高中数学的36个常见的立体几何判断题.docx

高中数学的36个常见的立体几何判断题.docx

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高中数学的36个常见的立体几何判断题

【题注】

这些立体几何判断题不难，但易错，尤其是那些类似“以上命题正确的是”的组合选择题，最惹学生讨厌了。

并且，这些题出来出去，也总在几个类似的命题中转来转去，却总让学生们常做常错。

因此，本文总结了36个常见的立体几何判断题，虽不能涵盖所有，却也能窥个大概。

注意：

36个命题均为假命题！

1.若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行

【反例图示】

【注解】图中两条红线与蓝线都成直角，但两条红线并不平行，反例并不唯一，正方体是分析线面位置关系的常用模型

2若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行

【反例图示】

【注解】还是上个例子的图，本例是上个例子的特殊形式，但无论特殊还是一般，只要找到一个反例，皆错

3.和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线

【反例图示】

【注解】图中蓝线和绿线均满足与两条异面红线垂直，但蓝线是公垂线，绿线并不是，概念要清楚，公垂线是一定要和异面直线相交的

4两条直线都平行于同一平面，则这两条直线平行

【反例图示】

【注解】如图，两条红线均平行底面，但它们并不平行。

当然，也会有正确的例子，但以偏概全是这类题的常用套路，本题几乎所有高中生都（将）遇到过

5若两平面与同一直线等角，则这两个平面平行

【反例图示】

【注解】还是以偏概全，图中红线与两个阴影面均成45°角，但两个阴影面并不平行

6若一条直线平行于一个平面，则该直线与平面内所有直线都平行

【反例图示】

【注解】红实线平行于下底面，但与红虚线并不平行，仍是以偏概全

7若一条直线与平面中无数条直线都平行，则该直线平行于该平面

【反例图示】

【注解】当这条直线在平面内时，该命题则为假命题。

如图，蓝线与底面无数条红线均平行，但蓝线与底面不平行。

线面平行，一定是线在平面外，这是在教学过程中，需要特别强调的

8AB为平面外的线段，若点A、点B到平面的距离相等，则AB平行于平面

【反例图示】

【注解】这是一个相当易错的题，若A、B在平面同侧，则会平行，若A、B在平面异侧，如图所示，则不平行。

线面相交也是线在平面外的情况，线在平面外含线面相交与线面平行两种情况

9若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等

【反例图示】

【注解】空间等角定理，本身含相等和互补两种情况，如图所示，∠1的两边与∠2的两边互相平行，但∠1与∠2互补。

还是以偏概全

10若直线a平行于直线b，则a平行于过b的所有平面

【反例图示】

【注解】本例与第7个例子是类似的，当直线a在过直线b的平面内，则不平行于该平面

11如果a，b是异面直线，过空间内任何一点可以作一个和a，b都平行的平面

【反例图示】

【注解】如图所示，过点A不能作出与直线a，b都平行的平面，只能作出与直线a平行且经过直线b的平面，即上底面

12若a、b是异面直线，则有且只有一条直线和a、b都垂直

【反例图示】

【注解】蓝线是异面直线，如图所示，有无数条红线与两条异面蓝线均垂直

13如果a、b是异面直线，过空间内任何一点可以作一条直线和a、b都相交

【反例图示】

【注解】本例与第11个例子类似，如图所示，过点A如果作一条直线与b相交，则该直线会在上底面，不可能和a相交

14不共线的三个点到同一个平面的距离相等，则这三个点构成的平面平行于该平面

【反例图示】

【注解】本例与第8个例子类似。

如图所示，三点到阴影面距离都相等，但它们构成的平面不会平行于中间的阴影面。

还是三点位于平面同侧还是异侧的问题

15如果一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

【反例图示】

【注解】图中蓝线与底面的无数条红线均垂直，但蓝线不垂直于下底面。

题目中出现了“无数条”“任意一条”等字眼时，务必细细琢磨

16若直线a平行于平面①，平面①与平面②的交线为直线b，则a平行于b

【反例图示】

【注解】如图所示，直线a、b不一定平行

17若直线在平面外，则该直线不可能与平面内无数条直线相交

【反例图示】

【注解】如图所示，红线在底面外，且红线与底面的无数条蓝线可以相交

18若直线与平面不平行，则直线与平面内任一直线都不平行

【反例图示】

【注解】

本例与第7个例子有点相似，当蓝线在底面上，则不会和底面平行，但蓝线可以和如图所示的无数条红线平行。

关键还是看会不会在平面内

19若直线与平面不垂直，则直线不可能垂直于平面内无数条直线

【反例图示】

【注解】如图所示，蓝线不垂直于底面，但蓝线可以垂直于底面无数条红线。

本例与第15个例子相似

20若直线a⊥直线b，且直线a⊥平面①，则直线b平行于平面①

【反例图示】

【注解】当直线b在平面①内时，则不成立。

这也是很经典的易错题，主要是容易忘记考虑直线在平面内的情况

21分别在两个平行平面内的两条直线都平行

【反例图示】

【注解】如图，上下底面互相平行，但上底面的红线与下底面的蓝线不平行

22如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

【反例图示】

【注解】如图，侧面的直线a与直线b都平行于下底面，但侧面与底面不平行。

面面平行一定要满足线面平行的两条直线要相交

23如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

【反例图示】

【注解】本例与上一个例子类似。

侧面中与红线平行的无数条直线会平行于下底面，但并没有面面平行

24若平面①与平面②相交，则平面①内任意一条直线与平面②都不垂直

【反例图示】

【注解】当平面①⊥平面②时，平面①内则有无数条与红线平行的线垂直于平面②

25过平面①的一条斜线的平面②与平面①一定不垂直

【反例图示】

【注解】红线a为平面①的斜线，平面②经过直线a，但平面①可以垂直于平面②

26若两直线与平面所成的角相同，则这两条直线平行

【反例图示】

【注解】和第5个例子有点神似，红线与蓝线与底面所成角均为45°，但两直线不一定会平行

27若两平面平行于同一条直线，则这两个平面平行

【反例图示】

【注解】如图，两阴影面均平行于红线，该两阴影面不一定平行

28已知平面①⊥平面②，平面①与平面②的交线为直线a，点P在a上，则过点P且与a垂直的直线在平面①内

【反例图示】

【注解】过点P且与a垂直的直线即图中红线，这条直线与平面①可以没有半毛钱关系，也可以在平面①内

29已知平面①⊥平面②，平面①与平面②的交线为直线a，点P在a上，则过点P且与a垂直的直线垂直于平面②

【反例图示】

【注解】和上例一样，该红线与平面②可以没有任何关系，也可以垂直于平面②

30已知平面①⊥平面②，平面①与平面②的交线为直线a，点P在a上，则过点P且与平面②垂直的平面垂直于交线a

【反例图示】

【注解】如图，过点P且与平面②垂直的平面，即平面③，它可以垂直于交线a，也可以不垂直，没有必然的推出关系

31过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的

【反例图示】

【注解】点P在平面①外，如图所示，过该点且与平面①垂直的平面并不唯一

32过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的

【反例图示】

【注解】点P在直线a外，如图所示，过点P且垂直于a的直线并不唯一

33过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的

【反例图示】

【注解】点P在直线a外，如图所示，过点P且与a平行的平面并不唯一

34若直线a、b是平面外的两条平行直线，则它们在该平面内的射影平行

【反例图示】

【注解】如图所示，直线a、b的射影即图中蓝线，射影重合，不一定平行

35两平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行

【反例图示】

【注解】平面②和平面③都垂直于平面①，而它们不一定平行。

这也是很经典的一个反例

36两两相交的三条直线在同一平面内

【反例图示】

【注解】两两相交，如果交于同一点，则不会在同一平面内，如图所示