高中数学选修1122双曲线+教案.docx

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高中数学选修1122双曲线+教案

双曲线及其标准方程

一、教学目标

（一）知识教学点

1.掌握双曲线定义、标准方程；

2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；

3.认识双曲线的变化规律.

（二）能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．

（三）学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．

二、教材分析

1．重点：

双曲线的定义和双曲线的标准方程．

（解决办法：

通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．）

2．难点：

双曲线的标准方程的推导．

（解决办法：

引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．）

3．疑点：

双曲线的方程是二次函数关系吗？

（解决办法：

教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．）

三、活动设计

教学方法启发引导式

教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结．

四、教学过程

（一）复习提问

1．椭圆的定义是什么？

（学生回答，教师板书）

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：

（1）平面内；

（2）到两定点F1、F2的距离的和等于常数；（3）常数2a＞|F1F2|．

2．椭圆的标准方程是什么？

（学生口答，教师板书）

（二）双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

它的方程是怎样的呢？

1．简单实验（边演示、边说明）

如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．

注意：

常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．

2．设问

问题1：

定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？

请学生回答，不能．强调“在平面内”．

问题2：

|MF1|与|MF2|哪个大？

请学生回答，不定：

当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．

问题3：

点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．

问题4：

这个常数是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．

3．定义

在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

教师指出：

双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．

（三）双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：

求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？

不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

（1）建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴（如图2-24）

建立直角坐标系．

设M（x，y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（c＞0），那么F1、F2的坐标分别是（-c，0）、（c，0）．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．

（2）点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．

（3）代数方程

（4）化简方程（由学生演板）

将这个方程移项，两边平方得：

化简两边再平方，整理得：

（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）．

（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）

由双曲线定义，2c＞2a　即c＞a，所以c2-a2＞0．

设c2-a2=b2（b＞0），代入上式得：

b2x2-a2y2=a2b2．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较（引导学生归纳）：

教师指出：

（1）双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

（2）如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

（3）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．

（四）练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F1（-3，0）、F2（3，0），且2a=4；

3．已知两点F1（-5，0）、F2（5，0），求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？

由教师讲解：

按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．

所以动点无轨迹．

（五）小结

1．定义：

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹．

3．图形（见图2-25）：

4．焦点：

F1（-c，0）、F2（c，0）；F1（0，-c）、F2（0，c）．

5．a、b、c的关系：

c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作业

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）；

3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n（m＜0＜m+n），求其焦点坐标．

作业答案：

2．由（1+k）（1-k）＜0解得：

k＜-1或k＞1

六、板书设计

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。