第 2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题.docx
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第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题
第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题相交线与平行线动点提高题第2讲知识点：
、平行线的判定：
1①同位角相等，两直线平行。
②内错角相等，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
2、推论：
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
3、平行线的性质：
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
4、平移：
①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。
②对应点的线段平行且相等。
平移：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
典型例题
例1.
（1）如图
（1），EF⊥GF，垂足为F，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图
（2），AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=147°，∠C=______．（直接给出答案）
（3）如图（3），CD∥BE，则∠2+∠3-∠1=______．（直接给出答案）
（4）如图（4），AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：
BE∥CF．
CD．1）：
AB∥解（°．AEF+∠EFH=180AB理由：
如答图，过点F作FH∥，则∠°，∵∠AEF=150°，∴∠EFH=30GF，EF又∵⊥°．-30°°=60∴∠HFG=90°，又∵∠DGF=60，DGF∴∠HFG=∠
∴HF∥CD，
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----2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题第；AB∥则CD于点F．BC
（2）延长ED交∥DE，∵ABBFD=110°，CFE=180∴∠BFE=∠ABC=70°，则∠°-∠°，=37∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°°；故答案是：
37ACF（3）延长DC交AB于点F，作△的外角∠4．，∵CD∥BE，∴∠DFB=∠3又∵∠DFB+∠2+∠4=360°，∴∠2+∠3+∠4=360．∠42+∠3=360°-°，即∠=180°，1=360°-180°°2+∠3-∠1=360-∠4-∠∴∠180°；故答案是：
．交直线CD于点G（4）延长BEAB∥CD，∵，∠BGD∴∠ABE=，∠DCF又∵∠ABE=，∠DCF∴∠BGF=CF．∴BE∥平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．例2.
；B-∠∠D在）如图（11若AB∥CD点PAB、CD外部求证：
∠BPD=
说明理由：
若
（2）将点1）中的结论是否成立若成立（AB、CD内部如图2P移到
D之间有何数量关系不必说明理由；、∠不成立则∠BPDB、∠
则∠将直线AB绕点3于点Q如图B逆时针方向旋转一定角度交直线CD中3（）在图2
并证明你的结论；、∠、∠BPDB、∠DBQD之间有何数量关系（4）在图．n=______×∠∠E+F+∠G=n90°则∠∠∠4中若∠A+B+C+D+
，）∵AB∥CD1解（
，B=∴∠∠BOD而∠DBPD+∠∠，BOD=BPD+B=∴∠∠∠D，；DB-BPD=即∠∠∠（B+∠D∠．BPD=12）（）中的结论不成立，∠PQ作∥2，如图AB，CDAB∵∥，PQ∥AB∴∥，CD13
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初一相交线与平行线动点提高题压轴题讲---第-2，∠D∴∠1=∠B，∠2=；∠D∴∠BPD=∠B+．理由如下：
∠BQD3）∠BPD=∠B+∠D+（，，如图3连结QP并延长到E，∠DQPB+∠BQP，∠2=∠D+∵∠1=∠DQP，∠B+∠BQP+∠D+∠∴∠1+∠2=BQD；∴∠BPD=∠B+∠D+∠4，（4）连结AG，如图FAG，B+∠F=∠BGA+∠∵∠=°∠G=（5-2）×180∠G=∠A+∠FAG+∠C+D+∠E+∠BAG+∠∴∠A+∠B+C+∠D+∠E+∠F+∠°，6×90．∴n=6．故答案为6ABBDACBDABAC把平面分成①、②、③、④四个，直线例3.如图，直线∥及线段，连结、PBPAP，构成部分，规定：
线上各点不属于任何部分。
当动点、落在某个部分时，连结0PBDPACAPB）三个角。
（∠提示：
、∠有公共端点的两条重合的射线所组成的角是、∠°＝∠PAC＋∠PBD；
（1）当动点P落在第①部分时，求证：
∠APB是否成立（直接回答成立或不成立）？
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBDP、∠APB、∠PBD之间的关系，并写出动点（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC的具体位置和相应的结论。
选择其中一种结论加以证明。
③③③AAACCC
P①①②②①②
DDDBBB④④④）题图第（5191）解法一：
如图（-EACBP交直线延长于点∠PBD.AC∥BD∠PEA=,∴∵
∠PAE+∠PEA∠APB,=∵
∠PAC+∠PBD.∠APB∴=29-解法二：
如图
FP∥AC,P过点作∠APF.∠PAC=∴
D.FP∥BAC∥BD∵,∴PBDFPB.=∠∴∠PBDFPBAPBAPFPAC.+∠+=∠∴∠∠=∠39，-解法三：
如图
180∠CABABDAC∥BD∠+∴∵°=,
180PBD∠∠PAC∠PAB∠PBA即=++°.+180PABAPBPBA=+∠又∠+∠°,
PBD.APBPAC+=∠∴∠∠2.）不成立（BA3Pa（）（在射线）当动点的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.
BAbP）当动点（在射线上，
∠PBD∠APB.∠PAC+=结论是0∠APB∠APB或∠PACPBD=或°，=∠+
∠PAC∠PBD.=（任写一个即可）BAPc的左侧时，当动点）（在射线13
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
∠PAC∠APB∠PBD.=+结论是a）证明：
选择（
94PA，PBACM，连接交于如图连接-AC∥BD,∵
∠PMCPBD.
=∠∴
∠PMC∠PAM∠APM,+=又∵∠PBD∠PAC∠APB.=∴+b95证明：
如图选择（-）
PBA∠APB0°.∵点在射线=上，∴
∠PAC∠PBDAC∥BD.∵=,∴∠APB∠PACPBD∴∠+=APBPBDPAC或∠+∠=∠∠PBD∠PAC∠APB0.==°，或c证明：
）选择（FPBAC96PA如图交-，连接，连接于∠PFA∠PBD.ACBD=,∴∵∥∠PFA∠PAC∠APF=,+∵
考点训练一．选择题3=2）∠2；（1．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
（1）∠1=∠）°，其中正确的个数是（5=180°；（4）∠4+∠∠4；（3）∠2+∠4=90
4
．．3D．1B．2CA【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答．解：
∵纸条的两边平行，；∠2（同位角）∴
（1）∠1=；4（内错角）
（2）∠3=∠°（同旁内角）均正确；∠5=180（4）∠4+°，又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°，正确．∠4=90∴（3）∠2+D故选：
．PP，从A0B=40°．在射线OB上有一点2．如图，∠A0B的两边OA，OB均为平面反光镜，∠）的度数是（反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB点射出一束光线经OA上的Q点反射后，
°．120100C．°D60A．°B．80°【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可．QPB=180°；AOB=40°，∠PQR+∠∠解：
∵QR∥OB，∴∠AQR=，∠PQO+RQP=180°（平角定义）∵∠AQR=∠PQO，∠AQR+∠°，∠AQR=1002∴∠PQR=180°﹣=80°．100∴∠QPB=180°﹣°B．故选：
）（∠°，则∠°，∠，∠l∥．如图，直线3lA=125B=851+2=2113
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
40°．36°D．A．30°B．35°C的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得作lA作l的平行线，过点B【分析】过点21°，然后计算∠ABD=180∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠3=∠1，∠4=即可得解．l的平行线，l的平行线，过点B作解：
如图，过点A作21，，∠4=∠2∴∠3=∠1，∵l∥l21，∴AC∥BD°，∴∠CAB+∠ABD=180°，180°=30∠∴∠3+4=125°+85°﹣°．1+∠2=30∴∠．故选：
A）（沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=4．如图，把矩形ABCD
．20°°C．40°DA．80°B．70，则∥BC4=∠B=90°，又AD4点作GH∥AD，则∠2=∠，根据折叠的性质∠3+∠G【分析】过=70°．4=90°﹣20°1=HG∥BC，根据平行线性质得∠∠3=20°，所以∠2∠，如图，GHG点作∥AD解：
过，∴∠2=∠4折叠，∵矩形ABCD沿直线EF°，4=∠B=90∴∠3+∠，AD∥BC∵∥BC，HG∴∠3=20°，∴∠1=°=70°，∴∠4=90°﹣202=70°．∴∠B．故选的周长是DCE，EC=3cm，则△平移得到的，且5．如图，已知DE由线段ABAB=DC=4cm）（
2cm
1D1cm．．A．9cmB．10cmC1，则四边形16cm，若DEF△ABC的周长为△2cmBCABC．如图，将6△沿方向平移得到）ABFD的周长为（
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讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题第-2
8cm
0cmD．1．B22cmCA．16cm．2
二．填空题开渠，能使所开的AB，垂足为B，然后沿中，先作1.如图，计划把河水引到水池AAB⊥CD渠道最短，这样设计的依据是．连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短
且垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，【分析】解：
根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，AB开渠，能使所开的渠道最短．∴沿故答案为：
连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．方向平移到如图所示的虚线处后绕点并将三角板沿OB．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，222度．OA的夹角α为M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线
，即可得答案．WMS=∠OWM，再由平行线的性质可得∠【分析】由平移的性质知，AO∥SM，AO∥SM解：
由平移的性质知，°；WMS=∠OWM=22故∠．故答案为：
22的面，则△ACE，△ABD的面积为16AE=4∥BD，点C在BD上，若，BD=8AE3．如图，直线8．积为
的面积可ABD【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△的面积即可．求出高，然后求△ACE，为底时，设高为hABD解：
在△中，当BDh′，AEC在△中，当AE为底时，设高为，AE∵∥BD′，∴h=h，16的面积为，BD=8ABD∵△．h=4∴13
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
=×4×4=8则△ACE的面积．
三．解答题
1．如图，已知，l∥l，C在l上，并且CA⊥l，A为垂足，C，C是l上任意两点，点B122111231在l上．设△ABC的面积为S，△ABC的面积为S，△ABC的面积为S，小颖认为S=S=S，3222133121请帮小颖说明理由．
【分析】根据两平行线间的距离相等，即可解答．
解：
∵直线l∥l，21∴△ABC，△ABC，△ABC的底边AB上的高相等，321∴△ABC，△ABC，△ABC这3个三角形同底，等高，312∴△ABC，△ABC，△ABC这些三角形的面积相等．312即S=S=S．3122．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：
（1）∠EDC的度数；
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．
【分析】
（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由DE为角平分线，即可确定出∠EDC的度数；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义求得∠BEF的度数，根据平行线的性质求得∠FED的度数，则∠BED即可求解．
解：
（1）∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=80°，
又∵DE平分∠ADC，
EDC=∠ADC=40∴∠°；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD．
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=n°，
又∵BE平分∠ABC，
ABE=n°，∴∠
∵EF∥AB，
ABE=n°，BEF=∠∴∠∵EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC=40°，
BED=n°∴∠+40°．
3．△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A′B′C′，若B的对应点B′的坐标是（4，1）．
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---初一相交线与平行线动点提高题压轴题第-2讲′；B
（1）在图中画出△A′′C下平移了21向个单位长度，此次平移可看作将△
（2）ABC左个再向平移了单位长度得△A′B′C′；
（3）△A′B′C′的面积为10．
【分析】
（1）根据“B的对应点B′的坐标是（4，1）”的规律求出对应点的坐标，顺次连接即可．
（2）通过作图可直接得到答案是：
向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．
（3）平移后的面积与原面积相同，可用补全法求面积．
解：
（1）如图．
（2）向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度．（平移的顺序可颠倒）
（3）把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A′B′C′的面积=△ABC的面积为=24﹣4﹣4﹣6=10．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：
①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
4．实验证明，平面镜反射光线的规律是：
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=76°，∠3=90°．
（2）在
（1）中，若∠1=55°，则∠3=90°；若∠1=40°，则∠3=90°．
（3）由
（1）、
（2），请你猜想：
当两平面镜a、b的夹角∠3=90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？
【分析】
（1）根据入射角与反射角相等，可得∠1=∠5，∠7=∠6，根据邻补角的定义可得∠4=104°，根据m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，根据三角形内角和为180°，即可求出答案；
（2）结合题
（1）可得∠3的度数都是90°；
（3）证明m∥n，由∠3=90°，证得∠2与∠4互补即可．
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
解：
（1）∵入射角与反射角相等，即∠1=∠5，∠7=∠6，
又∵∠1=38°，
∴∠5=38°，
∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°，
∵m∥n，
∴∠2=180°﹣∠4=76°，
∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，
∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；
（2）由
（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，
∠3的度数都是90°；
（3）∵∠3=90°，
∴∠6+∠5=90°，
又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，
∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5），
=360°﹣2∠5﹣2∠6，
=360°﹣2（∠5+∠6），
=180°．
由同旁内角互补，两直线平行，
可知：
m∥n．
故答案为：
76°，90°90°，90°90°．
5．如图，已知直线l∥l，l、l和l、l分别交于点A、B、C、D，点P在直线l或l上42241331且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图
（1）位置时，求证：
∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图
（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l、l的平行线，利用平行线的性21质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
证明：
（1）过P作PQ∥l∥l，21由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：
∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l∥l，21则：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l∥l；21同
（1）可证得：
∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
6．如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：
∠OFC的值是否随之发生变化？
若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？
若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
EOB=∠AOCAOC，然后求出∠，计算即【分析】
（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：
（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
AOC=×80°=40°；∠∴∠EOB=∠EOF+FOB=∠
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：
∠OFC=1：
2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
AOC=×80°∠=20°，∴∠COE=∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
7.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．
（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？
请证明你的结论．
（2）如图3，写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系？
（不需证明）．
（3）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
，PE∥AB
（1）过点P作解:
，∥CD∵AB，∥CD∴AB∥EP°，∠2=30∠1=50°，∠D=∴∠B=°；∴∠BPD=80
D．B=∠BPD+∠
（2）∠O，BP与CD相交于点理由如下：
设
CD，∵AB∥B，∴∠BOD=∠，BPD+∠D在△POD中，∠BOD=∠．BPD+∠D∴∠B=∠并延长，）如图，连接QP（3．∠D∠BQD+∠B+结论：
∠BPD=2，∠F=∠∠4）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=1，∠B+（°，C+∠D=360∵∠1+∠2+∠F=360°．D+∠E+∠∠∴∠A+∠B+C+∠互补．21FECDABMN18．如图，直线与直线、分别交于点、，∠与∠13
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第-2讲---初一相交线与平行线动点提高题压轴题
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：
PF∥GH；
（3）如图3，在
（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？
若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
互补，所以易证、∠CFE
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF【分析】CD；AB∥）中平行线的性质推知°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得）利用（1（2GH；，易证PF∥EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG∠EPF=90°，即；然后由邻∠23=90°﹣2（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠
最后根据图形中的角与角间的；+∠2补角的定义、角平分线的定义推知∠∠QPK=EPK=45°°．HPQ的大小不变，是定值45和差关系求得∠互补，1与∠2解：
（1）如图1，∵∠°．1+∠2=180∴∠，∠CFE1=又∵∠∠AEF，∠2=°，∠CFE=180∴∠AEF+；∥CD∴AB，∥CD，由
（1）知，AB
（2）如图2EFD=180°．∴∠BEF+∠P，BEF与∠EFD的角平分线交于点又∵∠
=90°，∠EFDFEP+∴∠∠
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