湖南省衡阳市中考数学试题解析版.docx

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湖南省衡阳市中考数学试题解析版

2015年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2015•衡阳）计算（﹣1）0+|﹣2|的结果是（　　）

　A．﹣3　　　　B．1　　　　　C．﹣1　　　　　D．3

2．（3分）（2015•衡阳）下列计算正确的是（　　）

　A．a+a=2a　　B．b3•b3=2b3　C．a3÷a=a3　　　D．（a5）2=a7

3．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

　A．

B．

C．

D．

4．（3分）（2015•衡阳）若分式

的值为0，则x的值为（　　）

　A．2或﹣1　　B．0　　　　　　C．2　　　　　　　D．﹣1

5．（3分）（2015•衡阳）函数y=

中自变量x的取值范围为（　　）

　A．x≥0　　　B．x≥﹣1　　　　　C．x＞﹣1　　　　D．x≥1

6．（3分）（2015•衡阳）不等式组

的解集在数轴上表示为（　　）

　A．

　　　　B．

C．

　　　　D．

7．（3分）（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

　A．11　　　　B．16　　　　　C．17　　　　　D．16或17

8．（3分）（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

　A．﹣2　　　B．2　　　　　　C．4　　　　　　D．﹣3

9．（3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是（　　）

　A．对角线互相平分的四边形是平行四边形;B．对角线相等的四边形是矩形;

　C．对角线互相垂直的四边形是菱形;D．对角线互相垂直的四边形是正方形

10．（3分）（2015•衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：

元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（　　）

　A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元

11．（3分）（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）

　A．x（x﹣10）=900B．x（x+10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=900

12．（3分）（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：

米）为（　　）

　A．50

B．51C．50

+1D．101

二、填空题：

本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

13．（3分）（2015•衡阳）在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是　　　　　　．

14．（3分）（2015•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是　　　　　　．

15．（3分）（2015•衡阳）计算：

﹣

=　　　　　　．

16．（3分）（2015•衡阳）方程

的解为　　　　　　．

17．（3分）（2015•衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为　　　　　　（结果保留π）．

18．（3分）（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为　　　　　　m．

19．（3分）（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为　　　　　　．

20．（3分）（2015•衡阳）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、An在x轴上，点B1、B2、…、Bn在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为　　　　　　．

三、解答题：

本大题共8个小题，满分60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．（6分）（2015•衡阳）先化简，再求值：

a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=

．

22．（6分）（2015•衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：

优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为　　　　　　；

（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有　　　　　　人；

（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有　　　　　　人．

23．（6分）（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．

①旋转角为多少度？

②写出点B2的坐标．

24．（6分）（2015•衡阳）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．

25．（8分）（2015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．

（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．

（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？

26．（8分）（2015•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．

（1）求证：

CE是⊙O的切线；

（2）判断四边形AOCD是否为菱形？

并说明理由．

27．（10分）（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将

（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

28．（10分）（2015•衡阳）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．

（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．

（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？

并说明理由．

（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2015•衡阳）计算（﹣1）0+|﹣2|的结果是（　　）

　A．﹣3B．1C．﹣1D．3

考点：

实数的运算；零指数幂．

专题：

计算题．

分析：

原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

解答：

解：

原式=1+2=3．

故选D．

点评：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（3分）（2015•衡阳）下列计算正确的是（　　）

　A．a+a=2aB．b3•b3=2b3C．a3÷a=a3D．（a5）2=a7

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：

根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：

A、a+a=2a，故本选项正确；

B、b3•b3=b3+3=b6，故本选项错误；

C、a3÷a=a3﹣1=a2，故本选项错误；

D、（a5）2=a5×2=a10，故本选项错误．

故选A．

点评：

本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

3．（3分）（2015•衡阳）如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：

简单组合体的三视图．

专题：

常规题型．

分析：

根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．

解答：

解：

从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，

故选：

C．

点评：

本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．

4．（3分）（2015•衡阳）若分式

的值为0，则x的值为（　　）

　A．2或﹣1B．0C．2D．﹣1

考点：

分式的值为零的条件．

分析：

分式的值为0的条件是：

（1）分子为0；

（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

解答：

解：

由题意可得：

x﹣2=0且x+1≠0，

解得x=2．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：

“分母不为零”这个条件不能少．

5．（3分）（2015•衡阳）函数y=

中自变量x的取值范围为（　　）

　A．x≥0B．x≥﹣1C．x＞﹣1D．x≥1

考点：

函数自变量的取值范围．

分析：

根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．

解答：

解：

根据题意得：

x+1≥0，

解得：

x≥﹣1．

故选：

B．

点评：

考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

6．（3分）（2015•衡阳）不等式组

的解集在数轴上表示为（　　）

　A．

B．

C．

D．

考点：

在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

分析：

根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．

解答：

解：

不等式组的解集为：

﹣2≤x＜1，其数轴表示为：

故选A

点评：

不等式组的解集：

不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：

同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解．

7．（3分）（2015•衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）

　A．11B．16C．17D．16或17

考点：

等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题：

分类讨论．

分析：

分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．

解答：

解：

①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，

能组成三角形，

周长=6+6+5=17；

②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，

能组成三角形，

周长=6+5+5=16．

综上所述，三角形的周长为16或17．

故选D．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．

8．（3分）（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

　A．﹣2B．2C．4D．﹣3

考点：

根与系数的关系．

分析：

根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．

解答：

解：

设一元二次方程的另一根为x1，

则根据一元二次方程根与系数的关系，

得﹣1+x1=﹣3，

解得：

x1=﹣2．

故选A．

点评：

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣

，x1•x2=

．

9．（3分）（2015•衡阳）下列命题是真命题的是（　　）

　A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

　B．对角线相等的四边形是矩形

　C．对角线互相垂直的四边形是菱形

　D．对角线互相垂直的四边形是正方形

考点：

命题与定理．

专题：

计算题．

分析：

根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定．

解答：

解：

A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．

故选A．

点评：

本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

10．（3分）（2015•衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心，他们捐款的数额分别是（单位：

元）50、20、50、30、25、50、55，这组数据的众数和中位数分别是（　　）

　A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元

考点：

众数；中位数．

分析：

根据中位数的定义将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，找出最中间的那个数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．

解答：

解：

50出现了3次，出现的次数最多，

则众数是50；

把这组数据从小到大排列为：

20，25，30，50，50，50，55，

最中间的数是50，

则中位数是50．

故选C．

点评：

此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．

11．（3分）（2015•衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）

　A．x（x﹣10）=900B．x（x+10）=900C．10（x+10）=900D．2[x+（x+10）]=900

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

专题：

几何图形问题．

分析：

首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．

解答：

解：

设绿地的宽为x，则长为10+x；

根据长方形的面积公式可得：

x（x+10）=900．

故选B．

点评：

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积=长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．

12．（3分）（2015•衡阳）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：

米）为（　　）

　A．50

B．51C．50

+1D．101

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

分析：

设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．

解答：

解：

设AG=x，

在Rt△AEG中，

∵tan∠AEG=

，

∴EG=

=

x，

在Rt△ACG中，

∵tan∠ACG=

，

∴CG=

=

x，

∴

x﹣

x=100，

解得：

x=50

．

则AH=50

+1（米）．

故选C．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．

二、填空题：

本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

13．（3分）（2015•衡阳）在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是　﹣2　．

考点：

有理数大小比较．

分析：

有理数大小比较的法则：

①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

解答：

解：

根据有理数比较大小的方法，可得

﹣2＜﹣1＜0，

所以在﹣1，0，﹣2这三个数中，最小的数是﹣2．

故答案为：

﹣2．

点评：

此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

14．（3分）（2015•衡阳）如图，已知直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是　60°　．

考点：

平行线的性质．

分析：

两直线平行，同旁内角互补，据此进行解答．

解答：

解：

∵a∥b，∠1=120°，

∴∠2=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，

故答案为：

60°

点评：

本题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．

15．（3分）（2015•衡阳）计算：

﹣

=　

　．

考点：

二次根式的加减法．

分析：

运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．

解答：

解：

原式=2

﹣

=

．

故答案为：

．

点评：

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．

16．（3分）（2015•衡阳）方程

的解为　x=﹣1　．

考点：

解分式方程．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为：

x（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．

解答：

解：

方程两边同乘x（x﹣2），得x﹣2=3x，

解得：

x=﹣1，

经检验x=﹣1是方程的解．

点评：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；

（2）解分式方程一定注意要验根．

17．（3分）（2015•衡阳）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为　3π　（结果保留π）．

考点：

扇形面积的计算．

分析：

根据扇形的面积公式即可求解．

解答：

解：

扇形的面积=

=3πcm2．

故答案是：

3π．

点评：

本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．

18．（3分）（2015•衡阳）如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为　40　m．

考点：

三角形中位线定理．

专题：

应用题．

分析：

根据题意知MN是△ABO的中位线，所以由三角形中位线定理来求AB的长度即可．

解答：

解：

∵点M、N是OA、OB的中点，

∴MN是△ABO的中位线，

∴AB=AMN．

又∵MN=20m，

∴AB=40m．

故答案是：

40．

点评：

此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

19．（3分）（2015•衡阳）已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为　﹣3　．

考点：

平方差公式．

专题：

计算题．

分析：

原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．

解答：

解：

∵a+b=3，a﹣b=﹣1，

∴原式=（a+b）（a﹣b）=﹣3，

故答案为：

﹣3．

点评：

此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

20．（3分）（2015•衡阳）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn+1都是等腰直角三角形，其中点A1、A2、…、An在x轴上，点B1、B2、…、Bn在直线y=x上，已知OA2=1，则OA2015的长为　22013　．

考点：

一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．

专题：

规律型．

分析：

根据规律得出OA1=

，OA2=1，OA3=2，OA4=4，OA5=8，所以可得OAn=2n﹣2，进而解答即可．

解答：

解：

因为OA2=1，所以可得：

OA1=

，

进而得出OA3=2，OA4=4，OA5=8，

由此得出OAn=2n﹣2，

所以OA2015=22013，

故答案为：

22013

点评：

此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OAn=2n﹣2进行解答．

三、解答题：

本大题共8个小题，满分60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．（6分）（2015•衡阳）先化简，再求值：

a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=

．

考点：

整式的混合运算—化简求值．

专题：

计算题．

分析：

原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

解答：

解：

原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，

当a=﹣1，b=

时，原式=2+2=4．

点评：

此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．（6分）（2015•衡阳）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测，体质抽测的结果分为四个等级：

优秀、良好、合格、不合格，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：

（1）在扇形统计图中，“合格”的百分比为　40%　；

（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格”等级的学生有　16　人；

（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有　128　人．

考点：

条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析：

（1）用1减去其它各组的百分比，据此即可求解；

（2）根据优秀的人数是8，所占的百分比是16%即可求得调查的总人数，利用总人数乘以对应的百分比即可求解；

（3）利用总人数400乘以对应的百分比即可求解．

解答：

解：

（1）“合格”的百分比为1﹣12%﹣16%﹣32%=40%，故答案是：

40%；

（2）抽测的总人数是：

8÷16%=50（人），

则抽测结果为“不合格”等级的学生有：

50×32%=16（人）．

故答