锐角三角形，求X的范围。
继续练,思考：
（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状,分析：
三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。
（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积,分析：
三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC（cosA或cosB）,然后求出sinC（sinA或sinB）代入面积公式即可。
2.余弦定理,3.由余弦定理知,1.证明定理:
课堂小结,向量法、解析法、几何法,
（1）已知三边求三个角；（SSS）,
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.（SAS）,5.余弦定理的作用,（3）判断三角形的形状，求三角形的面积,4.余弦定理适用于任何三角形,课后作业：
1.在ABC中,已知b4,c10,B30o,解这个三角形。
2.设x、x1、x2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围.,3.在ABC中,A60o,a1,bc2,判断ABC的形状.,4.三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x27x60的根，求这个三角形的面积.,复习目标：
1、进一步熟悉正余弦定理内容;,2、能够应用正余弦定理进行边角关系的相互转化;,3、能够利用正余弦定理判断三角形的形状;,4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。
复习重点：
利用正余弦定理进行边角互换,难点：
1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向,2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系,的寻求。
正、余弦定理,复习回顾,正弦定理：
可以解决几类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
AAS,
（2）已知两边和一边的对角。
SSA,变形：
（1）已知三边求三个角；（SSS）,
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.（SAS）,余弦定理的作用,（3）判断三角形的形状，求三角形的面积,解三角形中常用的关系式:
角平分线性质,圆内接四边形对角互补,由余弦定理易得:
三角形面积计算公式,练习题,圆半径,A,2、在ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A、直角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形,C,3、在ABC中，若a=6,b=7,c=8,则ABC的形状是A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定,A,5、在ABC中，cosAcosBsinAsinB,则ABC为A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形,C,（事实上，C为钝角，只有C项适合）,D,6、在ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于A、30oB、60oC、120oD、150o,A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形,D,C,等腰三角形,10、在ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB,则ABC是_,钝角三角形,等腰三角形,锐,例2、已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
解：
连接BD,（例1变式）,（三维）,边长和外接圆面积。
（例1变式）,试判断三角形的形状。
三角形ABC是正三角形,（三维）,例6、根据所给条件，判断三角形ABC的形状。
ABC是等腰三角形或直角三角形,tanA=tanB=tanC,ABC是等边三角形,（例1变式）,小结,1、正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形,的四个元素，如果其中三个元素是已知的（其中至少有,一边），那么这个三角形一定可解。
2、正弦定理和余弦定理的特殊功能是边角互换，即,利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角,的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决。
3、判断三角形的形状，一般考虑从两个方向进行变,形。
一个方向是边，走代数变形之路，通常正、余弦,定理结合使用;另一个方向是角，走三角变形之路，,通常是运用正弦定理，要注意边角转化的桥梁-,正、余弦定理。
4、根据条件选用定理可使解题简便,1）已知两角及其中一个角的对边，选用正弦定理，,如已知A,B,a解三角形，则用正弦定理。
2）已知三边a,b,c,一般选用余弦定理求角,3）已知两边和它们的夹角，用余弦定理求第三边,再用正弦定理求角。
4）已知两边和一边的对角，用正弦定理求一个角，,但需要进行讨论，有两解的可能。
2.1数列的概念与简单表示法,4,5,6,7,8,1,5,6,7,8,1,2,3,3,4,2,64个格子,1,2,2,3,3,4,4,5,5,1,6,6,7,7,8,8,OK,4,5,6,7,8,1,4,5,6,7,8,1,2,3,3,2,64个格子,你认为国王有能力满足上述要求吗,每个格子里的麦粒数都是,前,一个格子里麦粒数的,2倍,且共有,64,格子,麦粒总数,?
？
?
1844,6744,0737,0955,1615,三角形数,1,3,6,10,.,正方形数,1,4,9,16,观察下列图形：
提问：
这些数有什么规律吗？
一.定义：
按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
（1）三角形数：
1,3,6,10,.,
（2）正方形数：
1,4,9,16,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（3）4，5，6，7，8，9，10；（4）10，9，8，7，6，5，4；,数列中的每一项都和它的序号有关，排第一位的数称为这个数列的第1项（通常叫做首项），,排第二位的数称为这个数列的第2项，排第n位的数称为这个数列的第n项.,数列的一般形式可以写成：
其中是数列的第n项，上面的数列又可简记为,
（1）三角形数：
1,3,6,10,.,
（2）正方形数：
1,4,9,16,按照一定顺序排列着的一列数叫数列。
（1）三角形数：
1,3,6,10,.,
（2）正方形数：
1,4,9,16,一.定义：
按照一定顺序排列的一列数叫数列。
思考1：
数列4，5，6，7，8，9，10；数列10，9，8，7，6，5，4；是否相同？
思考2：
数列中的数是否可以重复？
如：
数列1，1，1，1，。
项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。
是有穷数列项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，是无穷数列,1）根据数列项数的多少分：
二.数列的分类：
P28观察,有穷数列：
无穷数列：
2）根据数列项的大小分：
递增数列：
递减数列：
常数数列：
摆动数列：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
各项相等的数列。
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列,全体自然数构成数列：
19962002年某市普通高中生人数（单位：
万人）,0，1，2，3,.,82，93，105，119，129，130，132.,构成数列,无穷多个3构成数列,3，3，3，3，3,.,目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列（单位:
元）,100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01.,-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂构成数列,-1，1，-1，1,.,递增数列,递减数列,常数列,递增数列,摆动数列,以下数列属于哪种分类？
观察下列数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？
12345.,项,序号,2，4，6，8，10，,12345,序号,项,数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数。
三.数列的表示：
n,n,2n,数列与函数的关系:
数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集,于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列,数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，4，,n）为定义域的函数an=f（n）,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。
思考,正方形数：
1,4,9,16,通项公式可以看成是数列的函数解析式。
如果只知道数列的通项公式，那能写出这个数列吗？
根据下面数列的通项公式，写出它的前5项：
例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
练习：
P311,3,4,数列2，4，6，8，10，其通项公式是：
图象为：
an1098765432,012345n,例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。
an30272421181512963,o,12345n,问题：
如果一个数列an的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，即an=2an-1+1（nN，n1），（）,你能写出这个数列的前三项吗？
递推公式,例3设数列满足,写出这个数列的前五项。
练习：
P312,例3设数列满足,递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可,观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
练习题,写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
练习题,练习:
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
讲解范例:
例2.已知数列an的通项公式为anlog2（n23）2，求log23是这个数列的第几项？
例1.求数列2n29n3中的最大项.,1.由数字1，2，3，4四个数字一共可以组成多少个不同的数列？
2.已知数列an的通项公式为，试判断和是不是它的项？
如果是，是第几项？
练习题,补充练习,小结,1、数列的定义2、数列的实质特殊的函数（离散函数）3、数列的通项公式4、数列的表示方法：
列表法，通项公式法，图象法，递推公式法,等差数列,同学们好,教学目标及重点难点,教学目标1.理解等差数列的概念，理解并掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决简单的问题。
2.培养学生的观察能力，进一步提高学生的推理归纳能力。
重点难点1.等差数列概念的理解与掌握2.等差数列通项公式的推导及应用3.等差数列“等差”特点的理解、把握及应用,复习导入,请看以下几例：
4，5，6，7，8，9，10，3，0，-3，-6，-9，-12，1/10,2/10,3/10,4/10,5/103，3，3，3，3，3，3，,你还记得吗？
数列的定义给出数列的两种方法,创设问题情境，引入新课,得到数列：
6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000,等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
公差通常用字母d表示。
返回,等差数列的公差,公差d1.an-an-1=d（n2）（数学表达式）,3.d的范围dR,2.常数如2，3，5，9，11就不是等差数列,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
例:
已知三个数2，x，98成等差数列，求x,等差数列的通项公式,如果等差数列an的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：
a2-a1=d,a2=a1+d,由此得到an=a1+（n-1）d,返回,an-a1=（n-1）d,an-an-1=d,a4-a3=d,a3-a2=d,an=a1+（n-1）d,a4=a1+3d,a3=a1+2d,（题型一）求通项an,例1：
a1=1,d=2,则an=?
解：
an=1+（n1）2=2n1,已知等差数列8，5，2，求an及a20,解:
由题a1=8,d=58=3,a20=49,an=8+（n1）（3）=3n+11,练习1：
已知等差数列3，7，11，则an=_a4=_a10=_,4n-1,15,39,an=a1+（n1）d（nN*）,（题型二）求首项a1,例2：
已知等差数列an中，a20=49,d=3，求首项a1,解：
由a20=a1+（201）（3）,得a1=8,练习2：
a4=15d=3则a1=_,6,an=a1+（n1）d（nN*）,例3：
判断400是不是等差数列5，9，13，的项？
如果是，是第几项？
解：
a1=5,d=4，an=5+（n1）（4）,假设-400是该等差数列中的第n项，则400=5+（n1）（4）,所以400不是这个数列的项,an=a1+（n1）d（nN*）,（题型三）求项数n,练习3：
100是不是等差数列2，9，16，的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由.,an=a1+（n1）d（nN*）,（题型四）求公差d,例4：
一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。
求公差d及中间各级的宽度。
分析：
用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。
解：
由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+（n-1）d得110=33+（12-1）d解得d=7,从而可求出a2=33+7=40（cm）a3=40+7=47（cm）a4=54（cm）。
an=a1+（n1）d（nN*）,总结：
在an=a1+（n1）d，nN*中，有an,a1,n,d四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？
an=a1+（n1）d（nN*）,（题型五）综合,例5：
在等差数列an中已知a3=10,a9=28,求a1、d及an,an=4+（n1）3=3n+1,an=a1+（n1）d（nN*）,解法1：
由an=a1+（n1）d,猜想：
任意两项an和am（nm）之间的关系：
证明:
am=a1+（m1）d,an=a1+（n1）d（nN*）,an=a1+（n1）d,a1=am-（m1）d,=am-（m1）d+（n1）d=am+（n-m）d,an=am+（n-m）d,例5：
在等差数列an中已知a3=10,a9=28,求an,an=am+（nm）d（n、mN*,nm）,an=a3+（n-3）3,解法2：
a9=a3+（93）d（nN*）,28=10+6dd=3,=10+（n-3）3=3n+1,等差数列的应用,例1.1）等差数列8，5，2,的第20项是几？
2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？
如果是，是第几项？
解：
1）由题意得，a1=8,d=-3,2）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401,an=a1+（n-1）d,n=100-401是这个数列的第100项。
a20=a1+19d=8+19（-3）=-49,-401=-5+（n-1）（-4）,课堂练习
（二）,1）求等差数列3，7，11的第4项与第10项。
答案：
a4=15a10=39,2）100是不是等差数列2，9，16的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由。
答案：
是第15项。
3）-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？
如果是，是第几项？
如果不是，说明理由。
解：
a1=0,d=-3.5,-20不是这个数列中的项。
n=47/7,-20=0+（n-1）（-3.5）,等差数列的应用,例2.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。
解：
由题意，a5=a1+4da12=a1+11d,解之得a1=-2d=3,若让求a7，怎样求？
即10=a1+4d31=a1+11d,课堂练习（三）,1.在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12,答案：
a12=0,2.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8,解：
由题意得，a1+d=3,a1+3d=7,a6=a1+5d=1+52=11a8=a1+7d=1+72=15,a1=1,d=2,课堂练习,在等差数列an中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an,解：
a10=a1+9d=2+93=29,2）已知a1=3,an=21,d=2,求n,解：
21=3+（n-1）2n=10,3）已知a1=12,a6=27,求d,解：
a6=a1+5d,即27=12+5dd=3,4）已知d=-1/3,a7=8,求a1,解：
a7=a1+6d8=a1+6（-1/3）a1=10,课堂练习：
2.求等差数列2，9，16的第10项,100是不是这个数列的项。
如果是，是第几项？
1.等差数列-5，-1，3的公差是（）,A.4B.-4C.8D.-8,3.等差数列中，已知a3=9,a9=3,则a12=_,4.数列an中,a1=,an+1=an-（nN*）,则通项an=（）,5.已知等差数列的前三项依次为：
a-1,a+1,a+3,则此数列的通项为（）,A.an=2n-5B.an=a+2n-3,C.an=a+2n-1D.an=2n-3,A,0,D,A.,B.,D.不能确定,C.,C,1.求出下列等差数列中的未知项:
（1）2，a，6
（2）8，b，c，-4,（3）8，b，-4，c,2.已知a,b,c成等差数列，求证：
b+c,c+a,a+b成等差数列,例1：
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