二次函数压轴题题型归纳.docx
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二次函数压轴题题型归纳
2018二次函数压轴题题型归纳
一、二次函数常考点汇总
1、两点间的距离公式：
AByAyBXaXb
2、中点坐标：
线段AB的中点C的坐标为：
Xb，匕尘
2
2
直线yk1xb1
k10）与
yk2xb2（
k20）
的位置关系：
（1）
两直线平行
k[k?
.且b[
b2
（2）两直线相交
（3）
两直线重合
k[k?
.且b[
b2
（4）两直线垂直
k?
1
3、一元二次方程有整数根问题，
解题步骤如下:
1用和参数的其他要求确定参数的取值范围；
2解方程，求出方程的根；（两种形式：
分式、二次根式）
3分析求解：
若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式例：
关于x的一元二次方程x2—2m1xm2=0有两个整数根，mv5且m为整数，求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
（方法同上）
例：
若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：
已知关于x的方程mx23（m1）x2m30（m为实数），求证：
无论m为何值，方程总有一个固定的根。
解：
当m0时，x1;
23m1i小3
当m0时，m30，x，捲2、X21;
2mm
综上所述：
无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。
6函数过固定点问题，举例如下：
已知抛物线yx2mxm2（m是常数），求证：
不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：
把原解析式变形为关于m的方程yx22m1x;
•••yX20，解得：
y1;^抛物线总经过一个固定的点（1，—1）o
1x0x1
（题目要求等价于：
关于m的方程yx22m1x不论m为何值，方程恒成立）
小结：
关于x的方程axb有无数解a0
''b0
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）
（1）如图，直线h、J，点A在12上，分别在li、I2上确定两点M、N，使得AMMN之和最小。
（2）如图，直线li、I2相交，两个固定点A、B，分别在li、I2上确定两点M、N，使得
BMMNAN之和最小。
8、在平面直角坐标系中求面积的方法：
直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：
如上图，Spae=F2•PM•△x
=02•AN•△y
9、函数的交点问题：
二次函数（y=ax2+bx+c）与一次函数
（1）解方程组
尸ax2+bx+c可求出两个图象交点的坐标。
y=kx+h
2
（2）解方程组y=ax+bx+c即ax2+b—kx+c—h=0，通过可判断两个图象的交点的个数y=kx+h
有两个交点>0仅有一个交点0没有交点V0
10、方程法
（1）设：
设主动点的坐标或基本线段的长度
（2）表示：
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
（3）列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的图形
平移
l1//l2k1=k2、k上_y2
x1x2
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
（22
ab屮yAyxaxb
直角三角形直角梯形矩形
跟线段有关的图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
:
22
ABVyAyBXaXb
等腰三角形全等等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
【例题精讲】
基础构图:
y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）
★和最小，差最大
1在对称轴上找一点P,使得PB+PC勺和最小，求出P点坐标2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标
★讨论直角三角连接AC在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点卩，使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.
r
D.
L
u
L
二综合题型
例1（中考变式）如图，抛物线y
x2bxc与x轴交与A（1,0）,B（-3,0）两点，顶点为D
交丫轴于C
（1）求该抛物线的解析式与△ABC的面积
⑸在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形
例2考点:
关于面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1,0）、（0,-.3）,点B在x轴上•已知某
0），
求
Z
/
A0
18Vr
!
I
二次函数的图象经过A、BC三点，且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与BC不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段
（3）求APBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.
考点：
讨论等腰
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2,
2
点C的坐标为（0,—1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE丄x轴于点D,连结。
。
，当厶DCE的面积最大时,点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点说明理由.
例4考点：
讨论直角三角
⑴如图，已知点A（一1,0）和点B（1,2）,在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）
⑵已知：
如图一次函数戶*1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B；二次函数y=卜2
+bx+c的图象与一次函数y=lx+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标
2
为（1,0）
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S;
（3）
在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形若存在，求出所有的点
例5考点：
讨论四边形已知：
如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a^0）与x轴交于点A（-2,0）,点B（6,0）,
与y轴交于点C.
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式;
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，
请说明理由.
综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为（1,0）,OB=OC,抛物线的顶点为D。
（1）求此抛物线的解析式；
⑵若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB=ZACB求点P的坐标；
（3）Q为线段BD上一点，点A关于/AQB的平分线的对称点为A，若QAQB2，求点Q的坐标和此时厶QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3，与x轴
交于A、
B两点，点B的坐标为3,0。
（1）
求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）
点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线
OM把四边形ACDB分成面积为1:
2
的两部分，求出此时点M的坐标；
（3）
点P是第二象限内抛物线上的一动点，冋：
点
P在何处时△CPB的面积取大取大面积
是多少并求出此时点P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y—x22x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且
m
对称轴与x轴交于点C。
（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0,2）,求抛物线的解析式;
（3）在
（2）的条件下，点M在直线0B上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直
线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标
\
\l
T-
\
1c
o
\
jr
~T
a
i
\
\
/
\
4、已知关于x的方程（1m）x2（4m）x30。
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若正整数m满足82m2，设二次函数y（1m）x2（4m）x3的图象与x轴交于AB
两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新
的图象；请你结合这个新的图象回答：
当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。
1
:
H
6
4
■
■
I-
2
•
*■
■
-2
•
•
24J
-4
■
4
■
■
5如图，抛物线y=af+2ax+c（a^0与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（-4,0）和B.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接CQ•当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（-2,0）•问是否有直线I，使△ODF是等腰三角形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
例1•已知二次函数y=x2+（m—1）x+m—2的图象与x轴相交于A（xi,0）,B（x2,0）两点，且XiVX2.
（1）若xix2V0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；
（2）若xiV1，x2>1，求m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0,2），若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由；
1MD1
（4）若过点D（0，亍）的直线与
（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且"DN=3，求该直线的表达式.
题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题
例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，
（1）求证：
不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.
题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线yx22（m1）xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且mV5,则整
数m的值为
例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8.
（1）当x<2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；
（2）以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M,N两点在抛物线上），请问：
△AMN的面积是与m无关的定值吗若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若抛物线y=x2—2mx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.
题型四、抛物线与对称，包括：
点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合
例1.已知抛物线yx2bxc（其中b>0,cm0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m,n），且AB=2.
（1）求m,b的值
（2）如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=.20。
求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：
请画图思考）
题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）
例1.已知：
二次函数yx4xm的图象与x轴交于不同的两点A（为,0）、B（x2,0）（X!
V
X2）,其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（为+1）（X2+1）=8,求二次函数的解析式；
（3）把
（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A,、
Bi，顶点为点。
1,且厶A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.
综合提升
1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C（0,4）,且|AB=2也，图象的对称轴为x=1.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围.
2.已知二次函数y=—x2+mx—m+2.
（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=,5,求m的值;
（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且Samnc=27,求m的值.
3.已知关于x的一元二次方程x2—2（k+1）x+k2=0有两个整数根，kv5且k为整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2—2（k+1）x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）根据直线y=x+b与
（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.
4.已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m.
（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为22，求m的值.
四、中考二次函数定值问题
1•如图，已知二次函数Li:
y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点（点A在点B左边）,与y轴交于点
C.
（1）写出二次函数Li的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L?
：
yrkx2-4kx+3k（k^0.
①写出二次函数L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质;
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由.
2•如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2,0）、B（2,0）、C（0,—I）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D（0，—2）作平行于x轴的直线Ii、.
（1）求抛物线对应二次函数的解析式；⑵求证以ON为直径的圆与直线|1相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
422
3•图1，已知直线y=kx与抛物线y=-7x2+—x交于点A（3,6）.
273
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；
（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D
（m,0）是x轴正半轴上的动点，且满足/BAE=/BED=/AOD.继续探究：
m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个
EO
F
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