勾股定理的十六种证明方法.docx

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勾股定理的十六种证明方法

勾股定理地十六种证明方法

【证法1】

此主题相关图片如下：

做8个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c地正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形地边长都是a+b，所以面积相等.即

a^2+b^2+4*（ab/2）=c^2+4*（ab/2）

整理得到：

a^2+b^2=c^2.

【证法2】

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等地直角三角形，则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c地

正方形.它地面积等于c^2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一个边长为a+b地正方形，它地面积等于（a+b）^2.

∴（a+b）^2=c^2+4*（ab/2），∴a^2+b^2=c^2.

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【证法3】

以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等地直角三角形，则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一个边长为c地正方形，它地面积等于c^2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90º.

∴EFGH是一个边长为b―a地正方形，它地面积等于（b-a）^2.

∴（b-a）^2+4*（ab/2）=c^2，∴a^2+b^2=c^2.

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【证法4】

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等地直角三角形，则每个直角三角形地面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它地面积等于c^2/2.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它地面积等于（a+b）^2/2

（a+b）^2/2=2*ab/2+c^2/2,

∴a^2+b^2=c^2.

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【证法5】

做四个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样地一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC地延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°，

∴∠BED+∠GEF=90°，

∴∠BEG=180º―90º=90º.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c地正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90º.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90º.

即∠CBD=90º.

又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a地正方形.

同理，HPFG是一个边长为b地正方形.

设多边形GHCBE地面积为S，则

a^2+b^2=S+2*ab/2

c^2=S+2*ab/2

∴a^2+b^2=c^2.

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【证法6】

做两个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c地正方形.把它们拼成如图所示地多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90º，QP∥BC，

∴∠MPC=90º，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90º，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.

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【证法7】

做三个边长分别为a、b、c地正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB地面积等于a^2/2，

ΔGAD地面积等于矩形ADLM地面积地一半，

∴矩形ADLM地面积=a^2.

同理可证，矩形MLEB地面积=b^2.

∵正方形ADEB地面积

=矩形ADLM地面积+矩形MLEB地面积

∴a^2+b^2=c^2.

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【证法8】

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC地长度分别为a、b，斜边AB地长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即AC^2=AD*AB.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BC^2=BD*AB.

∴AC^2+BC^2=（AD+BD）*AB=AB^2，即a^2+b^2=c^2.

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【证法9】

做两个全等地直角三角形，设它们地两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c地正方形.把它们拼成如图所示地多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB地延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.  

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，

∴DGFH是一个边长为a地正方形.  

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积地编号（如图），则以c为边长地正方形地面积为

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【证法10】

设直角三角形两直角边地长分别为a、b（b>a），斜边地长为c.做三个边长分别为a、b、c地正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积地编号（如图）.

∵∠TBE=∠ABH=90º，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90º，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90º，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90º，

∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.

过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE

=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌

RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.

由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.

∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，

∴∠FQM=∠CAR.

又∵  ∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，

∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.

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【证法11】

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB地延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B地切线.由切割线定理，得

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【证法12】

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列M定理，圆内接四边形对角线地乘积等于两对边乘积之和，有

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【证法13】

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC地内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O地半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴AC+BC-AB=（AE+CE）+（BD+CD）-（AF-BF）

=CE+CD=r+r=2r,

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【证法14】

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC地长度分别为a、b，斜边AB地长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

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【证法15】

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设直角三角形两直角边地长分别为a、b，斜边地长为c.作边长是a+b地正方形ABCD.  把正方形ABCD划分成上方左图所示地几个部分，则正方形ABCD地面积为（a+b）^2=a^2+2ab+b^2；把正方形ABCD划分成上方右图所示地几个部分，则正方形ABCD地面

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